什么是 समूह？

उदाहरण 7.4

$(\Z, +)$, $(\Q, +)$, $(\R, +)$, $(\C, +)$; $(\Q^*, \times)$, $(\R^*, \times)$, $(\C^*, \times)$, $(\mathbb{U}_n, \times)$ (इकाई के मूल, परिभाषा 3.17); समुच्चय $E$ के स्वयं उसी पर एकैकी आच्छादनों का समुच्चय $\mathfrak{S}(E)$, संयोजन के अंतर्गत — अर्थात् $E$ का सममित समूह, जो $\abs E \geq 3$ होते ही अनाबेली हो जाता है। समूह नहीं: $(\N, +)$ (प्रतिलोम नहीं), $(\Z, \times)$ (केवल $\pm 1$ व्युत्क्रमणीय)।

उदाहरण 7.6 (आयत की सममितियाँ)

(वर्ग न होने वाला) आयत स्वयं अपने पर ठीक चार सममितियाँ स्वीकार करता है: तत्समक $e$, क्षैतिज अक्ष में परावर्तन $h$, ऊर्ध्वाधर अक्ष में परावर्तन $v$, और केंद्र के परितः अर्ध-घुमाव $r$। संयोजन इस चार-अवयवी समुच्चय को समूह बना देता है: हर अवयव अपना ही प्रतिलोम है ($h^2 = v^2 = r^2 = e$), और किन्हीं दो भिन्न अतत्समक अवयवों का गुणनफल तीसरा होता है ($hv = vh = r$: दोनों अक्षों में परावर्तन ही अर्ध-घुमाव है)। पूरी सारणी सममित है, अतः समूह आबेली है — फिर भी वह उदाहरण 7.15 के घूर्णनों $\mathbb U_4$ वाला समूह नहीं है: वहाँ $\iu$ की कोटि $4$ है, जबकि यहाँ हर अवयव की कोटि $\leq 2$ है। अतः एक ही आकार के दो समूहों की गुणन-संरचनाएँ सचमुच भिन्न हो सकती हैं — नीचे का चित्र दोनों सारणियाँ साथ-साथ दिखाता है। यह चार-अवयवी समूह $\{\pm1\} \times \{\pm1\}$ के रूप में लौटता है, और अभ्यास 7.7 समझाता है कि जिस समूह में सभी वर्ग तुच्छ हों वह, इसी की भाँति, आबेली क्यों होना चाहिए।

उदाहरण 7.13 (चिह्न समाकारिता)

$x$ को उसके चिह्न पर भेजने वाला प्रतिचित्रण $s \colon (\R^*, \times) \to (\{\pm1\}, \times)$ एक समाकारिता है: गुणनफल का चिह्न चिह्नों का गुणनफल होता है। उसकी अष्टि $\intoo0{+\infty}$ है (जो उपसमूह है, जैसा परिभाषा 7.10 वादा करता है), और उसका प्रतिबिंब पूरा $\{\pm1\}$: आच्छादक, पर अत्यधिक अनेकैकी। लघु रूप में दो व्यापक शिक्षाएँ। पहली, कोई समाकारिता सूचना को कुचल सकती है: $s$ $x$ का केवल एक बिट स्मरण रखता है और कुछ नहीं, और यही उसका गुण है — चिह्न वाले तर्क ठीक वही संगणनाएँ हैं जो $s$ से होकर गुज़रती हैं। दूसरी, $\{\pm1\}$ तक जाने वाली समाकारिताएँ सरलतम “अपरिवर्त्य” हैं: इस अध्याय की सप्ताहांत समस्या में बनने वाला क्रमचयों का संकेतक समूह $\mathfrak S_n$ पर वही परिघटना है, और वह जिन सम-विषम तर्कों को शक्ति देता है वे सब ऐसी ही द्विमानी समाकारिता से उतरते हैं।