सारणिक क्या है? — गणित

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परिभाषा 2.16 विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 2 · অধ্যায় 2 — रैखिक बीजगणित

किसी आधार में कुल का सारणिक $\det_{\mathcal{B}}(x_1, \dots, x_n)$ है; आव्यूह $A$ का सारणिक विहित आधार में उसके स्तंभों का सारणिक है — अर्थात् ऊपर वाला क्रमचय सूत्र; और अंतःरूपांतरण $u$ का सारणिक वह अदिश $\det u$ है जिसके लिए

\det{}_{\mathcal{B}}\bigl(u(x_1), \dots, u(x_n)\bigr) = \det u \cdot \det{}_{\mathcal{B}}(x_1, \dots, x_n) \quad \text{ सभी } x_i

(बायाँ पक्ष एकांतर $n$ -रैखिक है, अतः प्रमेय 2.14 के अनुसार $\det_\mathcal{B}$ का गुणज है; और गुणक $\mathcal{B}$ पर निर्भर नहीं करता)।

উদাহরণ

उदाहरण 2.19 (नियमों के सहारे एक सारणिक)

मान लीजिए $J \in \mathcal{M}_n(K)$ सर्व-एक आव्यूह है और $a \in K$ ; अभी-अभी सिद्ध किए गए औज़ारों से हम $\det(aI_n + J)$ परिकलित करते हैं। $aI_n + J$ का हर स्तंभ एक ही ढंग से जुड़ता है: सारी पंक्तियाँ पहली में जोड़ दीजिए (सारणिक अपरिवर्तित रहता है — एक पंक्ति का गुणज दूसरी में जोड़ने से दोहराई गई दिशा वाला पद जुड़ता है, जिसे एकांतरता मार देती है)। पहली पंक्ति $(a + n, a + n, \dots, a + n)$ हो जाती है; उस पंक्ति में रैखिकता से $a + n$ बाहर निकालिए, फिर पहला स्तंभ हर दूसरे स्तंभ में से घटा दीजिए: जो बचता है वह विकर्ण $(1, a, \dots, a)$ वाला त्रिभुजाकार आव्यूह है। अतः

\det(aI_n + J) = (a + n)\,a^{\,n-1}.

समापन दृष्टि: मूल $a = 0$ (बहुलता $n - 1$ ) और $a = -n$ यह कहते हैं कि $J$ का अभिलक्षणिक मान $0$ बहुलता $n - 1$ के साथ है और अभिलक्षणिक मान $n$ एक बार — अर्थात् कोटि एक के आव्यूह $J$ का वर्णक्रम, एक अध्याय पहले ही (अध्याय 3 इसे क्रमबद्ध कर देगा)।

उदाहरण 2.20 (क्रमचय सूत्र से एक सारणिक)

जिस आव्यूह में बहुत से शून्य हों उसके लिए सूत्र स्वयं ही व्यावहारिक है: इसमें

A = \begin{pmatrix} 0 & a & 0 & 0\\ 0 & 0 & b & 0\\ 0 & 0 & 0 & c\\ d & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},

अशून्य प्रविष्टियाँ चुनने वाला एकमात्र क्रमचय $4$ -चक्र $\sigma = (1\,2\,3\,4)$ है, जो स्तंभ $1 \to$ को पंक्ति $4$ पर भेजता है, इत्यादि; $\varepsilon(\sigma) = (-1)^3 = -1$ , अतः $\det A = -abcd$ । (विकर्ण आव्यूह तक पहुँचने के लिए तीन स्तंभ-अदला-बदली करके जाँच लीजिए।)

उदाहरण 2.21 (गुणनफल सूत्र से एक वांडरमोंड)

नोड $0, 1, 2$ के लिए (जिन्हें अभ्यास 2.4 जैसे समाकलन नियम काम में लेते हैं), अभ्यास 2.11 का वांडरमोंड सारणिक एक ही दृष्टि में निकल आता है:

\det\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 2\\ 0 & 1 & 4 \end{pmatrix} = (1 - 0)(2 - 0)(2 - 1) = 2 ,

और पहले स्तंभ के अनुदिश सीधे प्रसार से: $1\cdot(4 - 2) = 2$ : दोनों मिल गए। भिन्न नोडों के लिए अशून्य होना एक ही सारणिक में अंतर्वेशन का पूरा सिद्धांत है: मूल्यांकन फलनिक $P \mapsto P(a_i)$ ठीक तभी द्वैत के आधार होते हैं जब यह सारणिक अशून्य हो, अर्थात् भिन्न $a_i$ के लिए सदा — उदाहरण 2.2 का परिमाणीकरण।

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উদাহরণ

সম্পর্কিত পরিভাষা-শব্দ