अवकलज क्या है? — गणित

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परिभाषा 14.1 विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 1 · অধ্যায় 14 — अवकलन

$f \colon I \to \R$ $x_0 \in I$ पर अवकलनीय तब है जब $x \to x_0$ होने पर अंतर-भागफल $\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$ की कोई (परिमित) सीमा हो; उस सीमा को $f'(x_0)$ लिखा जाता है। समतुल्य रूप से:

f(x_0 + h) = f(x_0) + f'(x_0)\,h + h\,\varepsilon(h), \qquad \varepsilon(h) \xrightarrow[h \to 0]{} 0 ,

और तब आलेख स्पर्श रेखा $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$ स्वीकार करता है। $x_0$ पर अवकलनीयता से $x_0$ पर सांतत्य आती है (ऊपर का प्रदर्शन पढ़िए)। $f$ $I$ पर अवकलनीय तब है जब वह हर बिंदु पर हो; $f$ $C^1$ वर्ग का तब है जब इसके अतिरिक्त $f'$ संतत हो, और $C^k$ वर्ग का तब जब $f$ को $k$ बार अवकलित किया जा सके और $f^{(k)}$ संतत हो।

উদাহরণ

उदाहरण 14.2

“अवकलनीय $\Rightarrow$ संतत” का विलोम विफल है: $0$ पर $\abs{\,\cdot\,}$ । और अधिक आश्चर्यजनक बात यह कि अवकलनीय होने से $C^1$ होना नहीं आता: फलन $f(x) = x^2 \sin\frac 1x$ ( $f(0) = 0$ ) सर्वत्र अवकलनीय है, जहाँ $f'(0) = 0$ , पर $f'(x) = 2x \sin\frac1x - \cos\frac 1x$ की $0$ पर कोई सीमा नहीं (अभ्यास 14.2)।

उदाहरण 14.3 (ठीक एक ही बिंदु पर अवकलनीय)

मान लीजिए $x \in \Q$ के लिए $f(x) = x^2$ और $x \notin \Q$ के लिए $f(x) = 0$ । $0$ पर: $\bigl|\frac{f(h) - 0}{h}\bigr| \leq \abs h \to 0$ , अतः $f$ $0$ पर अवकलनीय है और $f'(0) = 0$ । किसी भी $x_0 \neq 0$ पर $f$ संतत तक नहीं है: $x_0$ की ओर अभिसरित होते परिमेय और अपरिमेय अनुक्रम $f$ को क्रमशः $x_0^2 \neq 0$ और $0$ पर भेजते हैं (सघनता, प्रमेय 10.14)। अतः अवकलनीयता सचमुच बिंदुवार धारणा है: वह $\R$ के एक बिंदु पर सत्य हो सकती है और अन्यत्र कहीं नहीं। व्यवहार के लिए उपदेश: एकदिष्टता कसौटी या रोल जैसे कथनों को अवकलज किसी अंतराल पर चाहिए — वियुक्त बिंदुओं पर, चाहे कितने ही हों, $f'(x_0)$ का होना किसी भी समग्र निष्कर्ष का आधार नहीं बनता।

उदाहरण 14.6 (प्रतिलोम अवकलज, दो बार)

यह प्रमेय चिरपरिचित अवकलजों को बिना किसी सीमा-कार्य के फिर से संगणित कर देती है। $\ln = \exp^{-1}$ के लिए: $y = \eu^x$ पर,

(\ln)'(y) = \frac{1}{\exp'(x)} = \frac{1}{\eu^{x}} = \frac1y ,

जो प्रत्येक $y > 0$ के लिए वैध है, क्योंकि $\exp' = \exp$ कभी लुप्त नहीं होता। $\arctan = \tan^{-1}$ के लिए: $y = \tan x$ पर,

(\arctan)'(y) = \frac{1}{1 + \tan^2 x} = \frac{1}{1 + y^2} ,

जहाँ $\tan' = 1 + \tan^2 > 0$ प्रयुक्त हुआ। समापन का सार: यह सूत्र किसी फलन के विषय में ज्ञान को उसके प्रतिलोम के विषय में ज्ञान में बदल देता है, और उसकी क़ीमत एक प्रतिस्थापन है — और वह प्रतिस्थापन ( $x = \ln y$ , $x = \arctan y$ ) ठीक यही कथन है कि दोनों चर एकैकी आच्छादन के आमने-सामने के पक्षों पर रहते हैं।

প্রসঙ্গসহ পড়ো →

উদাহরণ

সম্পর্কিত পরিভাষা-শব্দ