समसांतत्य क्या है? — गणित

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परिभाषा 7.10 विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 3 · অধ্যায় 7 — पूर्ण समष्टियाँ: बेयर, आस्कोली, स्टोन–वाइरश्ट्रास

कोई कुल $\mathcal F \subseteq \mathcal C(K)$ समसंतत कहलाता है यदि प्रत्येक $\varepsilon > 0$ के लिए ऐसा $\delta > 0$ हो कि

d(x, y) < \delta \implies \norm{f(x) - f(y)} < \varepsilon \quad\text{\emph{सभी} } f \in \mathcal F \text{ के लिए}

(पूरे कुल के लिए एक ही $\delta$ — उदाहरणार्थ उभयनिष्ठ लिप्शिट्ज़ नियतांक वाला कोई कुल, अथवा उभयनिष्ठ होल्डर मापांक वाला), और बिंदुशः परिबद्ध यदि प्रत्येक $x$ के लिए $\sup_{f}\norm{f(x)} < \infty$ हो।

উদাহরণ

उदाहरण 7.12

$\mathcal C(\intcc01)$ का संवृत इकाई गोला संहत नहीं है ( $f_n(x) = x^n$ का कोई एकसमान अभिसारी उपानुक्रम नहीं है: बिंदुशः सीमा असंतत है), और वस्तुतः $(x^n)$ $1$ पर समसंतत नहीं है। इसके विपरीत $\{f : \norm f_\infty \leq 1,\ \operatorname{Lip}(f) \leq 1\}$ संहत है: परिबद्ध, $1$ -लिप्शिट्ज़-समसंतत, और संवृत। आस्कोली समझा देती है कि अनंत विमा में संहतता क्यों विफल हो जाती है (रीस, दूसरा वर्ष) और उसे बहाल करने के लिए क्या जोड़ना पड़ता है: एक एकसमान सांतत्य मापांक।

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