लाग्रांजीय और ऑयलरीय वर्णन কী?

उदाहरण 2.3 (एक ही प्रवाह के दो वर्णन)

$S$ काट वाली बगीचे की नली में $Q$ प्रवाह दर पर पानी हर जगह $v = Q/S$ से चलता है: ऑयलरीय क्षेत्र एकसमान है और हर कण की लाग्रांजीय गति भी एकसमान। पतली होती टोंटी में ऑयलरीय क्षेत्र अब भी स्थायी है, पर अक्ष के अनुदिश $v$ बढ़ता जाता है: हर कण गुज़रते समय त्वरित होता है, यद्यपि किसी स्थिर बिंदु पर समय के साथ कुछ नहीं बदलता। ऑयलरीय वर्णन को सबसे पहले यही व्यक्त करना सीखना है।

उदाहरण 2.15 (तीन समतल प्रवाह)

(क) स्थगन प्रवाह $\vect v = k(x, -y)$: $\operatorname{div}\vect v = 0$, $\vect\omega = \vect 0$, $\varphi = \tfrac12k(x^2 - y^2)$; धारा-रेखाएँ $xy = \text{अचर}$, अर्थात् अतिपरवलय — अक्ष के पास दीवार से टकराती धार। (ख) बिंदु भँवर $\vect v = \dfrac{\Gamma}{2\pi r}\vect e_\theta$ (समतल ध्रुवीय निर्देशांक): असंपीड्य और $r = 0$ को छोड़ हर जगह अघूर्णी, $\varphi = \Gamma\theta/2\pi$ (बहुमानी), और केंद्र के चारों ओर किसी भी वृत्त पर परिचालन $\Gamma$ है — अर्थात् भ्रमिलता अक्ष पर संकेंद्रित है। (ग) रैंकिन भँवर: $r < a$ वाला क्रोड ठोस घूर्णन $v_\theta = \Omega r$ में (भ्रमिलता $2\Omega$) और उसके बाहर बिंदु भँवर $v_\theta = \Omega a^2/r$ से जुड़ा हुआ: यही बवंडर, टब की भँवरी या पुल के खंभे के पीछे के भँवर का प्रतिरूप है — वेग क्रोड के किनारे पर अधिकतम होता है।