उच्च माध्यमिक गणित · Grades 10–12

28सम्मिश्र संख्याएँ

समीकरण $x^2 = -1$ का कोई वास्तविक हल नहीं है। $\R$ को केवल एक नई संख्या $\iu$ से बढ़ा देने पर, जिसका वर्ग $-1$ है, सम्मिश्र संख्याओं का क्षेत्र $\C$ बन जाता है, जिसमें हर बहुपद समीकरण के हल होते हैं — और जिसका अंकगणित समतल की ज्यामिति समेटे रहता है: स्थानांतरण, घूर्णन और समरूपण योग तथा गुणन बन जाते हैं।

28.1 बीजगणितीय रूप

परिभाषा 28.1 (सम्मिश्र संख्याएँ)

सम्मिश्र संख्याओं का समुच्चय

\C = \{a + \iu b : a, b \in \R\},

है, जहाँ $\iu$ एक ऐसा संकेत है जिस पर केवल नियम $\iu^2 = -1$ लागू है; योग और गुणन $\iu$ में वास्तविक बहुपदों की तरह किए जाते हैं और $\iu^2$ को $-1$ तक घटा दिया जाता है। वास्तविक संख्याएँ $a$ और $b$ $z = a + \iu b$ के वास्तविक भाग $\Rea(z)$ और काल्पनिक भाग $\Ima(z)$ हैं; यह व्यंजक $z$ का बीजगणितीय रूप है, और वह अद्वितीय है: $a + \iu b = a' + \iu b'$ यदि और केवल यदि $a = a'$ और $b = b'$ हों।

उदाहरण 28.2

$(2 + 3\iu)(1 - \iu) = 2 - 2\iu + 3\iu - 3\iu^2 = 5 + \iu$ ।

परिभाषा 28.3 (संयुग्मी)

$z = a + \iu b$ का संयुग्मी $\conj{z} = a - \iu b$ है।

प्रतिज्ञप्ति 28.4 (संयुग्मन के गुण)

सभी $z, w \in \C$ के लिए:

\conj{z + w} = \conj z + \conj w, \quad \conj{zw} = \conj z\,\conj w, \quad \conj{\conj z} = z, \quad z + \conj z = 2\Rea(z), \quad z - \conj z = 2\iu\,\Ima(z),

और $z = a + \iu b$ के लिए $z\conj z = a^2 + b^2 \geq 0$ । इसके अतिरिक्त $z \in \R$ यदि और केवल यदि $z = \conj z$ हो।

उपपत्ति. सभी बीजगणितीय रूपों से सीधी गणनाएँ हैं; जैसे $z\conj z = (a + \iu b)(a - \iu b) = a^2 - (\iu b)^2 = a^2 + b^2$ । ∎

विधि 28.5 (सम्मिश्र संख्याओं का भाग)

किसी भागफल को बीजगणितीय रूप में लिखने के लिए अंश और हर दोनों को हर के संयुग्मी से गुणा कीजिए:

\frac{1}{2 + \iu} = \frac{2 - \iu}{(2+\iu)(2-\iu)} = \frac{2 - \iu}{5} = \frac25 - \frac15\iu .

इसलिए हर शून्येतर सम्मिश्र संख्या का प्रतिलोम होता है: $\C$ एक क्षेत्र है।

28.2 सम्मिश्र समतल, मापांक और कोणांक

परिभाषा 28.6 (बिंदुसंख्या, मापांक)

लंबकोणिक निर्देशांकों वाले समतल में बिंदु $M(a, b)$ $z = a + \iu b$ का प्रतिबिंब है, और $z$ $M$ की बिंदुसंख्या है। $z$ का मापांक $M$ की मूल बिंदु से दूरी है:

\abs{z} = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{z\conj z}.

बिंदुसंख्या z वाला बिंदु M(a,b): मापांक z लंबाई OM है, और संयुग्मी z वास्तविक अक्ष में z का परावर्तन है। — बिंदुसंख्या $z$ वाला बिंदु $M(a,b)$ : मापांक $\abs z$ लंबाई $OM$ है, और संयुग्मी $\conj z$ वास्तविक अक्ष में $z$ का परावर्तन है।

प्रतिज्ञप्ति 28.7 (मापांक के गुण)

$z, w \in \C$ के लिए:

\abs{zw} = \abs z\,\abs w, \qquad \abs{\tfrac zw} = \tfrac{\abs z}{\abs w}\ (w \neq 0), \qquad \abs{\conj z} = \abs z, \qquad \abs{z + w} \leq \abs{z} + \abs{w} \ \text{(त्रिभुज असमिका)}.

इसके अतिरिक्त $\abs{z_B - z_A}$ बिंदुसंख्याओं $z_A$ और $z_B$ वाले बिंदुओं के बीच की दूरी है।

उपपत्ति. $\abs{zw}^2 = zw\,\conj{zw} = z\conj z\, w \conj w = \abs z^2 \abs w^2$ से पहला मिलता है; दूसरा और तीसरा इसी जैसे हैं। त्रिभुज असमिका के लिए:

\abs{z+w}^2 = (z+w)(\conj z + \conj w) = \abs z^2 + \abs w^2 + 2\Rea(z \conj w) \leq \abs z^2 + \abs w^2 + 2\abs{z\conj w} = \bigl(\abs z + \abs w\bigr)^2,

जहाँ $\Rea(u) \leq \abs u$ का उपयोग हुआ है। दूरी वाला कथन $z_B - z_A$ के निर्देशांकों पर लगाया गया पाइथागोरस सूत्र है। ∎

परिभाषा 28.8 (कोणांक, त्रिकोणमितीय और चरघातांकी रूप)

मान लीजिए $z \neq 0$ है। $z$ का कोणांक, जिसे $\Arg(z)$ लिखते हैं, धनात्मक वास्तविक अक्ष से किरण $OM$ तक के कोण का कोई भी माप $\theta$ है; वह $2k\pi$ तक ही परिभाषित होता है। $r = \abs z$ लिखने पर

z = r(\cos\theta + \iu\sin\theta) \qquad\text{(त्रिकोणमितीय रूप)}.

संकेतन

\eu^{\iu\theta} = \cos\theta + \iu\sin\theta,

प्रस्तुत करने पर यह चरघातांकी रूप $z = r\,\eu^{\iu\theta}$ बन जाता है।

चरघातांकी रूप: z उसकी मूल बिंदु से दूरी r और धनात्मक वास्तविक अक्ष से कोण द्वारा तय हो जाता है। — चरघातांकी रूप: $z$ उसकी मूल बिंदु से दूरी $r$ और धनात्मक वास्तविक अक्ष से कोण $\theta$ द्वारा तय हो जाता है।

प्रमेय 28.9

सभी $\theta, \theta' \in \R$ के लिए:

\eu^{\iu\theta}\,\eu^{\iu\theta'} = \eu^{\iu(\theta + \theta')}, \qquad \conj{\eu^{\iu\theta}} = \eu^{-\iu\theta}, \qquad \abs{\eu^{\iu\theta}} = 1 .

परिणामस्वरूप, शून्येतर $z = r\eu^{\iu\theta}$ और $z' = r'\eu^{\iu\theta'}$ के लिए:

zz' = rr'\,\eu^{\iu(\theta+\theta')}, \qquad \frac{z}{z'} = \frac{r}{r'}\,\eu^{\iu(\theta - \theta')} :

मापांक गुणा होते हैं, कोणांक जुड़ जाते हैं।

उपपत्ति. पहली सर्वसमिका योग सूत्रों (प्रतिज्ञप्ति 24.3) का युग्म ही है:

(\cos\theta + \iu\sin\theta)(\cos\theta' + \iu\sin\theta') = (\cos\theta\cos\theta' - \sin\theta\sin\theta') + \iu(\sin\theta\cos\theta' + \cos\theta\sin\theta').

शेष सीधी गणना से निकलता है। ∎

उपप्रमेय 28.10 (दे म्वाव्र का सूत्र)

$\theta \in \R$ और $n \in \Z$ के लिए: $\bigl(\cos\theta + \iu\sin\theta\bigr)^n = \cos n\theta + \iu \sin n\theta$ ।

उपपत्ति. प्रमेय 28.9 का उपयोग करके $n \geq 0$ पर आगमन; प्रतिलोम लेकर $n < 0$ तक बढ़ाइए। ∎

विधि 28.11 (रूपों के बीच आना-जाना)

बीजगणितीय से चरघातांकी: $r = \abs z$ निकालिए, फिर ऐसा $\theta$ ज्ञात कीजिए कि $\cos\theta = \frac ar$ , $\sin\theta = \frac br$ हों (प्रतिलोम कोज्या का हवाला देने से पहले सही चतुर्थांश पहचान लीजिए)। चरघातांकी से बीजगणितीय: $r\cos\theta + \iu\, r\sin\theta$ का प्रसार कीजिए। योगों के लिए बीजगणितीय रूप, और गुणनफलों, घातों तथा भागफलों के लिए चरघातांकी रूप काम में लाइए।

उदाहरण 28.12

$z = 1 + \iu$ : $\abs z = \sqrt2$ और $\cos\theta = \sin\theta = \frac{1}{\sqrt2}$ , इसलिए $\theta = \frac\pi4$ तथा $z = \sqrt2\,\eu^{\iu\pi/4}$ . अतः $z^{20} = 2^{10}\,\eu^{5\iu\pi} = -1024$ ।

28.3 द्विघात समीकरण और इकाई के मूल

प्रमेय 28.13 (वास्तविक गुणांकों वाले द्विघात समीकरण)

मान लीजिए $a, b, c \in \R$ , $a \neq 0$ , और $\Delta = b^2 - 4ac$ हैं। समीकरण $az^2 + bz + c = 0$ के $\C$ में ये हल हैं:

\begin{aligned} &\Delta > 0:\ z = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \ (\text{दो वास्तविक}); \qquad \Delta = 0:\ z = \frac{-b}{2a} \ (\text{द्विगुण}); \\ &\Delta < 0:\ z = \frac{-b \pm \iu\sqrt{-\Delta}}{2a} \ (\text{दो संयुग्मी}). \end{aligned}

उपपत्ति. वर्ग पूरा कीजिए: $az^2 + bz + c = a\left(\left(z + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta}{4a^2}\right)$ । यदि $\Delta < 0$ हो, तो $\frac{\Delta}{4a^2} = \left(\iu\frac{\sqrt{-\Delta}}{2a}\right)^2$ , और वर्गों का अंतर सामान्य तरीक़े से गुणनखंडित हो जाता है। ∎

परिभाषा 28.14 (इकाई के मूल)

$n \geq 1$ के लिए इकाई के $n$ -वें मूल $z^n = 1$ के हल हैं।

प्रमेय 28.15

समीकरण $z^n = 1$ के ठीक $n$ हल हैं:

\omega_k = \eu^{2\iu k\pi/n}, \qquad k = 0, 1, \dots, n-1 .

उनके प्रतिबिंब इकाई वृत्त में अंतर्लिखित सम $n$ -भुज के शीर्ष हैं, और $n \geq 2$ के लिए उनका योग $0$ है।

उपपत्ति. हर $\omega_k$ $\omega_k^n = \eu^{2\iu k\pi} = 1$ को संतुष्ट करता है, और वे जोड़े-जोड़े भिन्न हैं क्योंकि उनके कोणांक $\intco{0}{2\pi}$ में पड़ते हैं। इसके उलट, यदि $z^n = 1$ हो, तो $\abs z^n = 1$ , इसलिए $\abs z = 1$ (धनात्मक वास्तविक) और $n\theta \equiv 0 \pmod{2\pi}$ वाला $z = \eu^{\iu\theta}$ , अर्थात् $\theta = \frac{2k\pi}{n}$ ; $k$ को $n$ के सापेक्ष घटाने पर वह $\omega_k$ में से किसी एक पर आ जाता है। शीर्ष कोण $\frac{2\pi}{n}$ से बराबर-बराबर बँटे हैं: यानी सम $n$ -भुज। अंत में, $\omega = \omega_1$ के साथ $\omega \neq 1$ और गुणोत्तर योग देता है

\sum_{k=0}^{n-1}\omega_k = \sum_{k=0}^{n-1}\omega^k = \frac{\omega^n - 1}{\omega - 1} = 0 . \qedhere

∎

इकाई के पाँचवें मूल, = 2 π/5: इकाई वृत्त में अंतर्लिखित सम पंचभुज के शीर्ष ()। — इकाई के पाँचवें मूल, $\omega = \eu^{2\iu\pi/5}$ : इकाई वृत्त में अंतर्लिखित सम पंचभुज के शीर्ष (अभ्यास 28.10)।

उदाहरण 28.16

इकाई के घनमूल $1$ , $j = \eu^{2\iu\pi/3} = -\frac12 + \iu\frac{\sqrt3}{2}$ और $\conj j = j^2$ हैं, और वे $1 + j + j^2 = 0$ को संतुष्ट करते हैं।

28.4 सम्मिश्र संख्याएँ और समतल ज्यामिति

प्रतिज्ञप्ति 28.17 (ज्यामितीय शब्दकोश)

मान लीजिए $A, B, C, D$ बिंदुसंख्याओं $a, b, c, d$ ( $a \neq b$ , $c \neq d$ ) वाले बिंदु हैं।

बिंदुसंख्या $t$ वाले सदिश से स्थानांतरण $z \mapsto z + t$ है।
केंद्र $\omega$ (बिंदुसंख्या) और कोण $\theta$ वाला घूर्णन $z \mapsto \omega + \eu^{\iu\theta}(z - \omega)$ है।
केंद्र $\omega$ और अनुपात $k \in \R^*$ वाला समरूपण $z \mapsto \omega + k(z - \omega)$ है।
$\dfrac{d - c}{b - a}$ का मापांक $\dfrac{CD}{AB}$ है और कोणांक सदिशों $\vect{AB}$ तथा $\vect{CD}$ के बीच का कोण। विशेष रूप से, $AB \perp CD$ यदि और केवल यदि $\frac{d-c}{b-a}$ विशुद्ध काल्पनिक हो, और $A, B, C$ संरेख ( $C \ne A$ , $C\ne B$ ) हैं यदि और केवल यदि $\frac{c-a}{b-a} \in \R$ हो।

उपपत्ति. (1) और (3) निर्देशांकों वाले सूत्रों को ही दोहराते हैं। (2) के लिए: प्रतिचित्रण $w \mapsto \eu^{\iu\theta} w$ मापांकों को $1$ से गुणा करता है और कोणांकों में $\theta$ जोड़ देता है: यानी वह मूल बिंदु के परितः कोण $\theta$ का घूर्णन है; $\omega$ को $0$ पर भेजने वाले स्थानांतरण से संयुग्मन करने पर सामान्य केंद्र मिल जाता है। (4) के लिए: भागफलों के मापांक और कोणांक घट जाते हैं (प्रमेय 28.9)। ∎

28.5 अभ्यास

अभ्यास 28.1 ★

बीजगणितीय रूप में लिखिए: $(3 - 2\iu)(1 + 4\iu)$ , $\dfrac{2 + \iu}{1 - \iu}$ , $\iu^{2027}$ ।

हल

हल — अभ्यास 28.1.

$(3-2\iu)(1+4\iu) = 3 + 12\iu - 2\iu - 8\iu^2 = 11 + 10\iu$ ।

$\dfrac{2+\iu}{1-\iu} = \dfrac{(2+\iu)(1+\iu)}{(1-\iu)(1+\iu)} = \dfrac{1 + 3\iu}{2} = \dfrac12 + \dfrac32\iu$ ।

$\iu^{2027}$ : चूँकि $\iu^4 = 1$ और $2027 = 4 \times 506 + 3$ , इसलिए $\iu^{2027} = \iu^3 = -\iu$ ।

अभ्यास 28.2 ★

$\C$ में हल कीजिए: (a) $z^2 - 4z + 13 = 0$ ; (b) $z^2 + z + 1 = 0$ । हर स्थिति में जाँचिए कि दोनों हल संयुग्मी हैं और उनका गुणनफल निकालिए।

हल

हल — अभ्यास 28.2.

(a) $\Delta = 16 - 52 = -36$ : $z = \dfrac{4 \pm 6\iu}{2} = 2 \pm 3\iu$ । संयुग्मी युग्म; गुणनफल $= 4 + 9 = 13 = \frac ca$ । (b) $\Delta = 1 - 4 = -3$ : $z = \dfrac{-1 \pm \iu\sqrt3}{2}$ (इकाई के घनमूल $j$ और $\conj j$ ); गुणनफल $= \frac{1 + 3}{4} = 1$ ।

अभ्यास 28.3 ★

चरघातांकी रूप में लिखिए: $z_1 = -1 + \iu$ , $z_2 = \sqrt3 - \iu$ , और $\dfrac{z_1}{z_2}$ को पहले चरघातांकी फिर बीजगणितीय रूप में निकालिए। इससे $\cos\dfrac{11\pi}{12}$ का यथार्थ मान निकालिए।

हल

हल — अभ्यास 28.3.

$\abs{z_1} = \sqrt2$ , कोणांक $\frac{3\pi}{4}$ (दूसरा चतुर्थांश): $z_1 = \sqrt2\,\eu^{3\iu\pi/4}$ । $\abs{z_2} = 2$ , कोणांक $-\frac\pi6$ : $z_2 = 2\,\eu^{-\iu\pi/6}$ । अतः

\frac{z_1}{z_2} = \frac{\sqrt2}{2}\,\eu^{\iu\left(\frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{6}\right)} = \frac{\sqrt2}{2}\,\eu^{11\iu\pi/12}.

बीजगणित से,

\frac{z_1}{z_2} = \frac{-1+\iu}{\sqrt3 - \iu} = \frac{(-1+\iu)(\sqrt3+\iu)}{4} = \frac{-\sqrt3 - 1 + \iu(\sqrt3 - 1)}{4}.

वास्तविक भाग मिलाने पर: $\frac{\sqrt2}{2}\cos\frac{11\pi}{12} = \frac{-\sqrt3-1}{4}$ , इसलिए

\cos\frac{11\pi}{12} = -\frac{\sqrt6 + \sqrt2}{4}.

अभ्यास 28.4 ★★

बिंदुसंख्या $z$ वाले बिंदुओं $M$ के उन समुच्चयों का ज्यामितीय वर्णन कीजिए जिनके लिए: (a) $\abs{z - 2} = \abs{z + \iu}$ ; (b) $\abs{z - 1 - \iu} = 3$ ; (c) $\dfrac{z - 1}{z + 1}$ विशुद्ध काल्पनिक हो।

हल

हल — अभ्यास 28.4.

(a) $\abs{z - 2} = \abs{z - (-\iu)}$ का अर्थ है कि $M$ $A(2, 0)$ और $B(0, -1)$ से समान दूरी पर है: यानी $[AB]$ का लंब समद्विभाजक।

(b) बिंदु $(1,1)$ से दूरी $3$ : केंद्र $1 + \iu$ और त्रिज्या $3$ वाला वृत्त।

(c) प्रतिज्ञप्ति 28.17(4) से $\frac{z-1}{z+1}$ का विशुद्ध काल्पनिक होना बताता है कि $A(1,0)$ से $M$ तक और $B(-1,0)$ से $M$ तक के सदिश लांबिक हैं: $M$ रेखाखंड $[AB]$ को समकोण पर देखता है। समुच्चय व्यास $[AB]$ वाला वृत्त (इकाई वृत्त) है, पर बिंदु $A$ और $B$ स्वयं हटाकर।

अभ्यास 28.5 ★★

दे म्वाव्र के सूत्र और द्विपद प्रमेय का उपयोग करके $\cos 3\theta$ को $\cos\theta$ के बहुपद के रूप में, और $\sin 3\theta$ को $\sin\theta$ के पदों में व्यक्त कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 28.5.

दे म्वाव्र: $\cos3\theta + \iu\sin3\theta = (\cos\theta + \iu\sin\theta)^3$ । $c = \cos\theta$ , $s = \sin\theta$ के साथ द्विपद प्रमेय से प्रसार करने पर:

(c + \iu s)^3 = c^3 + 3\iu c^2 s - 3 c s^2 - \iu s^3 = (c^3 - 3cs^2) + \iu(3c^2 s - s^3).

भाग मिलाकर और $s^2 = 1 - c^2$ , $c^2 = 1 - s^2$ का उपयोग करके:

\cos3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta, \qquad \sin3\theta = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta .

अभ्यास 28.6 ★★

(रैखिकीकरण.) $\cos\theta = \frac{\eu^{\iu\theta} + \eu^{-\iu\theta}}{2}$ का उपयोग करके $\cos^3\theta$ का रैखिकीकरण कीजिए (उसे $\cos k\theta$ के संयोजन के रूप में लिखिए), और $\displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos^3\theta\,\dd\theta$ निकालिए।

हल

हल — अभ्यास 28.6.

\cos^3\theta = \left(\frac{\eu^{\iu\theta} + \eu^{-\iu\theta}}{2}\right)^{\!3} = \frac{\eu^{3\iu\theta} + 3\eu^{\iu\theta} + 3\eu^{-\iu\theta} + \eu^{-3\iu\theta}}{8} = \frac{\cos3\theta + 3\cos\theta}{4}.

अतः

\int_0^{\pi/2}\cos^3\theta\,\dd\theta = \frac14\left[\frac{\sin3\theta}{3} + 3\sin\theta\right]_0^{\pi/2} = \frac14\left(-\frac13 + 3\right) = \frac{2}{3}.

(अभ्यास 25.9 के $W_3 = \frac23$ के अनुकूल, क्योंकि सममिति $\theta \mapsto \frac\pi2 - \theta$ से $\int_0^{\pi/2}\cos^3 = \int_0^{\pi/2}\sin^3$ ।)

अभ्यास 28.7 ★★

मान लीजिए $A$ और $B$ की बिंदुसंख्याएँ $a = 1 + \iu$ और $b = 3 + 2\iu$ हैं। वे दोनों बिंदु $C$ ज्ञात कीजिए जो त्रिभुज $ABC$ को समबाहु बनाते हैं, और उन्हें केंद्र $A$ तथा कोणों $\pm\frac{\pi}{3}$ वाले घूर्णनों के अधीन $B$ के प्रतिबिंब के रूप में लीजिए।

हल

हल — अभ्यास 28.7.

$b - a = 2 + \iu$ और $\eu^{\pm\iu\pi/3} = \frac12 \pm \iu\frac{\sqrt3}{2}$ के साथ $c = a + \eu^{\pm\iu\pi/3}(b - a)$ :

\eu^{\iu\pi/3}(2+\iu) = \left(\tfrac12 + \iu\tfrac{\sqrt3}{2}\right)(2+\iu) = \left(1 - \tfrac{\sqrt3}{2}\right) + \iu\left(\tfrac12 + \sqrt3\right),

इसलिए $c_1 = \left(2 - \frac{\sqrt3}{2}\right) + \iu\left(\frac32 + \sqrt3\right)$ , और इसी तरह कोण $-\frac\pi3$ के साथ: $c_2 = \left(2 + \frac{\sqrt3}{2}\right) + \iu\left(\frac32 - \sqrt3\right)$ ।

अभ्यास 28.8 ★★★

$\C$ में $z^4 = -4$ हल कीजिए और हल आलेखित कीजिए। $z^4 + 4$ का वास्तविक गुणांकों वाले दो द्विघात बहुपदों में गुणनखंडन कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 28.8.

$-4 = 4\,\eu^{\iu\pi}$ , इसलिए $z^4 = -4$ के हल

z_k = \sqrt2\,\eu^{\iu\left(\frac\pi4 + \frac{k\pi}{2}\right)}, \quad k = 0, 1, 2, 3,

हैं, अर्थात् $1 + \iu$ , $-1 + \iu$ , $-1 - \iu$ , $1 - \iu$ : परित्रिज्या $\sqrt 2$ वाले किसी वर्ग के शीर्ष। संयुग्मी मूलों की जोड़ी बनाने पर

z^4 + 4 = \bigl(z - (1{+}\iu)\bigr)\bigl(z - (1{-}\iu)\bigr) \bigl(z + (1{-}\iu)\bigr)\bigl(z + (1{+}\iu)\bigr) = (z^2 - 2z + 2)(z^2 + 2z + 2).

अभ्यास 28.9 ★★★

$\theta \in \intoo{0}{2\pi}$ और $n \in \N$ के लिए गुणोत्तर श्रेढ़ी $\sum_{k=0}^n \eu^{\iu k\theta}$ का योग निकालकर और वास्तविक भाग लेकर

S = 1 + \cos\theta + \cos 2\theta + \dots + \cos n\theta

निकालिए। (उत्तर: $S = \dfrac{\sin\frac{(n+1)\theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}} \cos\frac{n\theta}{2}$ ।)

हल

हल — अभ्यास 28.9.

$q = \eu^{\iu\theta} \neq 1$ के साथ:

\sum_{k=0}^{n} \eu^{\iu k\theta} = \frac{\eu^{\iu(n+1)\theta} - 1}{\eu^{\iu\theta} - 1} = \frac{\eu^{\iu(n+1)\theta/2}}{\eu^{\iu\theta/2}} \cdot\frac{\eu^{\iu(n+1)\theta/2} - \eu^{-\iu(n+1)\theta/2}}{\eu^{\iu\theta/2} - \eu^{-\iu\theta/2}} = \eu^{\iu n\theta/2}\, \frac{\sin\frac{(n+1)\theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}},

जहाँ $\eu^{\iu\alpha} - \eu^{-\iu\alpha} = 2\iu\sin\alpha$ का उपयोग हुआ है (अर्ध-कोण गुणनखंडन)। वास्तविक भाग लेने पर:

S = \frac{\sin\frac{(n+1)\theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}}\, \cos\frac{n\theta}{2}.

अभ्यास 28.10 ★★★

मान लीजिए $\omega = \eu^{2\iu\pi/5}$ है।

पुष्ट कीजिए कि $1 + \omega + \omega^2 + \omega^3 + \omega^4 = 0$ ।
मान लीजिए $u = \omega + \omega^4$ और $v = \omega^2 + \omega^3$ हैं। दिखाइए कि $u + v = -1$ और $uv = -1$ , और $u = \frac{-1+\sqrt5}{2}$ निकालिए।
निष्कर्ष निकालिए कि $\cos\dfrac{2\pi}{5} = \dfrac{\sqrt5 - 1}{4}$ ।

हल

हल — अभ्यास 28.10.

1. $\omega$ $1$ से भिन्न $5$ -वाँ इकाई-मूल है, इसलिए पाँचों मूलों का योग लुप्त हो जाता है (प्रमेय 28.15), जिसका अर्थ $1 + \omega + \omega^2 + \omega^3 + \omega^4 = 0$ है।

2. बिंदु 1 से $u + v = \omega + \omega^2 + \omega^3 + \omega^4 = -1$ । गुणनफल के लिए $\omega^5 = 1$ का उपयोग करने पर:

uv = (\omega + \omega^4)(\omega^2 + \omega^3) = \omega^3 + \omega^4 + \omega^6 + \omega^7 = \omega^3 + \omega^4 + \omega + \omega^2 = -1 .

इसलिए $u, v$ $X^2 + X - 1 = 0$ के मूल हैं: $\left\{\frac{-1+\sqrt5}{2}, \frac{-1-\sqrt5}{2}\right\}$ । अब $u = \omega + \conj\omega = 2\cos\frac{2\pi}{5} > 0$ (क्योंकि $\frac{2\pi}{5} < \frac{\pi}{2}$ ), अतः $u = \frac{-1 + \sqrt5}{2}$ ।

3. $\cos\frac{2\pi}{5} = \frac u2 = \frac{\sqrt5 - 1}{4}$ ।

28.6 समस्या: इकाई के दर्पण में पंचभुज

समस्या 28.1

सप्ताहांत समस्या — इकाई के पाँचवें मूल $\cos 72^\circ$ का यथार्थ मान निकाल देते हैं, स्वर्ण अनुपात परिणाम पर हस्ताक्षर करता है, और गुणा वस्तुतः घूर्णन निकलता है

यूक्लिड सम पंचभुज की रचना कर सकते थे, पर वह पटरी और परकार के आगे क्यों झुक जाता है — जबकि मामूली $20^\circ$ का कोण नहीं झुकता — यह कारण दो हज़ार वर्षों तक छिपा रहा। वह इसी अध्याय में छिपा है: इकाई के पाँचों पाँचवें मूल (प्रमेय 28.15) का योग शून्य है, और बीजगणित की वही एक पंक्ति $\cos 72^\circ$ को एक द्विघात समीकरण में से निचोड़ लेती है — केवल वर्गमूल, अतः रचनीय, और उस पर हस्ताक्षर भी, ज़ाहिर है, स्वर्ण अनुपात के। इस रत्न के चारों ओर: प्रवाह, त्रिकोणमिति तक दे म्वाव्र का छोटा रास्ता, और गुणा का ज्यामिति के रूप में पर्दाफ़ाश।

भाग I — प्रवाह।

$(2 + \iu)(3 - \iu)$ , $\dfrac{1 + \iu}{1 - \iu}$ (विधि 28.5), और $\abs{3 + 4\iu}$ निकालिए।
चरघातांकी रूप में लिखिए: $1 + \iu$ ; $-2$ ; $1 - \iu\sqrt3$ ।
चरघातांकी रूप का उपयोग करके $(1 + \iu)^8$ निकालिए।
$z^2 = \iu$ हल कीजिए, फिर $z^2 - 2z + 5 = 0$ (प्रमेय 28.13)।
ज्यामितीय शब्दकोश (प्रतिज्ञप्ति 28.17): प्रतिचित्रण $z \mapsto \iu z$ और समुच्चय $\abs{z - (1 + \iu)} = 2$ का वर्णन कीजिए।

भाग II — पाँच मूल, एक पंचभुज। मान लीजिए $\omega = \eu^{2\iu\pi/5}$ है और $1, \omega, \omega^2, \omega^3, \omega^4$ पर विचार कीजिए।

जाँचिए कि ये ठीक $z^5 = 1$ के हल हैं, और समतल में वे जो आकृति खींचते हैं उसका वर्णन कीजिए।
सिद्ध कीजिए कि उनका योग शून्य है। (गुणोत्तर श्रेढ़ी — या योग को $1 - \omega$ से गुणा कीजिए।)
वास्तविक भाग लेकर निकालिए:

$1 + 2\cos\frac{2\pi}{5} + 2\cos\frac{4\pi}{5} = 0 .$
$c = \cos\frac{2\pi}{5}$ रखिए और $\cos\frac{4\pi}{5}$ के द्विकोण सूत्र से प्रश्न 8 को $c$ के लिए द्विघात समीकरण में बदलिए; उसे हल कीजिए और निष्कर्ष निकालिए:

$\cos 72^\circ = \frac{\sqrt5 - 1}{4} .$
संख्याओं से जाँचिए, फिर स्वर्ण अनुपात को अपने काम पर हस्ताक्षर करने दीजिए: दिखाइए कि $c = \frac{1}{2\varphi}$ , जहाँ $\varphi = \frac{1 + \sqrt5}{2}$ (समस्या 2.1) — और वह प्रसिद्ध ज्यामितीय प्रतिध्वनि बताइए: सम पंचभुज में विकर्ण भुजा का $\varphi$ गुना होता है।

भाग III — दे म्वाव्र के छोटे रास्ते।

रचना का फ़ैसला: $\cos 72^\circ$ को केवल वर्गमूल चाहिए (प्रश्न 9), इसलिए पंचभुज पटरी और परकार से रचनीय है; जबकि $\cos 20^\circ$ एक अटूट त्रिघात (समस्या 24.1) को संतुष्ट करता है, इसलिए $60^\circ$ के कोण का त्रिभाजन नहीं हो सकता। उभरती हुई कसौटी बताइए (वर्गमूल बनाए जा सकते हैं, घनमूल नहीं), जिसका पूरा सिद्धांत — उन्नीस वर्ष के गाउस और 17-भुज — स्नातक खंडों में रहता है।
$z^4 = -4$ को चरघातांकी रूप से हल कीजिए और संयुग्मी मूलों की जोड़ी बनाकर अभ्यास 28.8 का गुणनखंडन $z^4 + 4 = (z^2 - 2z + 2)(z^2 + 2z + 2)$ फिर से पाइए।
द्विपद प्रमेय और दे म्वाव्र से $(\cos\theta + \iu\sin\theta)^3$ का प्रसार कीजिए, और $\cos 3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$ को तीन पंक्तियों में फिर निकालिए — समस्या 24.1 के योग-सूत्र वाले रास्ते से तुलना कीजिए।
अभ्यास 28.9 से जाँच: $\theta = \frac{2\pi}{5}$ और $n = 4$ के लिए योग $1 + \cos\theta + \dots + \cos 4\theta$ किसके बराबर है, और वह प्रश्न 8 के अनुकूल क्यों है?
$8\iu$ के तीनों घनमूल बीजगणितीय रूप में निकालिए।

भाग IV — गुणा ही ज्यामिति है।

प्रतिचित्रण $z \mapsto (1 + \iu)z$ का पूरा वर्णन कीजिए: वह कितने कोण से घुमाता है, कितने गुना बड़ा करता है, और इकाई वर्ग के साथ क्या करता है?
संयुग्मियों (प्रतिज्ञप्ति 28.7) से $\abs{z_1 z_2} = \abs{z_1}\,\abs{z_2}$ सिद्ध कीजिए, फिर $n = 1, 2, 3, 4$ के लिए $(1+\iu)^n$ निकालिए और उन घातों द्वारा खींचे गए सर्पिल का वर्णन कीजिए।
संख्या $\mathrm{j} = \eu^{2\iu\pi/3}$ : दिखाइए कि $1 + \mathrm{j} + \mathrm{j}^2 = 0$ , और त्रिभुज $\left(1, \mathrm{j}, \mathrm{j}^2\right)$ पर चिरपरिचित कसौटी सत्यापित कीजिए: $a + \mathrm{j} b + \mathrm{j}^2 c = 0$ किसी समबाहु त्रिभुज $abc$ (के एक अभिविन्यास) के लिए सही होता है।
बीजगणित की मूल प्रमेय (स्वीकृत: दालम्बेर–गाउस): हर बहुपद $\C$ पर पूरी तरह गुणनखंडित हो जाता है। इससे वास्तविक संसार वाला उपप्रमेय निकालिए — हर वास्तविक बहुपद वास्तविक रैखिक और द्विघात टुकड़ों में गुणनखंडित हो जाता है — और प्रश्न 12 को उसका उदाहरण बताइए।
समापन — $\C$ का चित्र, हर बात पर एक वाक्य: संख्याएँ बिंदु बन जाती हैं; गुणा घूर्णन-और-मापन बन जाता है; इकाई के मूल सम बहुभुज बन जाते हैं; दे म्वाव्र घातों को त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं में बदल देते हैं; और बीजगणितीय संवृतता यह गारंटी देती है कि किसी समीकरण को कभी किसी बड़े संसार की ज़रूरत नहीं पड़ेगी। समापन-पद: प्रश्न 10 में कौन-सी दो प्रसिद्ध संख्याएँ मिलीं?

हल

हल — समस्या 28.1.

1. $(2 + \iu)(3 - \iu) = 6 - 2\iu + 3\iu + 1 = 7 + \iu$ . $\frac{1 + \iu}{1 - \iu} = \frac{(1 + \iu)^2}{2} = \frac{2\iu}{2} = \iu$ . $\abs{3 + 4\iu} = 5$ ।

2. $1 + \iu = \sqrt2\,\eu^{\iu\pi/4}$ ; $-2 = 2\eu^{\iu\pi}$ ; $1 - \iu\sqrt3 = 2\eu^{-\iu\pi/3}$ ।

3. $(1 + \iu)^8 = \left(\sqrt2\right)^8 \eu^{8\iu\pi/4} = 16\,\eu^{2\iu\pi} = 16$ ।

4. $z^2 = \eu^{\iu\pi/2}$ : $z = \pm\eu^{\iu\pi/4} = \pm\frac{\sqrt2}{2}(1 + \iu)$ । और $\Delta = 4 - 20 = -16$ : $z = 1 \pm 2\iu$ ।

5. $z \mapsto \iu z$ : मूल बिंदु के परितः एक चौथाई चक्कर का घूर्णन। $\abs{z - (1 + \iu)} = 2$ : केंद्र $1 + \iu$ और त्रिज्या $2$ वाला वृत्त।

6. $\left(\omega^k\right)^5 = \eu^{2\iu\pi k} = 1$ , और पाँचों बिंदु $\eu^{2\iu k\pi/5}$ भिन्न हैं: यानी $z^5 = 1$ के पाँचों हल। वे इकाई वृत्त पर $72^\circ$ के बराबर कोणों पर बैठे हैं: एक सम पंचभुज, जिसका एक शीर्ष $1$ पर है।

7. $S = 1 + \omega + \dots + \omega^4$ $(1 - \omega)S = 1 - \omega^5 = 0$ को संतुष्ट करता है, और $\omega \neq 1$ : $S = 0$ । (पंचभुज का संतुलन-बिंदु उसका केंद्र है।)

8. $\omega^4 = \overline\omega$ और $\omega^3 = \overline{\omega^2}$ : संयुग्मियों की जोड़ी बनाने पर योग का वास्तविक भाग $1 + 2\cos\frac{2\pi}{5} + 2\cos\frac{4\pi}{5} = 0$ पढ़ा जाता है।

9. $\cos\frac{4\pi}{5} = 2c^2 - 1$ , इसलिए $1 + 2c + 4c^2 - 2 = 0$ , अर्थात् $4c^2 + 2c - 1 = 0$ : $c = \frac{-1 + \sqrt5}{4}$ (धनात्मक मूल, क्योंकि $72^\circ$ न्यून कोण है): $\cos 72^\circ = \frac{\sqrt5 - 1}{4}$ ।

10. संख्याओं में $c \approx 0.30902$ : कैलकुलेटर से मेल। और $\frac{1}{2\varphi} = \frac{1}{1 + \sqrt5} = \frac{\sqrt5 - 1}{4}$ (हर का परिमेयकरण): $c = \frac{1}{2\varphi}$ . पंचभुज आरपार स्वर्णिम है: उसका विकर्ण उसकी भुजा को $\varphi$ के अनुपात में काटता है — पंचकोण-तारे की अंतहीन स्व-समरूपता।

11. वर्गमूल परकार से रचनीय हैं (माध्यमिक विद्यालय खंड की गुणोत्तर माध्य वाली अर्धवृत्त मशीन), इसलिए जो संख्या परिमेय संख्याओं से केवल वर्गमूलों द्वारा बनी हो — जैसे $\cos 72^\circ$ — वह रचनीय है; घनमूल रचनीय नहीं हैं, और $\cos 20^\circ$ को एक घनमूल चाहिए: पंचभुज झुक जाता है, त्रिभाजन डटा रहता है। गाउस की कसौटी हर सम बहुभुज का फ़ैसला कर देती है — उन्नीस वर्ष की आयु में उनके 17-भुज ने ही उन्हें गणित चुनने पर विवश किया।

12. $-4 = 4\eu^{\iu\pi}$ : चौथे मूलों का मापांक $\sqrt2$ है और कोणांक $\frac{\pi}{4} + k\frac{\pi}{2}$ : चारों संख्याएँ $\pm 1 \pm \iu$ । संयुग्मियों की जोड़ी बनाने पर: $(z - 1 - \iu)(z - 1 + \iu) = z^2 - 2z + 2$ और $(z + 1 - \iu)(z + 1 + \iu) = z^2 + 2z + 2$ : यही अभ्यास 28.8 का गुणनखंडन है।

13. $(\cos\theta + \iu\sin\theta)^3 = \cos^3\theta + 3\iu\cos^2\theta\sin\theta - 3\cos\theta\sin^2\theta - \iu\sin^3\theta$ ; दे म्वाव्र से यह $\cos 3\theta + \iu \sin 3\theta$ के बराबर है। वास्तविक भाग: $\cos 3\theta = \cos^3\theta - 3\cos\theta(1 - \cos^2\theta) = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$ — और काल्पनिक भाग $\sin 3\theta$ मुफ़्त में दे देते हैं।

14. यह $1 + \omega + \dots + \omega^4 = 0$ का वास्तविक भाग है: योग $0$ के बराबर है — ठीक प्रश्न 8, अभ्यास 28.9 की मूल-निधि से देखा हुआ।

15. $8\iu = 8\eu^{\iu\pi/2}$ : मूल $2\eu^{\iu\pi/6} = \sqrt3 + \iu$ ; $2\eu^{5\iu\pi/6} = -\sqrt3 + \iu$ ; $2\eu^{3\iu\pi/2} = -2\iu$ ।

16. $1 + \iu = \sqrt2\,\eu^{\iu\pi/4}$ : प्रतिचित्रण समतल को $45^\circ$ से घुमाता है और $\sqrt2$ गुना बड़ा कर देता है। इकाई वर्ग भुजा $\sqrt2$ वाला तिरछा वर्ग बन जाता है — क्षेत्रफल में दुगुना, और आठवें हिस्से भर घूमा हुआ।

17. $\abs{z_1 z_2}^2 = z_1 z_2 \overline{z_1 z_2} = z_1\overline{z_1}\, z_2\overline{z_2} = \abs{z_1}^2\abs{z_2}^2$ : वर्गमूल लीजिए। $1 + \iu$ की घातें: $1 + \iu$ , $2\iu$ , $-2 + 2\iu$ , $-4$ : हर एक $45^\circ$ और घूमी हुई तथा $\sqrt2$ गुना लंबी — मापांकों $\sqrt2, 2, 2\sqrt2, 4, \dots$ से होकर बाहर की ओर जाता एक सर्पिल।

18. $\mathrm{j}$ $1$ से भिन्न इकाई का तीसरा मूल है, इसलिए ( $n = 3$ के साथ प्रश्न 7 का तर्क) $1 + \mathrm{j} + \mathrm{j}^2 = 0$ । मानक त्रिभुज पर कसौटी: $a + \mathrm{j}b + \mathrm{j}^2 c = 1 + \mathrm{j}\cdot\mathrm{j} + \mathrm{j}^2 \cdot \mathrm{j}^2 = 1 + \mathrm{j}^2 + \mathrm{j}^4 = 1 + \mathrm{j}^2 + \mathrm{j} = 0$ : संतुष्ट, जैसा समबाहु त्रिभुज $\left(1, \mathrm{j}, \mathrm{j}^2\right)$ माँगता है।

19. $\C$ पर कोई वास्तविक बहुपद रैखिक गुणनखंडों में बँट जाता है; उसके अवास्तविक मूल संयुग्मी युग्मों में आते हैं (समीकरण का संयुग्मन कीजिए), और हर युग्म गुणा होकर एक वास्तविक द्विघात $z^2 - 2\operatorname{Re}(z_0)\,z + \abs{z_0}^2$ बन जाता है: अतः घात- $1$ और घात- $2$ के टुकड़ों में वास्तविक गुणनखंडन — प्रश्न 12 ने उसे $z^4 + 4$ पर करके दिखाया।

20. बिंदु; घूर्णन-और-मापन; सम बहुभुज; प्रसार से त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ; और एक ऐसा बंद संसार जहाँ घात $n$ के हर समीकरण के $n$ मूल होते हैं। समापन-पद: प्रश्न 10 में $\pi$ के पंचभुज ने स्वर्ण अनुपात से हाथ मिलाया — यूक्लिड के दोनों सबसे प्रसिद्ध अतिथि, जिनका परिचय अंततः शून्य के बराबर पाँच तीरों के योग ने कराया।

इस अध्याय में परिभाषित शब्द

शब्दावली के सभी 395 शब्द देखें