43परिमाप, क्षेत्रफल, आयतन

हल — समस्या 43.1.

1. $1 \times 9$: परिमाप $2 \times (1 + 9) = 20$ m, क्षेत्रफल $9$ m$^2$। $2 \times 8$: परिमाप $2 \times 10 = 20$ m, क्षेत्रफल $16$ m$^2$।

2. परिमाप (लंबाई $+$ चौड़ाई) का दुगुना है (उदाहरण 43.2), इसलिए लंबाई $+$ चौड़ाई $= 20 \div 2 = 10$ m। सारणी:

वर्ग $5 \times 5$ सबसे अच्छा है।

3. $4.5 \times 5.5 = 24.75$ और $4.9 \times 5.1 = 24.99$: $25$ के और-और पास, पर फिर भी उससे नीचे। अनुमान: वर्ग परिमाप $20$ वाले हर आयत को हरा देता है, दशमलव भुजाओं वाले भी।

4. सारणी से: योग $10$ वाली दो संख्याओं का गुणनफल तब सबसे बड़ा होता है जब दोनों संख्याएँ बराबर हों ($5$ और $5$)। सामान्य नियम: तय योग के लिए गुणनफल बराबर हिस्सों पर सबसे बड़ा होता है — जोड़ी जितनी असमान, गुणनफल उतना ही छोटा।

5. $5 \times 5$ के वर्ग से ऊपर वाली पंक्ति हटाओ — $5$ इकाई वर्गों की पट्टी — तो $5 \times 4$ का बाड़ा बचता है; फिर एक सिरे पर $4$ इकाई वर्गों का स्तंभ चिपका दो, जिससे बाड़ा $6 \times 4$ बन जाता है। पाँच वर्ग निकले और केवल चार लौटे: जुड़ी हुई पट्टी $4$ वाली भुजा पर लगी है, जो उस $5$ वाली भुजा से छोटी है जिस पर हटाई गई पट्टी थी। शुद्ध घाटा: एक वर्ग मीटर ($25 \to 24$)। अगला कदम, $6 \times 4$ से $7 \times 3$, $6$ की पंक्ति देकर $3$ का स्तंभ लेता है और तीन और गँवाता है ($24 \to 21$): बाड़ा वर्ग से जितना दूर, उतनी ही लंबी पट्टी वह देता है और उतनी ही छोटी वापस पाता है।

6. $w + L + w = 20$ के साथ, यानी $L = 20 - 2w$:

जीतने वाला $5 \times 10$ है, क्षेत्रफल $50$ m$^2$ — दीवार के साथ की लंबाई चौड़ाई की दुगुनी: वर्ग नहीं।

7. बाड़े को दीवार पर परावर्तित करो: बाड़ा और उसका दर्पण-प्रतिबिंब मिलकर ऐसा दुगुना बाड़ा बनाते हैं जो बाड़ दो बार इस्तेमाल करता है, चारों ओर $40$ m बाड़ (दीवार वाली भुजा अब भीतर है)। भाग I के अनुसार परिमाप $40$ वाला सबसे अच्छा आयत वर्ग $10 \times 10$ है, क्षेत्रफल $100$ m$^2$। सबसे अच्छा असली बाड़ा उसी सबसे अच्छे दुगुने बाड़े का आधा है: दीवार के साथ $10$ m, गहराई $5$ m, क्षेत्रफल $50$ m$^2$ — ठीक सारणी वाला विजेता, अब समझाया हुआ।

8. परिधि $20 = 2 \times \pi \times r$, इसलिए $r = 20 \div 6.28 \approx 3.18$ m। क्षेत्रफल: $\pi r^2 \approx 3.14 \times 3.18 \times 3.18 \approx 31.8$ m$^2$ — वर्ग के $25$ m$^2$ से आराम से ज़्यादा। दीदो जानती थी कि वह क्या कर रही है: सीमा की दी हुई लंबाई के लिए वृत्त सबसे ज़्यादा घेरता है।

9. परिमाप: $1 \times 36$: $74$ m; $2 \times 18$: $40$ m; $3 \times 12$: $30$ m; $4 \times 9$: $26$ m; $6 \times 6$: $24$ m। फिर वर्ग — दिए हुए क्षेत्रफल के लिए सबसे कम बाड़। यह भाग I उलटा है: तय परिमाप, सबसे बड़ा क्षेत्रफल, या तय क्षेत्रफल, सबसे छोटा परिमाप: दोनों वर्ग को ही ताज पहनाते हैं (और सारे आयतों से आगे, वृत्त को)।

10. गोल दीवार अपने घेरे हुए स्थान के लिए सबसे छोटी सीमा है (प्रश्न 8), इसलिए गोल टिन, पाइप या टंकी सबसे कम धातु में सबसे ज़्यादा सामान रखती है — सामग्री ही पैसा है।

11. जैसे $50$ m $\times$ $0.01$ m: परिमाप $2 \times (50 + 0.01) = 100.02$ m, क्षेत्रफल $50 \times 0.01 = 0.5$ m$^2$। लंबा और पतला: किलोमीटरों की सीमा, ज़मीन नाम भर की।

12. ग़लत। प्रश्न 11 वाले बाड़े का परिमाप $100.02$ m और क्षेत्रफल $0.5$ m$^2$ है, जबकि $5 \times 5$ के बाड़े का परिमाप $20$ m और क्षेत्रफल $25$ m$^2$: बड़ा परिमाप, कहीं छोटा क्षेत्रफल।

13. क्षेत्रफल: एक इकाई वर्ग कम हो गया, $24 - 1 = 23$ cm$^2$। परिमाप: सीमा पर चलते हुए, खाँचा $1$ cm सीधी दीवार की जगह छोटे वर्ग की तीन भुजाएँ रख देता है, $1 + 1 + 1 = 3$ cm: परिमाप $20$ cm से बढ़कर $20 - 1 + 3 = 22$ cm हो जाता है। सामान हटाने से सीमा लंबी हो गई।

14. असली तट पर हर ज़ूम नई खाड़ियाँ, चट्टानें और नाले दिखा देता है — खाँचों पर खाँचे, और प्रश्न 13 बताता है कि हर खाँचा सीमा की लंबाई बढ़ाता है पर क्षेत्रफल में मुश्किल से कुछ बदलता है। इसलिए नापी गई लंबाई बारीक़ी के साथ बढ़ती जाती है (“तटरेखा का विरोधाभास”), जबकि नापा गया क्षेत्रफल ठहर जाता है: परिमाप और क्षेत्रफल सचमुच स्वतंत्र राशियाँ हैं।

15. दर्पण वाली दलील: दुगुना बाड़ा $2 \times 36 = 72$ m बाड़ इस्तेमाल करता, और परिमाप $72$ वाला सबसे अच्छा आयत $18 \times 18$ का वर्ग है। तो सबसे अच्छा बाड़ा दीवार के साथ $18$ m और गहराई $9$ m का है: बाड़ की जाँच $9 + 18 + 9 = 36$ m, क्षेत्रफल $18 \times 9 = 162$ m$^2$। खुले मैदान में सबसे अच्छा $9 \times 9$ का वर्ग है, क्षेत्रफल $81$ m$^2$। खलिहान की दीवार किसान की ज़मीन ठीक दुगुनी कर देती है।