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गणित · 术语表

什么是 माप？

परिभाषा 9.5 विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 3 · 第 9 章 — माप सिद्धांत

$(X, \mathcal A)$ पर माप ऐसा प्रतिचित्रण $\mu \colon \mathcal A \to [0, +\infty]$ है जिसके लिए $\mu(\varnothing) = 0$ हो और जो $\sigma$ -योज्य हो: जोड़े-जोड़े में असंयुक्त $(A_n)_{n\in\N}$ के लिए

\mu\Bigl(\bigsqcup_n A_n\Bigr) = \sum_n \mu(A_n).

$(X, \mathcal A, \mu)$ एक माप समष्टि है; $\mu$ परिमित कहलाता है यदि $\mu(X) < \infty$ हो, प्रायिकता माप यदि $\mu(X) = 1$ हो, और $\sigma$ -परिमित यदि $X$ परिमित माप वाले समुच्चयों का गणनीय सम्मिलन हो। उदाहरण: $(\N, \mathcal P(\N))$ पर गणना माप; डिराक द्रव्यमान $\delta_a(A) = \mathbf 1_{a \in A}$ ; और, इस अध्याय की मुख्य वस्तु, लेबेग माप।

示例

उदाहरण 9.14

कैंटर समुच्चय (अभ्यास 6.10) के लिए $\lambda(C) = 0$ : $C \subseteq C_n$ लंबाई $3^{-n}$ के $2^n$ अंतरालों का सम्मिलन है, अतः $\lambda(C) \leq (2/3)^n \to 0$ । एक अगणनीय शून्य समुच्चय — गणनीयता माप को नहीं देखती। विलोमतः, मोटे कैंटर समुच्चय (अभ्यास 9.5) कहीं सघन नहीं हैं पर उनका माप धनात्मक है: अर्थात् संस्थिति भी माप को नहीं देखती। सप्ताहांत समस्या इस पारस्परिक क्रिया को उसके चौंकाने वाले निष्कर्ष तक ले जाती है: ऐसे लेबेग-मापनीय समुच्चय हैं जो बोरेल नहीं हैं।

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