उच्च माध्यमिक गणित · Grades 10–12

22अवकलन और उत्तलता

अवकलज किसी फलन के परिवर्तन की तात्क्षणिक दर नापता है; वह उसके आलेख की स्पर्श रेखा की प्रवणता है। यह अध्याय अवकलन के नियमों को दोहराता और आगे बढ़ाता है, $f'$ के चिह्न को $f$ के परिवर्तन से जोड़ता है, और उत्तलता प्रस्तुत करता है, जिस पर द्वितीय अवकलज का राज है।

22.1 अवकलज

परिभाषा 22.1 (किसी बिंदु पर अवकलज)

मान लीजिए $f$ किसी अंतराल $I$ पर परिभाषित है और $a \in I$ है। फलन $f$ $a$ पर अवकलनीय है यदि अंतर-भागफल

\frac{f(a+h) - f(a)}{h}

की $h \to 0$ पर कोई परिमित सीमा हो। इस सीमा को $a$ पर $f$ का अवकलज कहते हैं और $f'(a)$ लिखते हैं। यदि $f$ $I$ के हर बिंदु पर अवकलनीय हो, तो फलन $f' \colon x \mapsto f'(x)$ $f$ का अवकलज कहलाता है।

परिभाषा 22.2 (स्पर्श रेखा)

यदि $f$ $a$ पर अवकलनीय हो, तो बिंदु $(a, f(a))$ पर $f$ के वक्र की स्पर्श रेखा इस समीकरण वाली रेखा है

y = f(a) + f'(a)(x - a).

जैसे-जैसे h घटता है, A = (a, f(a)) और (a+h, f(a+h)) से होकर जाने वाली छेदक रेखा (नारंगी) A पर की स्पर्श रेखा (लाल) की ओर घूमती जाती है: उसकी प्रवणता f(a+h)-f(a)/h f'(a) की ओर जाती है। — जैसे-जैसे $h$ घटता है, $A = (a, f(a))$ और $(a+h, f(a+h))$ से होकर जाने वाली छेदक रेखा (नारंगी) $A$ पर की स्पर्श रेखा (लाल) की ओर घूमती जाती है: उसकी प्रवणता $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ $f'(a)$ की ओर जाती है।

प्रतिज्ञप्ति 22.3

$a$ पर अवकलनीय फलन $a$ पर संतत होता है। इसका विलोम असत्य है।

उपपत्ति. छोटे $h \neq 0$ के लिए $f(a+h) - f(a) = h \cdot \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ । $h \to 0$ पर दाहिना पक्ष $0 \times f'(a) = 0$ की ओर जाता है, इसलिए $f(a+h) \to f(a)$ । विलोम के लिए: $x \mapsto \abs{x}$ $0$ पर संतत है, पर $0$ पर उसका अंतर-भागफल $h$ के चिह्न के अनुसार $\frac{\abs h}{h} = \pm 1$ के बराबर होता है, और उसकी कोई सीमा नहीं है। ∎

22.1.1 अवकलन के नियम

प्रतिज्ञप्ति 22.4 (संक्रियाएँ)

मान लीजिए $u, v$ $I$ पर अवकलनीय हैं और $\lambda \in \R$ है। तब $u + v$ , $\lambda u$ , $uv$ $I$ पर अवकलनीय हैं, और जहाँ $v \neq 0$ है वहाँ $\frac{u}{v}$ भी, तथा

(u+v)' = u' + v', \quad (\lambda u)' = \lambda u', \quad (uv)' = u'v + uv', \quad \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}.

गुणनफल के नियम की उपपत्ति. $a$ पर $uv$ का अंतर-भागफल इस रूप में लिखिए:

\frac{u(a+h)v(a+h) - u(a)v(a)}{h} = \frac{u(a+h) - u(a)}{h}\,v(a+h) + u(a)\,\frac{v(a+h) - v(a)}{h}.

$h \to 0$ पर सांतत्य से $v(a+h) \to v(a)$ (प्रतिज्ञप्ति 22.3), इसलिए दाहिना पक्ष $u'(a)v(a) + u(a)v'(a)$ की ओर जाता है। शेष नियम इसी तरह सिद्ध होते हैं। ∎

प्रमेय 22.5 (शृंखला नियम)

मान लीजिए $u$ $I$ पर अवकलनीय है और उसके मान $J$ में हैं, तथा $g$ $J$ पर अवकलनीय है। तब $g \circ u$ $I$ पर अवकलनीय है और

(g \circ u)' = (g' \circ u) \cdot u' .

विशेष रूप से, अवकलनीय $u$ के लिए:

(u^n)' = n\,u'\,u^{n-1} \ (n \in \Z), \qquad \left(\sqrt{u}\right)' = \frac{u'}{2\sqrt{u}} \ (u > 0), \qquad \left(\eu^{u}\right)' = u'\,\eu^{u}.

उपपत्ति की रूपरेखा. जब छोटे $h$ के लिए $u(a+h) \neq u(a)$ हो, तब लिखिए

\frac{g(u(a+h)) - g(u(a))}{h} = \frac{g(u(a+h)) - g(u(a))}{u(a+h) - u(a)} \cdot \frac{u(a+h) - u(a)}{h}.

$h \to 0$ पर $u(a+h) \to u(a)$ , इसलिए पहला गुणनखंड $g'(u(a))$ की ओर और दूसरा $u'(a)$ की ओर जाता है। (पूरी उपपत्ति को उस स्थिति को भी सँभालना पड़ता है जहाँ मनमाने छोटे $h$ के लिए $u(a+h) = u(a)$ हो; इस तकनीकी बिंदु का उपचार स्नातक स्तर पर होता है।) ∎

उदाहरण 22.6

अपने-अपने स्वाभाविक प्रांतों पर सही, सामान्य अवकलज:

(x^n)' = nx^{n-1}, \quad \left(\frac{1}{x}\right)' = -\frac{1}{x^2}, \quad (\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}, \quad (\cos x)' = -\sin x, \quad (\sin x)' = \cos x .

पहला गुणनफल के नियम से आगमन द्वारा सिद्ध होता है, और अंतिम दो अध्याय 24 में।

22.2 परिवर्तन और चरम मान

प्रमेय 22.7 (अवकलज का चिह्न और परिवर्तन)

मान लीजिए $f$ किसी अंतराल $I$ पर अवकलनीय है।

$f$ $I$ पर वर्धमान है यदि और केवल यदि $I$ पर $f' \geq 0$ हो।
$f$ $I$ पर ह्रासमान है यदि और केवल यदि $I$ पर $f' \leq 0$ हो।
यदि $I$ पर $f' > 0$ हो, सिवाय सीमित बिंदुओं के जहाँ वह लुप्त होता है, तो $f$ $I$ पर निरंतर वर्धमान है।

आंशिक उपपत्ति. यदि $f$ वर्धमान हो, तो हर अंतर-भागफल $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ $\geq 0$ होता है, और सीमा लेने पर $f'(a) \geq 0$ मिलता है। विलोम निष्कर्ष माध्यमान प्रमेय पर टिके हैं, जो स्नातक स्तर पर सिद्ध होती है; उन्हें इस स्तर पर स्वीकार कर लिया जाता है। ∎

परिभाषा 22.8 (स्थानीय चरम मान)

$f$ का $a$ पर स्थानीय अधिकतम है यदि $a$ के पास के सभी $x$ के लिए $f(x) \leq f(a)$ हो; स्थानीय न्यूनतम सममित रूप से परिभाषित होता है।

प्रतिज्ञप्ति 22.9 (प्रथम-कोटि की शर्त)

यदि $f$ किसी खुले अंतराल $I$ पर अवकलनीय हो और $a \in I$ पर उसका कोई स्थानीय चरम मान हो, तो $f'(a) = 0$ । इसका विलोम असत्य है ( $a = 0$ पर $f(x) = x^3$ )।

उपपत्ति. मान लीजिए $a$ एक स्थानीय अधिकतम है। छोटे $h > 0$ के लिए $\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \leq 0$ , इसलिए $h \to 0^+$ लेने पर $f'(a) \leq 0$ मिलता है; और $h < 0$ के लिए भागफल $\geq 0$ होता है, जिससे $f'(a) \geq 0$ मिलता है। अतः $f'(a) = 0$ । ∎

किसी खुले अंतराल के भीतर स्थानीय चरम मान पर स्पर्श रेखा (नारंगी) क्षैतिज होती है: f'(a) = 0। यहाँ f(x) = x3 - 3x, जिसमें -1 पर स्थानीय अधिकतम और 1 पर स्थानीय न्यूनतम है। — किसी खुले अंतराल के भीतर स्थानीय चरम मान पर स्पर्श रेखा (नारंगी) क्षैतिज होती है: $f'(a) = 0$ । यहाँ $f(x) = x^3 - 3x$ , जिसमें $-1$ पर स्थानीय अधिकतम और $1$ पर स्थानीय न्यूनतम है।

विधि 22.10 (परिवर्तन-सारणी)

किसी फलन $f$ का अध्ययन करने के लिए: उसका प्रांत और सीमाओं पर मान निकालिए; $f'$ निकालकर उसका गुणनखंडन कीजिए; हर उप-अंतराल पर $f'$ का चिह्न तय कीजिए; सब कुछ परिवर्तन-सारणी में दर्ज कीजिए और चरम मान अंकित कीजिए; और एकैकी आच्छादन प्रमेय (प्रमेय 21.15) से $f(x) = k$ के हलों की संख्या निकालिए।

22.3 उत्तलता

परिभाषा 22.11 (उत्तल फलन)

किसी अंतराल $I$ पर परिभाषित फलन $f$ $I$ पर उत्तल है यदि उसके आलेख की हर जीवा आलेख के ऊपर पड़े: अर्थात् सभी $a, b \in I$ और $t \in \intcc{0}{1}$ के लिए

f\bigl((1-t)a + t b\bigr) \leq (1-t) f(a) + t f(b).

वह अवतल है यदि उल्टी असमिका सही हो ( $-f$ उत्तल)।

एक उत्तल फलन: हर जीवा (लाल) आलेख के ऊपर पड़ती है, और आलेख अपनी हर स्पर्श रेखा (नारंगी) के ऊपर। बिंदुदार रेखाखंड f ((1-t)a+tb ) और (1-t)f(a)+tf(b) के बीच का अंतर दिखाता है। — एक उत्तल फलन: हर जीवा (लाल) आलेख के ऊपर पड़ती है, और आलेख अपनी हर स्पर्श रेखा (नारंगी) के ऊपर। बिंदुदार रेखाखंड $f\bigl((1-t)a+tb\bigr)$ और $(1-t)f(a)+tf(b)$ के बीच का अंतर दिखाता है।

प्रमेय 22.12 (उत्तलता और अवकलज)

मान लीजिए $f$ किसी अंतराल $I$ पर अवकलनीय है। ये कथन तुल्य हैं:

$f$ $I$ पर उत्तल है;
$f'$ $I$ पर वर्धमान है;
$f$ का आलेख अपनी हर स्पर्श रेखा के ऊपर पड़ता है।

यदि $f$ दो बार अवकलनीय हो, तो ये $I$ पर $f'' \geq 0$ के भी तुल्य हैं।

(2) $\Rightarrow$ (3) की उपपत्ति. $a \in I$ स्थिर रखिए और $g(x) = f(x) - f(a) - f'(a)(x-a)$ रखिए, जो $a$ पर वक्र और स्पर्श रेखा के बीच का अंतर है। तब $g$ अवकलनीय है और $g'(x) = f'(x) - f'(a)$ । यदि $f'$ वर्धमान हो, तो $I \cap \intoc{-\infty}{a}$ पर $g' \leq 0$ और $I \cap \intco{a}{+\infty}$ पर $g' \geq 0$ : $g$ $a$ से पहले घटता है और बाद में बढ़ता है, इसलिए $g$ अपना न्यूनतम $g(a) = 0$ पर पाता है, अतः $g \geq 0$ । शेष निष्कर्ष इस स्तर पर स्वीकार कर लिए जाते हैं; $f'' \geq 0$ के साथ तुल्यता $f'$ पर प्रमेय 22.7 लगाने से निकलती है। ∎

परिभाषा 22.13 (नति-परिवर्तन बिंदु)

जिस बिंदु पर $f$ का वक्र अपनी स्पर्श रेखा को पार कर जाता है वह नति-परिवर्तन बिंदु है। दो बार अवकलनीय $f$ के लिए नति-परिवर्तन बिंदु वही हैं जहाँ $f''$ चिह्न बदलता है।

उदाहरण 22.14

$f(x) = x^3$ के लिए $f''(x) = 6x$ : $f$ $\intoc{-\infty}{0}$ पर अवतल और $\intco{0}{+\infty}$ पर उत्तल है, और मूल बिंदु पर उसका नति-परिवर्तन बिंदु है, जहाँ वक्र अपनी स्पर्श रेखा ( $x$ -अक्ष) को पार कर जाता है।

मूल बिंदु पर x x3 का नति-परिवर्तन बिंदु: वक्र अपनी स्पर्श रेखा (नारंगी) को पार कर जाता है, बाईं ओर अवतल और दाईं ओर उत्तल। — मूल बिंदु पर $x \mapsto x^3$ का नति-परिवर्तन बिंदु: वक्र अपनी स्पर्श रेखा (नारंगी) को पार कर जाता है, बाईं ओर अवतल और दाईं ओर उत्तल।

उदाहरण 22.15 (उत्तलता से असमिकाएँ)

चरघातांकी फलन $\R$ पर उत्तल है (उसका द्वितीय अवकलज वही स्वयं है, जो धनात्मक है)। $0$ पर उसकी स्पर्श रेखा $y = 1 + x$ है, इसलिए

\eu^x \geq 1 + x \quad x \in \R \text{ के लिए} .

ऐसी स्पर्श-रेखा असमिकाएँ उत्तलता की मानक उपज हैं।

विधि 22.16 (उत्तलता का उपयोग)

कोई असमिका $f(x) \geq ax + b$ सिद्ध करने के लिए: उस रेखा को किसी उत्तल $f$ की स्पर्श रेखा के रूप में पहचानिए और प्रमेय 22.12(3) का हवाला दीजिए।
नति-परिवर्तन बिंदु ढूँढ़ने के लिए: $f''(x) = 0$ हल कीजिए और जाँचिए कि वहाँ $f''$ चिह्न बदलता है।
परिवर्तन-सारणी में उत्तलता वक्र के रेखाचित्र को और पैना कर देती है (वह किस ओर मुड़ता है)।

22.4 अभ्यास

अभ्यास 22.1 ★

निम्नलिखित फलनों का उनके प्रांतों पर अवकलन कीजिए:

f(x) = x^3 - 5x + 2, \quad g(x) = \frac{x}{x^2+1}, \quad h(x) = (2x+1)^5, \quad k(x) = \sqrt{x^2 + 1}.

हल

हल — अभ्यास 22.1.

$f'(x) = 3x^2 - 5$ ।

भागफल का नियम: $g'(x) = \dfrac{(x^2+1) - x\cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \dfrac{1 - x^2}{(x^2+1)^2}$ ।

$u = 2x+1$ के साथ शृंखला नियम: $h'(x) = 5 \cdot 2 \cdot (2x+1)^4 = 10(2x+1)^4$ ।

$u = x^2 + 1$ के साथ शृंखला नियम: $k'(x) = \dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+1}} = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}$ ।

अभ्यास 22.2 ★

भुज $a = 2$ वाले बिंदु पर $f(x) = x^2 - 3x + 1$ के वक्र की स्पर्श रेखा का समीकरण बताइए, और इस स्पर्श रेखा के सापेक्ष वक्र की स्थिति ज्ञात कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 22.2.

$f'(x) = 2x - 3$ , इसलिए $f(2) = -1$ और $f'(2) = 1$ : स्पर्श रेखा $y = -1 + (x - 2) = x - 3$ है। अंतर

f(x) - (x - 3) = x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2 \geq 0 ,

है, इसलिए वक्र हर जगह स्पर्श रेखा के ऊपर पड़ता है और उसे केवल $x = 2$ पर छूता है (जैसी अपेक्षा थी: $f$ उत्तल है)।

अभ्यास 22.3 ★

अवकलज की परिभाषा का उपयोग करके निकालिए:

\lim_{x \to 0} \frac{(1+x)^{100} - 1}{x} \qquad\text{और}\qquad \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{4+h} - 2}{h}.

हल

हल — अभ्यास 22.3.

दोनों अंतर-भागफल हैं। $0$ पर $f(x) = (1+x)^{100}$ के साथ: $f'(x) = 100(1+x)^{99}$ , इसलिए सीमा $f'(0) = 100$ है। $4$ पर $g(x) = \sqrt{x}$ के साथ: $g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ , इसलिए सीमा $g'(4) = \frac14$ है।

अभ्यास 22.4 ★★

फलन $f(x) = \dfrac{x^2 + 3}{x - 1}$ का उसके प्रांत पर अध्ययन कीजिए: सीमाएँ, अवकलज, परिवर्तन-सारणी, स्थानीय चरम मान।

हल

हल — अभ्यास 22.4.

प्रांत $\R \setminus \{1\}$ । सीमाएँ: $\pm\infty$ पर $f(x) \sim x \to \pm\infty$ ; $1^\pm$ पर अंश $\to 4 > 0$ और हर $\to 0^\pm$ , इसलिए $f \to \pm\infty$ ; रेखा $x = 1$ ऊर्ध्वाधर अनन्तस्पर्शी है।

f'(x) = \frac{2x(x-1) - (x^2+3)}{(x-1)^2} = \frac{x^2 - 2x - 3}{(x-1)^2} = \frac{(x-3)(x+1)}{(x-1)^2}.

अतः $\intoo{-\infty}{-1}$ और $\intoo{3}{+\infty}$ पर $f' > 0$ , तथा $\intoo{-1}{1}$ और $\intoo{1}{3}$ पर $f' < 0$ । फलन बढ़कर स्थानीय अधिकतम $f(-1) = -2$ तक जाता है, घटकर $-\infty$ तक आता है, अनन्तस्पर्शी के बाद उछलकर $+\infty$ पर आता है, घटकर स्थानीय न्यूनतम $f(3) = 6$ तक जाता है, और फिर बढ़ता है।

अभ्यास 22.5 ★★

भुजा $30\,$ cm की एक वर्गाकार गत्ते की चादर के कोनों से भुजा $x$ के बराबर वर्ग काटकर और किनारे मोड़कर बिना ढक्कन का डिब्बा बनाया जाता है। डिब्बे के आयतन को अधिकतम करने वाला $x$ ज्ञात कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 22.5.

$x \in \intoo{0}{15}$ के लिए डिब्बे का आधार भुजा $30 - 2x$ का वर्ग है और ऊँचाई $x$ , इसलिए

V(x) = x(30 - 2x)^2 .

$V'(x) = (30-2x)^2 + x \cdot 2(30-2x)(-2) = (30-2x)(30 - 2x - 4x) = (30-2x)(30-6x)$ । $\intoo{0}{15}$ पर $30 - 2x > 0$ , इसलिए $V'$ का चिह्न $30 - 6x$ जैसा है: $x = 5$ से पहले धनात्मक, बाद में ऋणात्मक। आयतन $x = 5$ cm पर अधिकतम होता है, और वह $V(5) = 5 \times 20^2 = 2000\ \text{cm}^3$ है।

अभ्यास 22.6 ★★

मान लीजिए $f(x) = x^4 - 4x^3 + 10$ है।

$f''$ निकालिए और $f$ के उत्तलता-अंतराल तथा नति-परिवर्तन बिंदु ज्ञात कीजिए।
दिखाइए कि भुज $2$ वाले नति-परिवर्तन बिंदु पर स्पर्श रेखा वक्र को वहीं पार करती है।

हल

हल — अभ्यास 22.6.

1. $f'(x) = 4x^3 - 12x^2$ और $f''(x) = 12x^2 - 24x = 12x(x-2)$ । इस प्रकार $\intoo{-\infty}{0}$ और $\intoo{2}{+\infty}$ पर $f'' > 0$ (उत्तल), तथा $\intoo{0}{2}$ पर $f'' < 0$ (अवतल)। $f''$ $0$ पर और $2$ पर चिह्न बदलता है: दोनों नति-परिवर्तन बिंदु हैं।

2. $a = 2$ पर: $f(2) = 16 - 32 + 10 = -6$ , $f'(2) = 32 - 48 = -16$ , स्पर्श रेखा $y = -6 - 16(x-2) = -16x + 26$ । अंतर

g(x) = f(x) + 16x - 26 = x^4 - 4x^3 + 16x - 16 .

है। चूँकि $g(2) = g'(2) = g''(2) = 0$ है, इसलिए $(x-2)^3$ $g$ को विभाजित करता है; भाग देने पर $g(x) = (x-2)^3(x+2)$ मिलता है। $x = 2$ के पास $x + 2 > 0$ , इसलिए $g$ का चिह्न $(x-2)^3$ जैसा है: $2$ से पहले ऋणात्मक, बाद में धनात्मक। वक्र स्पर्श रेखा को पार कर जाता है: $2$ सचमुच नति-परिवर्तन बिंदु है।

अभ्यास 22.7 ★★

स्पर्श-रेखा असमिका का उपयोग करके दिखाइए कि सभी $x > 0$ के लिए

\sqrt{x} \leq \frac{x + 1}{2},

और बताइए कि समता कब होती है। (संकेत: वर्गमूल अवतल है।)

हल

हल — अभ्यास 22.7.

फलन $f(x) = \sqrt{x}$ $\intoo{0}{+\infty}$ पर $f''(x) = -\frac{1}{4}x^{-3/2} < 0$ संतुष्ट करता है: वह अवतल है, इसलिए उसका आलेख अपनी हर स्पर्श रेखा के नीचे पड़ता है। $a = 1$ पर स्पर्श रेखा

y = f(1) + f'(1)(x - 1) = 1 + \tfrac12 (x-1) = \frac{x+1}{2},

है, जिससे सभी $x > 0$ के लिए $\sqrt{x} \leq \frac{x+1}{2}$ निकलता है। समता का अर्थ है कि वक्र स्पर्श रेखा को छूता है, और यह केवल स्पर्श बिंदु $x = 1$ पर होता है। (समतुल्य रूप से: $\left(\sqrt x - 1\right)^2 \geq 0$ ।)

अभ्यास 22.8 ★★★

मान लीजिए $f$ $\R$ पर उत्तल और अवकलनीय है, और मान लीजिए $f'$ किसी बिंदु $a$ पर लुप्त होता है। दिखाइए कि $f(a)$ $\R$ पर $f$ का वैश्विक न्यूनतम है।

हल

हल — अभ्यास 22.8.

प्रमेय 22.12 से किसी अवकलनीय उत्तल फलन का आलेख अपनी हर स्पर्श रेखा के ऊपर पड़ता है। $a$ पर स्पर्श रेखा क्षैतिज है ( $f'(a) = 0$ ), जिसका समीकरण $y = f(a)$ है। अतः सभी $x \in \R$ के लिए $f(x) \geq f(a)$ : $f(a)$ वैश्विक न्यूनतम है।

अभ्यास 22.9 ★★★

दिखाइए कि नियत परिमाप $p$ वाले सभी आयतों में वर्ग का क्षेत्रफल सबसे बड़ा होता है। फिर दिखाइए कि नियत क्षेत्रफल $A$ वाले सभी आयतों में वर्ग का परिमाप सबसे छोटा होता है, और समझाइए कि दोनों कथन आपस में कैसे जुड़े हैं।

हल

हल — अभ्यास 22.9.

नियत परिमाप: भुजाओं $x$ और $\frac{p}{2} - x$ ( $0 < x < \frac p2$ ) वाले आयत का क्षेत्रफल $S(x) = x\left(\frac p2 - x\right)$ है। तब $S'(x) = \frac p2 - 2x$ $x = \frac p4$ पर लुप्त होता है, और उससे पहले धनात्मक तथा बाद में ऋणात्मक है: अधिकतम $x = \frac{p}{4}$ पर है, जहाँ दोनों भुजाएँ $\frac p4$ के बराबर हैं — यानी वर्ग।

नियत क्षेत्रफल: भुजाएँ $x$ और $\frac Ax$ परिमाप $P(x) = 2\left(x + \frac Ax\right)$ देती हैं, जिसमें $P'(x) = 2\left(1 - \frac{A}{x^2}\right)$ $x < \sqrt A$ के लिए ऋणात्मक और उसके बाद धनात्मक है: न्यूनतम $x = \sqrt{A}$ पर, फिर एक वर्ग।

संबंध: दोनों कथन द्वैत हैं। मान लीजिए नियत क्षेत्रफल $A$ पर परिमाप को कोई अ-वर्ग आयत न्यूनतम करता; तब पहले कथन से उसी परिमाप वाले वर्ग का क्षेत्रफल $> A$ होता, और उसे समरूप रूप से सिकोड़कर क्षेत्रफल $A$ तक लाने पर उसका परिमाप कड़ाई से घट जाता — जो न्यूनतमता का खंडन है। इस प्रकार हर कथन दूसरे को सिद्ध कर देता है।

22.5 समस्या: जीवनरक्षक की गणना

समस्या 22.1

सप्ताहांत समस्या — सबसे तेज़ बचाव-मार्ग प्रकाश के स्नेल नियम को मानता है, उत्तलता हर इष्टतम को प्रमाणित कर देती है, और आदर्श पेय-डिब्बा ठीक उतना ही ऊँचा होता है जितना चौड़ा

एक जीवनरक्षक किसी तैराक को मुसीबत में देखती है — तट के तिरछे नीचे, पानी के भीतर। दौड़ना तैरने से तेज़ है: इसलिए सीधी रेखा सबसे तेज़ रास्ता नहीं है। समय को न्यूनतम करने वाला रास्ता तट पर मुड़ जाता है, और उसके मुड़ने का नियम ठीक वही है जिससे प्रकाश पानी में घुसते समय अपवर्तित होता है: प्रकृति भी अवकलन करती है। यह समस्या शृंखला नियम (प्रमेय 22.5) का अभ्यास कराती है, बचाव करती है, उत्तलता (प्रमेय 22.12) की असमिकाएँ काटती है, और एक टिन का डिब्बा बनाती है।

भाग I — शृंखला नियम में प्रवाह।

अवकलन कीजिए: $\left(3x^2 + 1\right)^5$ ; $\sqrt{x^2 + 9}$ ; $\dfrac{1}{x^2 + 1}$ ।
$x = 4$ पर $y = \sqrt{x^2 + 9}$ की स्पर्श रेखा बताइए।
$\R$ पर $f(x) = \dfrac{x}{x^2 + 1}$ की परिवर्तन-सारणी बनाइए (चरम मान सहित)।
$g(x) = x^3 - 3x^2 + 4$ के लिए: परिवर्तन-सारणी और उत्तलता-सारणी ( $g''$ ), नति-परिवर्तन बिंदु सहित (परिभाषा 22.13)।
$g$ की उसके नति-परिवर्तन बिंदु पर स्पर्श रेखा निकालिए, और दिखाइए कि $g(x) - (\text{स्पर्श रेखा}) = (x - 1)^3$ : चिह्न का यह बदलना इस बारे में क्या कहता है कि नति-परिवर्तन बिंदु पर स्पर्श रेखा वक्र से कैसे मिलती है?

भाग II — बचाव। तट $x$ -अक्ष के अनुदिश है; जीवनरक्षक रेत पर $A(0, 30)$ पर खड़ी है, और तैराक $B(40, -20)$ पर प्रतीक्षा कर रहा है (मीटर में)। वह रेत पर $5$ m/s से दौड़ती है, $2$ m/s से तैरती है, और अपनी पसंद के किसी बिंदु $(x, 0)$ पर पानी में उतरती है।

प्रतिरूप: कुल बचाव-समय $T(x)$ व्यक्त कीजिए, और बताइए कि केवल $x \in \intcc{0}{40}$ ही विचार के योग्य क्यों है।
$T$ का अवकलन कीजिए (शृंखला नियम काम पर — दो बार)।
मान लीजिए $\theta_1$ दौड़ वाले चरण का तट के लंब से कोण है, और $\theta_2$ तैरने वाले चरण का। दिखाइए कि $\sin\theta_1 = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 900}}$ , और यह कि शर्त $T'(x) = 0$ का अर्थ है

$\frac{\sin\theta_1}{5} = \frac{\sin\theta_2}{2}$

— यानी स्नेल का नियम, जिसमें हवा और पानी में प्रकाश की चालों के स्थान पर ये दोनों चालें हैं।
सीधा रेखाखंड $[AB]$ तट को $x = 24$ पर काटता है। $T(24)$ , $T(40)$ (तट के साथ-साथ दौड़कर फिर सीधे तैरना) और $T(0)$ निकालिए: क्या ज्यामितीय सीधी रेखा सबसे तेज़ है? क्या दोनों चरम रणनीतियों में से कोई है?
$T'$ पर द्विभाजन से इष्टतम प्रवेश-बिंदु ढूँढ़िए (वह $\approx 33.7$ m है): $x^*$ मीटर तक और रिकॉर्ड समय $T(x^*)$ सेकंड के दसवें भाग तक बताइए। इष्टतम मोड़ सीधी रेखा की तुलना में कितना बचा लेता है?
क्रांतिक बिंदु वैश्विक न्यूनतम क्यों है? ( $T$ का हर पद उत्तल है — यह स्वीकार कर लीजिए कि उत्तल फलनों का योग उत्तल होता है — और अभ्यास 22.8 लगाइए।)
फ़र्मा का सिद्धांत कहता है कि प्रकाश सदा न्यूनतम समय वाला रास्ता लेता है। इससे निकालिए कि प्रकाश की किरण पानी में घुसते समय (जहाँ प्रकाश धीमा है) ठीक सतह पर क्यों मुड़ती है, और रोज़मर्रा का वह प्रेक्षण बताइए जिसकी व्याख्या इससे होती है — पानी के गिलास में रखी पेंसिल।

भाग III — उत्तलता की फ़सल।

दिखाइए कि $x \mapsto x^2$ उत्तल है, और मध्यबिंदु असमिका $\left(\frac{a + b}{2}\right)^2 \leq \frac{a^2 + b^2}{2}$ दो बार सिद्ध कीजिए: एक बार उत्तलता से, और एक बार $(a - b)^2 \geq 0$ का प्रसार करके।
इससे निकालिए कि वर्ग-माध्य $\sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}}$ समांतर माध्य पर हावी रहता है, और इस शृंखला की पूरी कड़ी जोड़िए — हरात्मक $\leq$ गुणोत्तर $\leq$ समांतर $\leq$ वर्ग — और चारों की जाँच $a = 2$ , $b = 8$ पर कीजिए।
स्पर्श-रेखा-नीचे-वक्र: $x \mapsto \frac1x$ $\intoo{0}{+\infty}$ पर उत्तल है; $1$ पर उसकी स्पर्श रेखा लिखिए और सभी $x > 0$ के लिए असमिका $\frac1x \geq 2 - x$ निकालिए। समता कहाँ होती है?
जंगल में नति-परिवर्तन: किसी महामारी में संचयी रोगियों की गिनती S-आकार के वक्र का अनुसरण करती है। उसके नति-परिवर्तन बिंदु पर क्या होता है, और महामारी-विज्ञानी उसी तारीख़ की प्रतीक्षा क्यों करते हैं? उसे दोनों ओर द्वितीय अवकलज के चिह्न से जोड़िए।

भाग IV — आदर्श डिब्बा। किसी बेलनाकार डिब्बे में कम से कम धातु के साथ $V = 330$ cm $^3$ समाना चाहिए: पृष्ठ $S = 2\pi r^2 + 2\pi r h$ , प्रतिबंध $\pi r^2 h = V$ ।

$S(r) = 2\pi r^2 + \dfrac{2V}{r}$ व्यक्त कीजिए, अवकलन कीजिए, और $V = 330$ के लिए इष्टतम त्रिज्या तथा ऊँचाई निकालिए (मिलीमीटर की यथार्थता तक)।
सुंदर सामान्य नियम सिद्ध कीजिए: इष्टतम पर $h = 2r$ — आदर्श डिब्बा ठीक उतना ही ऊँचा होता है जितना चौड़ा।
$S''(r) > 0$ जाँचिए और (फिर अभ्यास 22.8 से) निष्कर्ष निकालिए कि इष्टतम वैश्विक है। असली पेय-डिब्बे साफ़ दिखता है कि चौड़ाई से अधिक ऊँचे होते हैं: कोई एक अ-गणितीय कारण बताइए।
समापन — इष्टतमीकरण की प्रक्रिया-शृंखला: प्रतिरूप बनाइए, अवकलज से पूछिए, क्रांतिक बिंदुओं के लिए हल कीजिए, उत्तलता या सारणी से प्रमाणित कीजिए, और व्याख्या कीजिए। इस सूची को जीवनरक्षक, डिब्बे और कक्षा 11 के सबसे मज़बूत शहतीर (समस्या 12.1) पर चलाइए — और बताइए कि फ़र्मा का सिद्धांत यह प्रक्रिया चलाने वाले और किसके बारे में कहता है।

हल

हल — समस्या 22.1.

1. $30x\left(3x^2 + 1\right)^4$ ; $\dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 9}}$ ; $-\dfrac{2x}{\left(x^2 + 1\right)^2}$ ।

2. $y(4) = 5$ , प्रवणता $\frac45$ : स्पर्श रेखा $y = 5 + \frac45(x - 4)$ , अर्थात् $y = \frac45 x + \frac95$ ।

3. $f'(x) = \frac{(x^2 + 1) - x \cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2}$ : $-1$ और $1$ के आरपार ऋणात्मक, धनात्मक, ऋणात्मक: न्यूनतम $f(-1) = -\frac12$ , अधिकतम $f(1) = \frac12$ , और दोनों ओर क्षैतिज अनन्तस्पर्शी $0$ ।

4. $g'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$ : $0$ और $2$ के आरपार वर्धमान, ह्रासमान, वर्धमान; स्थानीय अधिकतम $g(0) = 4$ , स्थानीय न्यूनतम $g(2) = 0$ । $g''(x) = 6x - 6$ : $1$ से पहले अवतल, बाद में उत्तल: $(1, 2)$ पर नति-परिवर्तन।

5. $1$ पर स्पर्श रेखा: प्रवणता $g'(1) = -3$ : $y = 2 - 3(x - 1) = -3x + 5$ । अंतर: $x^3 - 3x^2 + 4 - (-3x + 5) = x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = (x - 1)^3$ , जो $1$ पर चिह्न बदलता है: स्पर्श रेखा वक्र को पार कर जाती है — यही नति-परिवर्तन बिंदु का विशिष्ट व्यवहार है, जहाँ वक्र पाला बदल लेता है।

6. $T(x) = \dfrac{\sqrt{x^2 + 900}}{5} + \dfrac{\sqrt{(40 - x)^2 + 400}}{2}$ । $0$ से पहले या $40$ से आगे पानी में उतरने से दोनों चरण लंबे हो जाते हैं: व्यर्थ।

7. $T'(x) = \dfrac{x}{5\sqrt{x^2 + 900}} - \dfrac{40 - x}{2\sqrt{(40 - x)^2 + 400}}$ ।

8. दौड़ वाले त्रिभुज में तट के अनुदिश भुजा $x$ है और कर्ण $\sqrt{x^2 + 900}$ : लंब के साथ बने कोण की ज्या ठीक इन का भागफल है (सामने वाली भुजा बटा कर्ण); इसी तरह $\sin\theta_2 = \frac{40 - x}{\sqrt{(40-x)^2 + 400}}$ । तब $T'(x) = 0$ का अर्थ $\frac{\sin\theta_1}{5} = \frac{\sin\theta_2}{2}$ हो जाता है — यानी चालों $5$ और $2$ के साथ स्नेल का नियम।

9. $T(24) \approx 20.5$ s; $T(40) = 10 + 10 = 20$ s; $T(0) = 6 + \sqrt{2000}/2 \approx 28.4$ s। सीधी रेखा “पूरे रास्ते दौड़िए, फिर सीधे तैरिए” से भी हार जाती है — और दोनों अपवर्तित रास्ते से हार जाते हैं।

10. $T'$ पर द्विभाजन ( $24$ पर ऋणात्मक, $40$ पर धनात्मक) $x^* \approx 34$ m पर अभिसरित होता है, जिसमें $T(x^*) \approx 19.5$ s है: सीधी रेखा से लगभग एक सेकंड तेज़ — और यही एक सेकंड बचाव और त्रासदी के बीच का अंतर है।

11. हर चरण का समय $x$ का उत्तल फलन है (एक $\sqrt{\text{द्विघात}}$ शाखा), इसलिए $T$ उत्तल है, और किसी अवकलनीय उत्तल फलन का क्रांतिक बिंदु उसका वैश्विक न्यूनतम होता है (अभ्यास 22.8): $x^*$ केवल स्थिर नहीं, अजेय है।

12. पानी में प्रकाश धीमा है; फ़र्मा के सिद्धांत से हवा-से-पानी वाला सबसे तेज़ रास्ता सतह पर ठीक स्नेल के नियम के अनुसार मुड़ जाता है — इसलिए डूबी हुई पेंसिल से आने वाली किरणें आँख तक मुड़कर पहुँचती हैं, और मस्तिष्क, सीधी रेखाएँ आगे बढ़ाकर, पेंसिल को जल-रेखा पर टूटा हुआ देख लेता है।

13. $(x^2)'' = 2 > 0$ : उत्तल। मध्यबिंदु पर उत्तलता: $f\left(\frac{a+b}{2}\right) \leq \frac{f(a) + f(b)}{2}$ , और यही दावा है। हाथ से: $\frac{a^2 + b^2}{2} - \left(\frac{a+b}{2}\right)^2 = \frac{(a - b)^2}{4} \geq 0$ ।

14. प्रश्न 13 में वर्गमूल (वर्धमान) लेने पर: $\frac{a + b}{2} \leq \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}}$ । $2, 8$ पर पूरी कड़ी: हरात्मक $\frac{2 \cdot 16}{10} = 3.2$ ; गुणोत्तर $\sqrt{16} = 4$ ; समांतर $5$ ; वर्ग $\sqrt{34} \approx 5.83$ : हर माध्य अगले के आगे झुक जाता है।

15. $1$ पर $\frac1x$ की स्पर्श रेखा: मान $1$ , प्रवणता $-1$ : $y = 2 - x$ । उत्तल वक्र अपनी स्पर्श रेखाओं के ऊपर बैठते हैं (प्रमेय 22.12): सभी $x > 0$ के लिए $\frac1x \geq 2 - x$ , और समता ठीक स्पर्श बिंदु $x = 1$ पर।

16. नति-परिवर्तन पर दैनिक रोगी-गिनती (अवकलज) अपनी चोटी छूती है: वृद्धि का त्वरण रुक जाता है और मंदन शुरू हो जाता है — यही पहला गणितीय संकेत है कि लहर मुड़ रही है, और यह गिनतियों के गिरने से बहुत पहले आ जाता है। उससे पहले $f'' > 0$ (हर दिन पिछले से बुरा); उसके बाद $f'' < 0$ (बढ़ती तो है, पर धीमी पड़ती हुई)।

17. $S'(r) = 4\pi r - \frac{2V}{r^2} = 0$ से $r^3 = \frac{V}{2\pi} = \frac{330}{2\pi}$ मिलता है: $r \approx 3.74$ cm, और $h = \frac{330}{\pi r^2} \approx 7.49$ cm।

18. इष्टतम पर $h = \frac{V}{\pi r^2} = \frac{2\pi r^3}{\pi r^2} = 2r$ : ऊँचाई व्यास के बराबर, आयतन चाहे जो हो।

19. $S''(r) = 4\pi + \frac{4V}{r^3} > 0$ : उत्तल, इसलिए क्रांतिक त्रिज्या वैश्विक न्यूनतम है। असली डिब्बे पकड़, चिनाई, अलमारी में दिखावट और ऊपर-नीचे की मोटी धातु के कारण अधिक ऊँचे बनाए जाते हैं — इष्टतमीकरण सदा ठीक वही न्यूनतम करता है जो आपने लिखा, न कि वह जो आपके मन में था।

20. जीवनरक्षक: प्रतिरूप $T(x)$ , अवकलन, स्नेल, उत्तलता, एक सेकंड की बचत। डिब्बा: प्रतिरूप $S(r)$ , अवकलन, $h = 2r$ , उत्तलता, धातु की बचत। शहतीर (समस्या 12.1): प्रतिरूप $S(w)$ , अवकलन, $d = w\sqrt2$ , सारणी, बढ़ी हुई दृढ़ता। और फ़र्मा के सिद्धांत से प्रकाश स्वयं हर सतह पर यही प्रक्रिया चलाता है — प्रकृति ही पहली इष्टतमकर्ता थी।