उत्तल फलन क्या है? — गणित

परिभाषा 22.11 उच्च माध्यमिक गणित · अध्याय 22 — अवकलन और उत्तलता

किसी अंतराल $I$ पर परिभाषित फलन $f$ $I$ पर उत्तल है यदि उसके आलेख की हर जीवा आलेख के ऊपर पड़े: अर्थात् सभी $a, b \in I$ और $t \in \intcc{0}{1}$ के लिए

f\bigl((1-t)a + t b\bigr) \leq (1-t) f(a) + t f(b).

वह अवतल है यदि उल्टी असमिका सही हो ( $-f$ उत्तल)।

एक उत्तल फलन: हर जीवा (लाल) आलेख के ऊपर पड़ती है, और आलेख अपनी हर स्पर्श रेखा (नारंगी) के ऊपर। बिंदुदार रेखाखंड f ((1-t)a+tb ) और (1-t)f(a)+tf(b) के बीच का अंतर दिखाता है। — एक उत्तल फलन: हर जीवा (लाल) आलेख के ऊपर पड़ती है, और आलेख अपनी हर स्पर्श रेखा (नारंगी) के ऊपर। बिंदुदार रेखाखंड $f\bigl((1-t)a+tb\bigr)$ और $(1-t)f(a)+tf(b)$ के बीच का अंतर दिखाता है।

उदाहरण

उदाहरण 22.14

$f(x) = x^3$ के लिए $f''(x) = 6x$ : $f$ $\intoc{-\infty}{0}$ पर अवतल और $\intco{0}{+\infty}$ पर उत्तल है, और मूल बिंदु पर उसका नति-परिवर्तन बिंदु है, जहाँ वक्र अपनी स्पर्श रेखा ( $x$ -अक्ष) को पार कर जाता है।

उदाहरण 22.15 (उत्तलता से असमिकाएँ)

चरघातांकी फलन $\R$ पर उत्तल है (उसका द्वितीय अवकलज वही स्वयं है, जो धनात्मक है)। $0$ पर उसकी स्पर्श रेखा $y = 1 + x$ है, इसलिए

\eu^x \geq 1 + x \quad x \in \R \text{ के लिए} .

ऐसी स्पर्श-रेखा असमिकाएँ उत्तलता की मानक उपज हैं।

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परिभाषा 14.18 विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 1 · अध्याय 14 — अवकलन

$f \colon I \to \R$ उत्तल तब है जब हर जीवा आलेख के ऊपर हो:

\forall x, y \in I,\ \forall t \in \intcc{0}{1}, \quad f\bigl(tx + (1-t)y\bigr) \leq t f(x) + (1-t) f(y).

( $f$ अवतल तब है जब $-f$ उत्तल हो।)

उत्तलता, दो बार: हर जीवा (धूसर) आलेख के ऊपर है, और आलेख हर स्पर्श रेखा (बिंदुकित) के ऊपर।

उदाहरण

उदाहरण 14.20 (चिरपरिचित उत्तलता असमिकाएँ)

$\exp$ उत्तल है ( $\exp'' = \exp > 0$ ): $0$ पर उसकी स्पर्श रेखा सभी $x$ के लिए $\eu^x \geq 1 + x$ देती है। $\ln$ अवतल है: $1$ पर उसकी स्पर्श रेखा $\ln x \leq x - 1$ देती है; और $0 < a \leq b$ के लिए उसकी जीवाएँ गुणोत्तर तथा समांतर माध्यों के बीच की असमिका देती हैं: अवतलता में $t = \frac12$ लेने पर,

\ln\frac{a + b}{2} \geq \frac{\ln a + \ln b}{2} = \ln\sqrt{ab}, \qquad\text{अतः}\qquad \sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2} .

व्यापक समांतर–गुणोत्तर असमिका अभ्यास 14.9 है।

उदाहरण 14.21 (शून्य से एक उत्तलता असमिका)

फलन $f(t) = t\ln t$ $\intoo{0}{+\infty}$ पर उत्तल है: $f''(t) = \frac1t > 0$ । उसकी मध्यबिंदु असमिका, $2$ से गुणा करने पर, कहती है: सभी $a, b > 0$ के लिए,

a\ln a + b\ln b \;\geq\; (a + b)\,\ln\frac{a + b}{2} ,

जहाँ समता तभी जब $a = b$ (कठोर उत्तलता)। परीक्षण: $a = 1$ , $b = 3$ $4\ln 2 = 2.773$ के सामने $3\ln 3 = 3.296$ देता है। यह निर्दोष दिखने वाली असमिका उस एंट्रॉपी तुलना की दो-बिंदु स्थिति है जो येंसन असमिका (अभ्यास 14.9) के साथ और स्नातक वर्ष 3 के खंड के सूचना-सैद्धांतिक अनंतस्पर्शी में फिर प्रकट होती है। समापन का सार: कोई असमिका गढ़नी हो तो ऐसा फलन खोजिए जिसके द्वितीय अवकलज का कोई चिह्न हो, और लिख डालिए कि उत्तलता क्या कहती है — अवकलीय अभिलक्षण एक ही चिह्न-जाँच को अनंत असमिकाओं में बदल देता है।

उदाहरण 14.24 (अवतलता से यंग असमिका)

मान लीजिए $p, q > 1$ और $\frac1p + \frac1q = 1$ । सभी $a, b > 0$ के लिए:

ab \;\leq\; \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q} .

उपपत्ति: भार $\frac1p, \frac1q$ के साथ $\ln$ की अवतलता का एक ही प्रयोग (दो-बिंदु येंसन असमिका, जैसा अभ्यास 14.9 में है):

\ln\Bigl(\frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}\Bigr) \;\geq\; \frac1p \ln(a^p) + \frac1q \ln(b^q) = \ln a + \ln b = \ln(ab),

और $\ln$ के वर्धमान होने से लघुगणकों की असमिका दावे में बदल जाती है; समता तभी जब $a^p = b^q$ (कठोर अवतलता)। स्थिति $p = q = 2$ वेश बदली हुई समांतर-गुणोत्तर असमिका $ab \leq \frac{a^2 + b^2}{2}$ है। समापन का सार: यंग असमिका स्नातक वर्ष 2 के खंड की होल्डर और मिंकोव्स्की असमिकाओं का बीजीय बीज है — $\ln$ के विषय में एक ही अवतलता कथन, जिसे मानकों के लिए काट लिया जाता है।

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उदाहरण

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