什么是 सामान्य अभिसरण？

उदाहरण 10.10 (एक श्रेणी, तीन निर्णय)

$\intco{0}{1}$ पर $u_n(x) = \frac{x^n}{n}$ लीजिए। बिंदुवार: प्रत्येक $x \in \intco01$ के लिए अभिसारी (गुणोत्तर श्रेणी से तुलना)। $\intcc{0}{a}$, $a < 1$ पर सामान्य: $\norm{u_n}_{\infty,\intcc0a} = \frac{a^n}{n}$, जो योग्य है। $\intco{0}{1}$ पर सामान्य नहीं: $\norm{u_n}_{\infty,\intco01} = \frac1n$, और $\sum\frac1n$ अपसरित होती है। $\intco{0}{1}$ पर एकसमान तक नहीं: $1$ के पास शेषपद अड़ जाता है,

अतः प्रत्येक $N$ के लिए $\sup_{\intco01}\abs{R_N} \geq \frac12$। समापन दृष्टि: चारों निर्णय शांति से साथ रहते हैं — योग $-\ln(1-x)$ $\intco{0}{1}$ पर संतत है क्योंकि संततता को केवल हर बिंदु के पास एकसमानता चाहिए, अर्थात् खंडों $\intcc0a$ पर; और किनारे पर फट जाना योग का अधिकार है।

उदाहरण 10.13 (रीमान $\zeta$ फलन)

$\zeta(s) = \sum_{n\geq1} n^{-s}$ प्रत्येक अर्धरेखा $\intco{a}{+\infty}$, $a > 1$ पर सामान्य रूप से अभिसरित होती है ($\norm{n^{-s}}_\infty = n^{-a}$, जो योग्य है): अतः $\zeta$ $\intoo{1}{+\infty}$ पर संतत है; और पद-दर-पद अवकलन करने पर (व्युत्पन्न श्रेणी $\sum -\ln n\; n^{-s}$ भी $\intco{a}{\infty}$ पर सामान्य रूप से अभिसरित होती है) $\zeta$ $C^1$ है — और इसे दोहराने पर $C^\infty$ — जहाँ $\zeta'(s) = -\sum \frac{\ln n}{n^s}$। अनुशासन पर ध्यान दीजिए: सामान्य अभिसरण उप-अर्धरेखाओं पर जाँचा जाता है, कभी स्वयं विवृत $\intoo{1}{\infty}$ पर नहीं, जहाँ वह विफल हो जाता है।

उदाहरण 10.14 (एक लघुगणकीय श्रेणी, अंत तक की हुई)

$\intoo{0}{\infty}$ पर $F(x) = \sum_{n\geq1} \frac{\eu^{-nx}}{n}$ लीजिए। $\intco{\delta} \infty$ पर हर पद $\frac{\eu^{-n\delta}}{n} \leq \eu^{-n\delta}$ से परिबद्ध है, जो अभिसारी गुणोत्तर श्रेणी है: अतः प्रत्येक $\intco\delta\infty$ पर सामान्य अभिसरण, इसलिए $F$ $\intoo{0}{\infty}$ पर संतत है। व्युत्पन्न श्रेणी $\sum -\eu^{-nx}$ भी $\intco\delta\infty$ पर उसी तरह सामान्य रूप से अभिसारी है ($\norm{\eu^{-nx}}_{\infty,\intco\delta\infty} = \eu^{-n\delta}$), अतः $F$ गुणोत्तर अवकलज के साथ $C^1$ है:

और इसे दोहराने पर $F$ $C^\infty$ है। $F'$ का समाकलन कीजिए (दोनों $F$ और $x \mapsto -\ln(1 - \eu^{-x})$ $+\infty$ पर लुप्त होते हैं और $\intoo0\infty$ पर उनके अवकलज एक ही हैं):

अर्थात् $t = \eu^{-x}$ पर लघुगणकीय श्रेणी। समापन दृष्टि: $x \to 0^+$ होने पर $F(x) = -\ln(x + O(x^2)) = \ln\frac1x + O(x)$ — श्रेणी सीमा पर लघुगणकीय ढंग से अपसरित होती है, ठीक उसी हरात्मक श्रेणी की तरह जो वह $x = 0$ पर बन जाती है; और $\intco\delta\infty$ पर सामान्य अभिसरण पर $\intoo0\infty$ पर नहीं, यही उसका लक्षण है।