तुल्य मानदंड কী?

उदाहरण 5.4 (अनंत विमा में अतुल्यता)

$C(\intcc{0}{1})$ पर: $\norm f_1 \leq \norm f_\infty$ सदा, परंतु उलटा कोई परिबंध नहीं टिकता: $f_n(x) = x^n$ के लिए $\norm{f_n}_\infty = 1$ और $\norm{f_n}_1 = \frac{1}{n+1} \to 0$ होते हैं। अतः $\norm\cdot_1$ के लिए $f_n \to 0$ है पर $\norm\cdot_\infty$ के लिए नहीं: दोनों मानदंड अभिसरण के बारे में ही असहमत हैं।

उदाहरण 5.5 (विमा $n$ में स्पष्ट अचर)

$K^n$ पर तीनों क्लासिक मानदंड तीखे अचरों के साथ तुल्य हैं:

जिनमें बीच वाला परिबंध $\norm x_1 \leq \sqrt n\norm x_2$ सर्व-एक सदिश के विरुद्ध कोशी–श्वार्ज़ से आता है। चरम सदिश: $e_1$ पहली दो असमिकाओं को समता बना देता है और $(1, 1, \dots, 1)$ अंतिम दो को। विमा $n$ अचरों में स्पष्ट दिखाई देती है — यही अनंत विमा में विफलता का परिमाणात्मक बीज है: $n \to \infty$ होने पर कोई एकसमान अचर नहीं बचता, और ठीक यही उदाहरण 5.4 फलन समष्टियों पर दिखा देता है।