विश्वविद्यालय भौतिकी — वर्ष 2 · Bachelor Year 2

2तरल की शुद्धगतिकी

किसी पुल पर खड़े होकर नदी देखिए। एक पत्ता बहता हुआ आता है, खंभों के बीच तेज़ हो जाता है, नीचे के कुंड में धीमा पड़ता है, किसी भँवर में एक चक्कर काटता है और आगे बढ़ जाता है। आप नदी का वर्णन उस पत्ते के पीछे चलकर कर सकते हैं — हर क्षण उसकी स्थिति और वेग लिखकर — या फिर स्थिर खड़े रहकर, नदी के हर बिंदु पर यह लिखकर कि वहाँ पानी कितनी तेज़ी से गुज़रता है। दूसरा वर्णन तरल-भौतिकी वाले का है: एक वेग क्षेत्र। यह अध्याय दोनों वर्णन खड़े करता है, क्षेत्र से किसी कण का त्वरण निकालना सिखाता है, द्रव्यमान-संरक्षण को स्थानिक नियम के रूप में लिखता है, और प्रवाहों को इस आधार पर बाँटता है कि वे घूमते हैं या नहीं — अर्थात् वह सारी शब्दावली, जो ऑयलर और नेवियर के समीकरणों को चाहिए होगी।

पुल के पास नदी: खंभों के बीच तेज़ और चिकना पानी, उनकी ओट में भँवर — अर्थात् एक वेग क्षेत्र, जिसे स्थिर बिंदुओं पर पढ़ना है, न कि कोई एक प्रक्षेप-पथ, जिसके पीछे चलना है।

2.1 सांतत्य-वर्णन

परिभाषा 2.1 (तरल कण; सांतत्य परिकल्पना)

तरल कण तरल का इतना छोटा आयतन है कि प्रवाह के पैमाने पर उसे बिंदु माना जा सके, फिर भी इतना बड़ा कि उसमें अणुओं की विशाल संख्या रहे, और इसलिए उसका घनत्व $\rho$ , दाब $P$ , ताप $T$ तथा माध्य वेग $\vect v$ सुपरिभाषित औसत हों (मध्यदर्शी पैमाना, प्रायः एक माइक्रोमीटर)। सांतत्य परिकल्पना यह मानती है कि ऐसा कोई पैमाना है: अणुओं का माध्य मुक्त पथ $\ell$ प्रवाह के पैमाने $L$ से बहुत छोटा होना चाहिए, $\ell/L \ll 1$ । वायुमंडलीय दाब पर हवा में $\ell \approx 70\,\mathrm{nm}$ ; किसी द्रव में $\ell$ अणु के आकार का होता है। तब तरल का वर्णन हर बिंदु पर परिभाषित क्षेत्रों $\rho(M, t)$ , $P(M, t)$ , $\vect v(M, t)$ से होता है।

परिभाषा 2.2 (लाग्रांजीय और ऑयलरीय वर्णन)

लाग्रांजीय वर्णन हर तरल कण के पीछे चलता है: समय और कण की आरंभिक स्थिति के फलन के रूप में उसकी स्थिति $\vect r(t)$ और वेग $\dd\vect r/\dd t$ । ऑयलरीय वर्णन हर स्थिर बिंदु $M$ और समय $t$ पर उस कण का वेग $\vect v(M, t)$ देता है, जो उस क्षण $M$ से होकर गुज़र रहा है। पथ-रेखा किसी कण का प्रक्षेप-पथ है; समय $t$ पर धारा-रेखा वह वक्र है जो हर बिंदु पर $\vect v(M, t)$ की स्पर्शरेखा हो; और धारा-नलिका किसी बंद वक्र से होकर जाती धारा-रेखाओं से बना पृष्ठ है। प्रवाह स्थायी तब कहलाता है जब ऑयलरीय क्षेत्र समय पर निर्भर न करें, $\partial\vect v/\partial t = \vect 0$ ; तब धारा-रेखाएँ और पथ-रेखाएँ संपाती और अचल होती हैं।

उदाहरण 2.3 (एक ही प्रवाह के दो वर्णन)

$S$ काट वाली बगीचे की नली में $Q$ प्रवाह दर पर पानी हर जगह $v = Q/S$ से चलता है: ऑयलरीय क्षेत्र एकसमान है और हर कण की लाग्रांजीय गति भी एकसमान। पतली होती टोंटी में ऑयलरीय क्षेत्र अब भी स्थायी है, पर अक्ष के अनुदिश $v$ बढ़ता जाता है: हर कण गुज़रते समय त्वरित होता है, यद्यपि किसी स्थिर बिंदु पर समय के साथ कुछ नहीं बदलता। ऑयलरीय वर्णन को सबसे पहले यही व्यक्त करना सीखना है।

बाएँ: स्थायी अभिसारी प्रवाह — धारा-रेखाएँ अचल हैं, कोई चिह्नित कण उनमें से एक पर चलता है और नलिका के सँकरे होते ही त्वरित होता है। दाएँ: ऑयलरीय वर्णन स्थिर बिंदुओं पर वेग सदिश लिखता है; लाग्रांजीय वर्णन किसी एक कण के पीछे उसकी पथ-रेखा पर चलता है।

2.2 द्रव्य अवकलज

प्रमेय 2.4 (द्रव्य (कण) अवकलज)

किसी राशि $G(M, t)$ (अदिश या सदिश) के परिवर्तन की दर, उस तरल कण के लिए जो $M$ से होकर समय $t$ पर गुज़र रहा है,

\frac{\mathrm DG}{\mathrm Dt} = \frac{\partial G}{\partial t} + (\vect v\cdot \operatorname{\vect{grad}})\,G , \qquad\text{तथा विशेषतः}\qquad \vect a = \frac{\mathrm D\vect v}{\mathrm Dt} = \frac{\partial\vect v}{\partial t} + (\vect v\cdot\operatorname{\vect{grad}})\,\vect v ,

होती है, जहाँ $(\vect v\cdot\operatorname{\vect{grad}}) = v_x\partial_x + v_y\partial_y + v_z\partial_z$ है। पहला पद परिवर्तन की स्थानिक दर है (किसी स्थिर बिंदु पर), दूसरा संवहनी दर (क्योंकि कण वहाँ चला जाता है जहाँ $G$ भिन्न है)। वेग के लिए, $(\vect v\cdot \operatorname{\vect{grad}})\vect v = \operatorname{\vect{grad}}(v^2/2) + (\operatorname{\vect{curl}}\vect v)\wedge\vect v$ ।

उपपत्ति. $\dd t$ में कण $M$ से $M + \vect v\,\dd t$ तक जाता है, अतः प्रथम कोटि तक $\dd G = G(M + \vect v\dd t, t + \dd t) - G(M, t) = \partial_tG\,\dd t + \dd t\,(v_x\partial_x + v_y\partial_y + v_z\partial_z)G$ (चार चरों वाले फलन का शृंखला-नियम)। सदिश-सर्वसमिका $x$ घटक पर जाँची जाती है: $[\operatorname{\vect{grad}}(v^2/2)]_x = v_x\partial_xv_x + v_y\partial_x v_y + v_z\partial_xv_z$ और $[(\operatorname{\vect{curl}}\vect v)\wedge\vect v]_x = v_y(\partial_yv_x - \partial_xv_y) + v_z(\partial_zv_x - \partial_xv_z)$ (जहाँ $\operatorname{\vect{curl}}\vect v$ के घटक नीचे परिभाषा 2.12 में दिए हैं); इनका योग $v_x\partial_xv_x + v_y\partial_yv_x + v_z\partial_zv_x$ है। ∎

उदाहरण 2.5 (स्थायी टोंटी में त्वरण)

किसी टोंटी के अनुदिश एक-विमीय स्थायी प्रवाह $v(x) = v_0(1 + x/L)$ : स्थानिक पद लुप्त हो जाता है, और $a = v\,\dd v/\dd x = v_0^2(1 + x/L)/L$ । कोई कण $v_0 = 2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ पर घुसता है और $2v_0$ पर निकलता है; $L = 5\,\mathrm{cm}$ की इस दूरी में वह $a = 80$ से $160\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ तक अनुभव करता है: अर्थात् आठ से सोलह गुना $g$ , और वह भी ऐसे प्रवाह में जहाँ कुछ भी समय पर निर्भर नहीं।

उदाहरण 2.6 (स्थानिक बनाम संवहनी)

किसी मौसम-केंद्र पर रात में ताप गिरता है ( $\partial T/ \partial t < 0$ : स्थानिक), और हवा जिस वायु-पिंड को उत्तर की ओर ले जाती है उसका ताप भी गिरता है ( $\vect v\cdot\operatorname{\vect{grad}}T < 0$ : संवहनी, या अभिवहनी)। हवा के साथ बहते गुब्बारे पर लगा तापमापी दोनों का योग, $\mathrm DT/\mathrm Dt$ , लिखता है; मौसम-केंद्र केवल पहला पद लिखता है।

2.3 द्रव्यमान का संरक्षण

परिभाषा 2.7 (द्रव्यमान प्रवाह दर और आयतन प्रवाह दर)

किसी दिष्ट पृष्ठ $S$ से होकर द्रव्यमान प्रवाह दर वह द्रव्यमान है जो उसे प्रति एकांक समय में पार करता है, $D_m = \sum\rho\,\vect v\cdot\vect n\,\dd S$ — अर्थात् द्रव्यमान धारा घनत्व $\vect j = \rho\vect v$ का अभिवाह (मात्रक $\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ ); और आयतन प्रवाह दर $D_V = \sum\vect v \cdot\vect n\,\dd S$ ( $\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ ) है। $S$ क्षेत्रफल की किसी समतल काट के अभिलंब एकसमान वेग के लिए, $D_m = \rho vS$ और $D_V = vS$ ।

उपपत्ति. $\dd t$ में अवयव $\dd S$ को पार करता तरल वही है जो $\dd S$ आधार और $\vect v\,\dd t$ जनक वाले तिरछे बेलन में समाया है, जिसका आयतन $\vect v\cdot\vect n\,\dd S\,\dd t$ और द्रव्यमान उसका $\rho$ गुना है। ∎

प्रमेय 2.8 (द्रव्यमान का स्थानिक संरक्षण)

किसी तरल के हर बिंदु पर,

\frac{\partial\rho}{\partial t} + \operatorname{div}(\rho\vect v) = 0 , \qquad\text{जहाँ}\qquad \operatorname{div}\vect A = \frac{\partial A_x}{\partial x} + \frac{\partial A_y}{\partial y} + \frac{\partial A_z}{\partial z}

किसी सदिश क्षेत्र का अपसरण है: अर्थात् किसी छोटे आयतन के पृष्ठ से $\vect A$ का बाहर जाता कुल अभिवाह, प्रति एकांक आयतन। समतुल्य रूप से $\mathrm D\rho/\mathrm Dt + \rho\operatorname{div}\vect v = 0$ ।

उपपत्ति. स्थिर संदूक $[x, x + \dd x]\times[y, y + \dd y]\times[z, z + \dd z]$ लीजिए। उसका द्रव्यमान $\rho\,\dd x\dd y\dd z$ $\partial_t\rho\,\dd x\dd y \dd z$ की दर से बदलता है। द्रव्यमान $x$ वाले फलक से $j_x(x)\dd y\dd z$ दर से घुसता है और $x + \dd x$ वाले फलक से $j_x(x + \dd x)\dd y\dd z$ दर से निकलता है: अतः कुल निर्गम $\partial_xj_x\,\dd x\dd y\dd z$ , और इसी तरह $y$ तथा $z$ के लिए। द्रव्यमान का संरक्षण — कोई द्रव्यमान बनता नहीं — $\partial_t\rho = - (\partial_xj_x + \partial_yj_y + \partial_zj_z)$ देता है। दूसरा रूप $\operatorname{div}(\rho\vect v) = \vect v\cdot\operatorname{\vect{grad}}\rho + \rho\operatorname{div}\vect v$ से निकलता है। ∎

टिप्पणी 2.9 (अपसरण से पहली भेंट)

यह व्युत्पत्ति दिखाती है कि $\operatorname{div}$ क्या मापता है: किसी छोटे संदूक से निकलता अभिवाह, प्रति एकांक आयतन। किसी परिमित आयतन $V$ को भरने वाले संदूकों पर योग लेने पर भीतरी फलक जोड़े-जोड़े में कट जाते हैं और केवल बाहरी पृष्ठ बचता है: $\iint_{\partial V}\vect A\cdot\vect n\,\dd S = \iiint_V \operatorname{div}\vect A\,\dd\tau$ — अर्थात् अपसरण (ऑस्ट्रोग्रैडस्की) प्रमेय, जिसे हम अध्याय 11 में ठीक से रखेंगे और पूरे विद्युत्चुंबकत्व में काम में लेंगे; उसकी उपपत्ति वर्ष 3 के गणित-खंड में है। किसी स्थिर आयतन पर समाकलित करने पर स्थानिक नियम यह पढ़ा जाता है: $\dd m_V/\dd t = -D_m^{\text{निर्गम}}$ , अर्थात् भीतर का द्रव्यमान उतना ही बदलता है जितना सीमा को पार करता है।

बाएँ: किसी स्थिर संदूक का द्रव्यमान-संतुलन — उसके छह फलकों से बाहर जाता कुल अभिवाह, प्रति एकांक आयतन, v का अपसरण है। दाएँ: स्थायी प्रवाह में किसी धारा-नलिका की हर काट से द्रव्यमान प्रवाह दर एक ही रहती है। — बाएँ: किसी स्थिर संदूक का द्रव्यमान-संतुलन — उसके छह फलकों से बाहर जाता कुल अभिवाह, प्रति एकांक आयतन, $\rho\vect v$ का अपसरण है। दाएँ: स्थायी प्रवाह में किसी धारा-नलिका की हर काट से द्रव्यमान प्रवाह दर एक ही रहती है।

उपप्रमेय 2.10 (असंपीड्य प्रवाह; धारा-नलिकाएँ)

प्रवाह असंपीड्य तब कहलाता है जब हर कण का घनत्व अचर रहे, $\mathrm D\rho/\mathrm Dt = 0$ , जो इसके तुल्य है:

\operatorname{div}\vect v = 0 .

समांगी द्रव असंपीड्य रूप से बहता है; और ध्वनि की चाल से काफ़ी नीचे की चालों पर गैस भी (देखिए अध्याय 7)। स्थायी प्रवाह में द्रव्यमान प्रवाह दर $\rho vS$ धारा-नलिका की हर काट से एक ही रहती है; और यदि प्रवाह असंपीड्य भी हो तथा $\rho$ एकसमान, तो $vS$ अचर होता है: अर्थात् नलिका जहाँ सँकरी होती है वहाँ तरल तेज़ हो जाता है।

उपपत्ति. $\mathrm D\rho/\mathrm Dt = -\rho\operatorname{div}\vect v$ । नलिका के लिए, दो काटों के बीच के आयतन पर समाकलित संतुलन लगाइए: पार्श्व पृष्ठ से कोई अभिवाह नहीं (वेग स्पर्शरेखीय), और स्थायी अवस्था, अतः आगम निर्गम के बराबर है। ∎

उदाहरण 2.11 (रक्त)

महाधमनी (काट $2.5\,\mathrm{cm}^{2}$ ) $5\,\mathrm{L}/\mathrm{min}$ $= 83\,\mathrm{cm}^{3}/\mathrm{s}$ ले जाती है: $v = 33\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ । वही प्रवाह लगभग $10^{10}$ केशिकाओं से होकर जाता है, जिनकी कुल काट लगभग $2500\,\mathrm{cm}^{2}$ है: $v = 0.3\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ — अर्थात् दीवारों से आदान-प्रदान के लिए पर्याप्त धीमा, और यही शाखान का प्रयोजन है।

2.4 भ्रमिलता और अघूर्णी प्रवाह

परिभाषा 2.12 (भ्रमिलता)

किसी प्रवाह की भ्रमिलता वह सदिश क्षेत्र है

\vect\omega = \operatorname{\vect{curl}}\vect v , \qquad \operatorname{\vect{curl}}\vect A = \Bigl(\frac{\partial A_z}{\partial y} - \frac{\partial A_y}{\partial z},\; \frac{\partial A_x}{\partial z} - \frac{\partial A_z} {\partial x},\; \frac{\partial A_y}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y}\Bigr) .

जहाँ $\vect\omega = \vect 0$ हो, वहाँ प्रवाह अघूर्णी कहलाता है।

प्रतिज्ञप्ति 2.13 (भ्रमिलता स्थानिक घूर्णन मापती है)

$M$ पर केंद्रित कोई छोटा तरल अवयव समग्र रूप से कोणीय वेग $\vect\Omega = \tfrac12\vect\omega(M)$ से घूमता है। ठोस-पिंड घूर्णन $\vect v = \vect\Omega\wedge\vect{OM}$ में भ्रमिलता एकसमान होती है, $\vect\omega = 2\vect\Omega$ ; और समतल अपरूपण प्रवाह $\vect v = ky\,\vect e_x$ में वह $\vect\omega = -k\vect e_z$ है: अपरूपण प्रवाह में डाला गया छोटा पंखी-चक्र घूमता है, यद्यपि धारा-रेखाएँ सीधी हैं।

उपपत्ति. $M$ के पास, $\vect v(M + \vect\epsilon) = \vect v(M) + \mathbf G\vect\epsilon$ , जहाँ $\mathbf G$ $\partial_jv_i$ का आव्यूह है; उसे सममित भाग (शुद्ध विकृति, जो अवयव को खींचती है पर समग्र रूप से घुमाती नहीं) और विषम-सममित भाग में बाँटिए, जिसका आव्यूह $\tfrac12(\partial_jv_i - \partial_iv_j)$ है और वही $\vect\epsilon \mapsto \tfrac12\vect\omega\wedge\vect\epsilon$ का भी आव्यूह है (प्रमेय 1.2)। $\vect e_z$ के परितः ठोस घूर्णन: $\vect v = \Omega(-y, x, 0)$ , $\omega_z = \partial_xv_y - \partial_yv_x = 2\Omega$ । अपरूपण: $\omega_z = -\partial_y(ky) = -k$ । ∎

परिभाषा 2.14 (वेग विभव; परिचालन)

अघूर्णी प्रवाह में वेग किसी वेग विभव से व्युत्पन्न होता है: $\vect v = \operatorname{\vect{grad}}\varphi$ (तब किसी पथ पर $\vect v$ का परिचालन केवल पथ के सिरों पर निर्भर करता है, $\int_A^B\vect v \cdot\dd\vect l = \varphi(B) - \varphi(A)$ )। यदि प्रवाह असंपीड्य भी हो, तो $\Delta\varphi = \operatorname{div}\operatorname{\vect{grad}} \varphi = 0$ : अर्थात् विभव लाप्लास समीकरण का पालन करता है, ठीक वैसे ही जैसे आवेश-रहित प्रदेश में स्थिरवैद्युत विभव — यह विभव प्रवाह कहलाता है। किसी बंद वक्र $C$ पर वेग का परिचालन $\Gamma = \oint_C\vect v\cdot\dd\vect l$ है।

उपपत्ति. सरल संबद्ध प्रदेश पर कर्ल-रहित क्षेत्र प्रवणता होता है, और प्रवणता कर्ल-रहित होती है ( $\partial_y\partial_z\varphi = \partial_z\partial_y\varphi$ ) — ये दोनों वर्ष 2 के गणित-खंड के हैं; और लाप्लास समीकरण $\operatorname{div}\vect v = 0$ से निकलता है। ∎

उदाहरण 2.15 (तीन समतल प्रवाह)

(क) स्थगन प्रवाह $\vect v = k(x, -y)$ : $\operatorname{div}\vect v = 0$ , $\vect\omega = \vect 0$ , $\varphi = \tfrac12k(x^2 - y^2)$ ; धारा-रेखाएँ $xy = \text{अचर}$ , अर्थात् अतिपरवलय — अक्ष के पास दीवार से टकराती धार। (ख) बिंदु भँवर $\vect v = \dfrac{\Gamma}{2\pi r}\vect e_\theta$ (समतल ध्रुवीय निर्देशांक): असंपीड्य और $r = 0$ को छोड़ हर जगह अघूर्णी, $\varphi = \Gamma\theta/2\pi$ (बहुमानी), और केंद्र के चारों ओर किसी भी वृत्त पर परिचालन $\Gamma$ है — अर्थात् भ्रमिलता अक्ष पर संकेंद्रित है। (ग) रैंकिन भँवर: $r < a$ वाला क्रोड ठोस घूर्णन $v_\theta = \Omega r$ में (भ्रमिलता $2\Omega$ ) और उसके बाहर बिंदु भँवर $v_\theta = \Omega a^2/r$ से जुड़ा हुआ: यही बवंडर, टब की भँवरी या पुल के खंभे के पीछे के भँवर का प्रतिरूप है — वेग क्रोड के किनारे पर अधिकतम होता है।

तीन समतल प्रवाह। बाएँ: स्थगन प्रवाह, अघूर्णी, अतिपरवलयिक धारा-रेखाओं वाला। बीच में: बिंदु भँवर — वृत्ताकार धारा-रेखाएँ, फिर भी केंद्र से दूर भ्रमिलता शून्य। दाएँ: रैंकिन भँवर का प्रोफ़ाइल, क्रोड में ठोस घूर्णन और बाहर बिंदु भँवर।

टिप्पणी 2.16 (परिचालन क्यों मायने रखता है)

$\dd S$ क्षेत्रफल के किसी छोटे समतल पाश के लिए, जिसका अभिलंब $\vect n$ हो, परिचालन $\oint\vect v\cdot\dd\vect l = \vect\omega\cdot\vect n\,\dd S$ होता है — अर्थात् भ्रमिलता प्रति एकांक क्षेत्रफल परिचालन है, ठीक वैसे ही जैसे अपसरण प्रति एकांक आयतन अभिवाह है। (इसे ठोस-पिंड घूर्णन पर जाँचिए: $2\pi r\cdot\Omega r = 2\Omega\cdot\pi r^2$ ।) किसी पृष्ठ पर योग लेने पर यही स्टोक्स की प्रमेय देता है, $\oint_C\vect v\cdot\dd\vect l = \iint_S \operatorname{\vect{curl}}\vect v\cdot\vect n\,\dd S$ , जो अध्याय 11 में रखी गई है। पंख अपने चारों ओर परिचालन लेकर उत्थापन बनाता है; और आदर्श तरल में भँवर-रेखा बनी रहती है (केल्विन की प्रमेय) — इसीलिए खंभे के पीछे का भँवर इतनी देर टिका रहता है।

विधि 2.17 (कोई वेग क्षेत्र पढ़ना)

$\vect v(M, t)$ दिया हो तो: (1) क्या वह स्थायी है? ( $\partial_t\vect v = \vect 0$ ); (2) क्या वह असंपीड्य है? ( $\operatorname{div}\vect v = 0$ ); (3) क्या वह अघूर्णी है? ( $\operatorname{\vect{curl}}\vect v = \vect 0$ ; यदि हाँ तो $\varphi$ निकालिए); (4) धारा-रेखाएँ $\dd x/v_x = \dd y/v_y = \dd z/ v_z$ से निकालिए, स्थिर $t$ पर, और पथ-रेखाएँ $\dd\vect r/\dd t = \vect v(\vect r, t)$ से; (5) त्वरण $\partial_t\vect v + (\vect v\cdot \operatorname{\vect{grad}})\vect v$ निकालिए। समतल ध्रुवीय निर्देशांकों $(r, \theta)$ में, $\operatorname{div}\vect v = \dfrac1r\dfrac{\partial(rv_r)}{\partial r} + \dfrac1r \dfrac{\partial v_\theta}{\partial\theta}$ और $\omega_z = \dfrac1r\dfrac{\partial(rv_\theta)} {\partial r} - \dfrac1r\dfrac{\partial v_r}{\partial\theta}$ (यहाँ स्वीकृत; अध्याय 11 में व्युत्पन्न)।

2.5 अभ्यास

अभ्यास 2.1 ★

हवा का माध्य मुक्त पथ $1\,\mathrm{bar}$ पर $70\,\mathrm{nm}$ है और $1/P$ की तरह बदलता है। सांतत्य-वर्णन क्या इनके लिए मान्य है: (क) कार के चारों ओर की हवा, (ख) $1\,\mathrm{bar}$ पर $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ की सूक्ष्म-नलिका में हवा, (ग) $100\,\mathrm{km}$ ऊँचाई पर ( $P \approx 3 \times 10^{-7}\,\mathrm{bar}$ ) किसी $1\,\mathrm{m}$ के उपग्रह के चारों ओर की हवा? हर दशा में $\ell/L$ दीजिए।

हल

हल — अभ्यास 2.1.

(क) $\ell/L \sim 7 \times 10^{-8}$ : सांतत्य मान्य। (ख) $0.07$ : सीमांत — सांतत्य के नियम टूटने लगते हैं (दीवारों पर सर्पण)। (ग) $\ell = 70 \times 10^{-9} /3 \times 10^{-7} = 0.23\,\mathrm{m}$ , $\ell/L = 0.23$ : सांतत्य नहीं; गैस स्वतंत्र अणुओं की बौछार है (मुक्त-आण्विक व्यवस्था)।

अभ्यास 2.2 ★

स्थायी एक-विमीय प्रवाह $v(x) = v_0(1 + x/L)$ , $0 \le x \le L$ के लिए। $x$ पर किसी कण का त्वरण; $0$ से $L$ तक पार करने में उसे लगा समय; $L/v_0$ और $L/2v_0$ से तुलना कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 2.2.

$a = v\,\dd v/\dd x = v_0^2(1 + x/L)/L$ ( $v_0^2/L$ से $2v_0^2/L$ तक)। $\dd x/\dd t = v_0(1 + x/L)$ : $t = (L/v_0)\ln2 = 0.69\,L/v_0$ , जो $L/2v_0$ और $L/v_0$ के बीच है।

अभ्यास 2.3 ★

$R$ त्रिज्या की किसी नली में अक्ष के अनुदिश वेग-प्रोफ़ाइल $v(r) = v_{\max}(1 - r^2/R^2)$ है। आयतन प्रवाह दर; माध्य चाल $\langle v\rangle = D_V/\pi R^2$ ; $R = 5\,\mathrm{mm}$ , $v_{\max} = 0.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ के लिए अंक।

हल

हल — अभ्यास 2.3.

$D_V = \int_0^Rv_{\max}(1 - r^2/R^2)\,2\pi r\,\dd r = \tfrac12\pi R^2v_{\max}$ ; $\langle v\rangle = v_{\max}/2 = 0.20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $D_V = 1.6 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s} = 16\,\mathrm{mL}/\mathrm{s}$ ।

अभ्यास 2.4 ★

हर क्षेत्र के लिए बताइए कि प्रवाह असंपीड्य है या नहीं और अघूर्णी है या नहीं; भ्रमिलता दीजिए: (क) $\vect v = (ax, -ay, 0)$ ; (ख) $\vect v = (-\Omega y, \Omega x, 0)$ ; (ग) $\vect v = (ax, ay, 0)$ ; (घ) $\vect v = (ky, 0, 0)$ ; (ङ) $\vect v = (ax, -ay, bz)$ — किस $b$ के लिए वह असंपीड्य है?

हल

हल — अभ्यास 2.4.

(क) $\operatorname{div} = 0$ , $\vect\omega = \vect 0$ : असंपीड्य और अघूर्णी। (ख) $\operatorname{div} = 0$ , $\omega_z = 2\Omega$ : ठोस घूर्णन। (ग) $\operatorname{div} = 2a \ne 0$ , अघूर्णी (समतल स्रोत)। (घ) $\operatorname{div} = 0$ , $\omega_z = -k$ : अपरूपण। (ङ) $\operatorname{div} = b$ : असंपीड्य तभी और केवल तभी जब $b = 0$ ; और हर $b$ के लिए अघूर्णी।

अभ्यास 2.5 ★★

$12\,\mathrm{mm}$ भीतरी व्यास की बगीचे की नली $10\,\mathrm{L}$ की बाल्टी $50\,\mathrm{s}$ में भरती है। नली में चाल; $3\,\mathrm{mm}$ की टोंटी में चाल; यदि टोंटी $4\,\mathrm{cm}$ में पतली होती है, तो उसे पार करते किसी कण का माध्य त्वरण आँकिए ( $g$ के गुणक में); टोंटी में बीता समय।

हल

हल — अभ्यास 2.5.

$D_V = 0.20\,\mathrm{L}/\mathrm{s}$ । नली $S = 1.13\,\mathrm{cm}^{2}$ : $v = 1.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; टोंटी $S = 7.1\,\mathrm{mm}^{2}$ : $v = 28\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ । माध्य त्वरण $\Delta(v^2/2)/L = (28^2 - 1.8^2)/0.08 \approx 1 \times 10^{4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} \approx 1000\,g$ । समय $\approx \int\dd x/v$ : कुछ मिलीसेकंड (रैखिक चाल-प्रोफ़ाइल के लिए $4\,\mathrm{ms}$ )।

अभ्यास 2.6 ★★

अस्थायी समतल प्रवाह $\vect v = (U, V\cos\omega t)$ , जहाँ $U$ , $V$ , $\omega$ अचर हैं। (क) समय $t$ पर धारा-रेखाएँ। (ख) उस कण की पथ-रेखा जो $t = 0$ पर मूल बिंदु पर है। (ग) $V = U$ के लिए $t = 0$ पर और $t = \pi/2\omega$ पर दोनों खींचिए; वे भिन्न क्यों हैं? (घ) किसी कण का त्वरण।

हल

हल — अभ्यास 2.6.

(क) $\dd y/\dd x = (V/U)\cos\omega t$ : ढाल $(V/U)\cos\omega t$ की सरल रेखाएँ, सब समांतर, समय के साथ झुकती हुईं। (ख) $x = Ut$ , $y = (V/\omega)\sin\omega t$ : अर्थात् ज्यावक्र $y = (V/\omega)\sin(\omega x/U)$ । (ग) $t = 0$ पर धारा-रेखाएँ $45{}^{\circ}$ पर हैं और पथ-रेखा मूल बिंदु से $45{}^{\circ}$ पर निकलती है; $t = \pi/2\omega$ पर धारा-रेखाएँ क्षैतिज हैं जबकि पथ-रेखा वही अचल ज्यावक्र है। वे इसलिए भिन्न हैं कि प्रवाह अस्थायी है: धारा-रेखा एक क्षण-चित्र है, पथ-रेखा एक इतिहास। (घ) $\vect a = \partial_t\vect v = (0, -V\omega\sin\omega t)$ — क्षेत्र एकसमान है, अतः संवहनी पद लुप्त हो जाता है।

अभ्यास 2.7 ★★

$50\,\mathrm{m}$ चौड़ी और $2.0\,\mathrm{m}$ गहरी कोई नदी $1.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से बहती है। (क) प्रवाह दर। (ख) वह $15\,\mathrm{m}$ चौड़ी और $4.0\,\mathrm{m}$ गहरी संकरी घाटी में घुसती है: चाल। (ग) कोई सहायक नदी $30\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ जोड़ देती है; आगे नदी $60\,\mathrm{m}$ चौड़ी और $2.5\,\mathrm{m}$ गहरी है: चाल। (घ) गरम गैस अचर काट की नली में स्थायी रूप से बहती है; दो बिंदुओं के बीच अचर दाब पर उसका ताप दुगुना हो जाता है: उसकी चाल का क्या होता है?

हल

हल — अभ्यास 2.7.

(क) $D_V = 50 \times 2 \times 1.2 = 120\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ । (ख) $120/60 = 2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ । (ग) $150/150 = 1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ । (घ) $\rho \propto 1/T$ अचर $P$ पर आधा हो जाता है; $\rho vS$ संरक्षित रहता है: अतः चाल दुगुनी हो जाती है।

अभ्यास 2.8 ★★

रैंकिन भँवर। $v_\theta = \Omega r$ , जब $r < a$ ; और $v_\theta = \Omega a^2/r$ , जब $r > a$ । (क) दोनों प्रदेशों में भ्रमिलता (ध्रुवीय सूत्र काम में लीजिए)। (ख) अक्ष पर केंद्रित $r$ त्रिज्या के वृत्त पर दोनों प्रदेशों में परिचालन; उसे भ्रमिलता-अभिवाह से जोड़िए। (ग) कोई बवंडर: $a = 50\,\mathrm{m}$ , $v_{\max} = 70\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $\Omega$ , $\Gamma$ , और $500\,\mathrm{m}$ पर चाल। (घ) क्या क्रोड का प्रवाह अघूर्णी है? बाहर का? भौतिक रूप से “घूर्णन” कहाँ है?

हल

हल — अभ्यास 2.8.

(क) $\omega_z = \frac1r\frac{\dd(rv_\theta)}{\dd r}$ : भीतर $2\Omega$ , बाहर $0$ । (ख) भीतर $\Gamma = 2\pi r\cdot\Omega r = 2\Omega\cdot\pi r^2$ , अर्थात् भ्रमिलता का अभिवाह; बाहर $\Gamma = 2\pi\Omega a^2$ , अचर, अर्थात् पूरे क्रोड का अभिवाह। (ग) $\Omega = v_{\max}/a = 1.4\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ ; $\Gamma = 2\pi av_{\max} = 2.2 \times 10^{4}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ; $500\,\mathrm{m}$ पर: $\Omega a^2/r = 7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ । (घ) क्रोड ठोस की तरह घूमता है; बाहर प्रवाह अघूर्णी है: कण अक्ष के चारों ओर घूमते हैं पर अपने बारे में नहीं। भ्रमिलता — अर्थात् घूर्णन — क्रोड में बसती है।

अभ्यास 2.9 ★★

स्थगन प्रवाह $\vect v = k(x, -y)$ । (क) विभव $\varphi$ निकालिए और $\Delta\varphi = 0$ जाँचिए। (ख) धारा-रेखाएँ; उन पर फलन $\psi = kxy$ अचर रहता है — दिखाइए कि $v_x = \partial\psi/\partial y$ , $v_y = -\partial\psi/ \partial x$ (धारा फलन)। (ग) त्वरण क्षेत्र; दिखाइए कि वह $\operatorname{\vect{grad}}(v^2/2)$ है और उसका अर्थ बताइए। (घ) $(x_0, y_0)$ से चले किसी कण की पथ-रेखा: $x = x_0\eu^{kt}$ , $y = y_0\eu^{-kt}$ ।

हल

हल — अभ्यास 2.9.

(क) $\varphi = \tfrac12k(x^2 - y^2)$ , $\Delta\varphi = k - k = 0$ । (ख) $\dd x/ kx = \dd y/(-ky)$ : $xy = \text{अचर}$ ; $\partial_y\psi = kx = v_x$ , $-\partial_x\psi = -ky = v_y$ । (ग) $\vect a = (v_x\partial_x + v_y\partial_y)\vect v = k^2(x, y) = \operatorname{\vect{grad}}\bigl(\tfrac12k^2(x^2 + y^2)\bigr) = \operatorname{\vect{grad}} (v^2/2)$ : अर्थात् स्थायी अघूर्णी प्रवाह में त्वरण प्रति एकांक द्रव्यमान गतिज ऊर्जा की प्रवणता है; वह स्थगन बिंदु से दूर की ओर संकेत करता है — कण दीवार के पास $y$ के अनुदिश आते हुए मंदित होता है और $x$ के अनुदिश दूर जाते हुए त्वरित। (घ) $\dot x = kx$ , $\dot y = -ky$ : $x = x_0\eu^{kt}$ , $y = y_0\eu^{-kt}$ ( $xy$ अचर)।

अभ्यास 2.10 ★★★

एक फैलता प्रवाह। एक-विमीय प्रवाह $v(x, t) = x/(t + \tau)$ , $t > 0$ के लिए, जहाँ $\tau > 0$ अचर है। (क) पथ-रेखाएँ: दिखाइए कि $x(t) = x_0(1 + t/\tau)$ ; किसी कण का त्वरण, पथ-रेखा से भी और द्रव्य अवकलज से भी। (ख) घनत्व हर समय एकसमान है, $\rho(t)$ : द्रव्यमान-संरक्षण से $\rho(t)$ निकालिए। (ग) दो कणों के बीच के द्रव्यमान का पीछा करके जाँचिए। (घ) यह क्षेत्र एकसमान रूप से फैलते विश्व का एक-विमीय प्रतिरूप क्यों है?

हल

हल — अभ्यास 2.10.

(क) $\dd x/\dd t = x/(t + \tau)$ से $x = x_0(1 + t/\tau)$ , $\ddot x = 0$ ; द्रव्य अवकलज से: $\partial_tv + v\partial_xv = -x/(t + \tau)^2 + x/(t + \tau)^2 = 0$ । (ख) $\partial_t\rho + \partial_x(\rho v) = \dot\rho + \rho/(t + \tau) = 0$ : $\rho = \rho_0\tau/(t + \tau)$ । (ग) दो कणों का अंतराल $(1 + t/\tau)$ की तरह बढ़ता है और उनके बीच का द्रव्यमान नियत है: $\rho \propto 1/(1 + t/\tau)$ । (घ) $v = Hx$ , जहाँ $H = 1/(t + \tau)$ : अर्थात् हबल नियम, मुक्त प्रसार (त्वरण शून्य), और घनत्व मापक गुणक के व्युत्क्रम की तरह गिरता हुआ।

अभ्यास 2.11 ★★★

धारा में स्रोत। एकसमान प्रवाह $\vect v = U\vect e_x$ और समतल स्रोत $\vect v = \dfrac{q}{2\pi r}\vect e_r$ ( $q$ अर्थात् $z$ के अनुदिश प्रति एकांक लंबाई आयतन प्रवाह दर) का अध्यारोपण कीजिए। (क) विभव $\varphi = Ux + (q/2\pi)\ln r$ ; जाँचिए कि दोनों प्रवाह असंपीड्य और अघूर्णी हैं (मूल बिंदु को छोड़कर)। (ख) स्थगन बिंदु। (ग) धारा फलन $\psi = Uy + q\theta/2\pi$ ; स्थगन बिंदु से होकर जाती धारा-रेखा $r\sin\theta = (q/2\pi U)(\pi - \theta)$ है: उसे खींचिए। (घ) दिखाइए कि बहुत आगे यह धारा-रेखा $y = \pm q/2U$ पर है: उसके बाहर का प्रवाह $q/U$ चौड़ाई के किसी कुंठित अर्ध-पिंड के चारों ओर का प्रवाह है।

हल

हल — अभ्यास 2.11.

(क) $\vect v = \operatorname{\vect{grad}}\varphi = (U + qx/2\pi r^2, qy/2\pi r^2)$ ; स्रोत के लिए $v_r = q/2\pi r$ , $\operatorname{div} = \frac1r\dd(rv_r)/\dd r = 0$ और $\theta$ पर कोई निर्भरता नहीं, अतः $\omega_z = 0$ ; और ऐसे क्षेत्रों के योग फिर से असंपीड्य तथा अघूर्णी होते हैं। (ख) ऋणात्मक $x$ अक्ष पर, $U - q/2\pi r = 0$ : $x_s = -q/2\pi U$ । (ग) स्थगन बिंदु पर $\theta = \pi$ , $y = 0$ : $\psi = q/2$ ; अतः धारा-रेखा $Ur\sin\theta + q\theta/2\pi = q/2$ , अर्थात् $r\sin\theta = (q/2\pi U)(\pi - \theta)$ — यह $x_s$ से निकलकर प्रवाह की दिशा में खुलता वक्र है। (घ) $\theta \to 0$ : $y \to q/2U$ ; $\theta \to 2\pi$ (निचली शाखा): $y \to -q/2U$ । उस धारा-रेखा के भीतर का तरल स्रोत से आता है; उसके बाहर एकसमान धारा $q/U$ अनंतस्पर्शी चौड़ाई के अर्ध-पिंड के चारों ओर बहती है।

अभ्यास 2.12 ★★★

भँवर और कूप। समतल प्रवाह $\vect v = -\dfrac{q}{2\pi r}\vect e_r + \dfrac{\Gamma}{2\pi r}\vect e_\theta$ , $r > a$ के लिए। (क) दिखाइए कि वह असंपीड्य और अघूर्णी है। (ख) धारा-रेखाएँ: लघुगणकीय सर्पिल $r = r_0\eu^{-q\theta/\Gamma}$ । (ग) किसी कण का त्वरण: दिखाइए कि वह पूर्णतः त्रिज्यीय है, $-v^2/r\,\vect e_r$ । (घ) किसी कण को $r_0$ से $a$ तक सर्पिल में आने में लगा समय; उसके चक्करों की संख्या। (ङ) अंक: $q = 1.5 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ , $\Gamma = 3 \times 10^{-2}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ , $r_0 = 0.5\,\mathrm{m}$ , $a = 2\,\mathrm{cm}$ ।

हल

हल — अभ्यास 2.12.

(क) $\operatorname{div}\vect v = \frac1r\partial_r(-q/2\pi) = 0$ ; $\omega_z = \frac1r\partial_r(\Gamma/2\pi) = 0$ । (ख) $\dd r/v_r = r\,\dd\theta/v_\theta$ से $\dd r/r = -(q/\Gamma)\dd\theta$ । (ग) $a_r = v_r\partial_rv_r - v_\theta^2/r = -(q^2 + \Gamma^2)/4\pi^2r^3 = -v^2/r$ ; $a_\theta = v_r\partial_rv_\theta + v_rv_\theta/r = 0$ । (घ) $\dd r/\dd t = -q/2\pi r$ : $t = \pi(r_0^2 - a^2)/q$ ; चक्कर $= (\Gamma/2\pi q)\ln(r_0/a)$ । (ङ) $t = 520\,\mathrm{s} \approx 9\,\mathrm{min}$ ; $10$ चक्कर।

2.6 समस्या: नाली के छेद से चक्रवाती तूफ़ान तक

समस्या 2.1

सप्ताहांत समस्या — तीन पैमानों पर वही शुद्धगतिकी: नाली के ऊपर की भँवरी, एक बवंडर, और उपग्रह से दिखता चक्रवात

भाग I — नहाने का टब। किसी टब का पानी $a = 2\,\mathrm{cm}$ त्रिज्या के छेद से निकाला जाता है; पानी की गहराई $h = 20\,\mathrm{cm}$ है और वह आयतन प्रवाह दर $D_V = 0.30\,\mathrm{L}/\mathrm{s}$ से निकलता है। छेद से दूर प्रवाह को समतल (गहराई से स्वतंत्र) माना जाता है: $\vect v = v_r(r)\vect e_r + v_\theta(r)\vect e_\theta$ ।

$r$ त्रिज्या और $h$ ऊँचाई के बेलन से होकर द्रव्यमान-संरक्षण लगाकर दिखाइए कि $v_r = -q/2\pi r$ है, जहाँ $q = D_V/h$ ; $q$ का मान।
डाट खींचने से पहले पानी हिलाया गया था और $r = 50\,\mathrm{cm}$ पर वह $1.0\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ से घूम रहा था। यह मानकर कि पानी का हर छल्ला भीतर की ओर आते हुए अपना कोणीय संवेग बनाए रखता है ( $rv_\theta$ अचर), $v_\theta(r)$ और परिचालन $\Gamma$ निकालिए।
जाँचिए कि $r > a$ के लिए प्रवाह असंपीड्य और अघूर्णी है।
धारा-रेखाएँ: दिखाइए कि वे लघुगणकीय सर्पिल हैं और निकालिए कि कोई कण $r = 50\,\mathrm{cm}$ और $r = a$ के बीच कितने चक्कर लगाता है।
किसी कण को $50\,\mathrm{cm}$ से छेद तक जाने में लगा समय, और पहुँचने पर उसकी दिगंशी चाल।
$r$ पर किसी कण का त्वरण; $g$ से तुलना, $r = a$ पर। (जहाँ दाब को उसे संतुलित करना पड़ता है वहाँ मुक्त सतह धँस जाती है — अर्थात् वह कीप; अगला अध्याय।)
पृथ्वी का घूर्णन टब में विराम में पड़े हर तरल को स्थानीय ऊर्ध्वाधर दर $\Omega_\oplus\sin\lambda \approx 5 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ पर एक “पृष्ठभूमि” घूर्णन देता है। $50\,\mathrm{cm}$ पर उससे मिलती दिगंशी चाल की तुलना हिलाने से मिली $1\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ से कीजिए, और बताइए कि निकलते टब के घूर्णन की दिशा गोलार्ध से तय होती है या नहीं।

भाग II — रैंकिन भँवर के रूप में बवंडर। क्रोड-त्रिज्या $a = 60\,\mathrm{m}$ , अधिकतम पवन $v_{\max} = 80\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , हवा का घनत्व $\rho = 1.2\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ।

दोनों प्रदेशों में $v_\theta(r)$ लिखिए और $\Omega$ तथा $\Gamma$ दीजिए।
क्रोड में और बाहर भ्रमिलता; $v_\theta$ और $\omega_z$ के आलेख $r$ के सामने खींचिए।
क्रोड के किनारे पर किसी वायु-कण का त्वरण; $g$ से तुलना।
दिखाइए कि क्रोड के बाहर रखा छोटा पंखी-चक्र बवंडर के चारों ओर बहता तो है, पर अपनी अक्ष के परितः नहीं घूमता, जबकि क्रोड में रखा चक्र अक्ष के चारों ओर हर एक चक्कर पर एक बार घूम जाता है।
क्रोड की गतिज ऊर्जा, प्रति मीटर ऊँचाई।
$a$ और $R = 5\,\mathrm{km}$ के बीच बाहरी प्रवाह की गतिज ऊर्जा, प्रति मीटर ऊँचाई; वह $R$ पर केवल लघुगणकीय रूप से क्यों निर्भर करती है?
$1\,\mathrm{km}$ ऊँचाई लेकर कुल गतिज ऊर्जा; $1\,\mathrm{t}$ टीएनटी ( $4.2\,\mathrm{GJ}$ ) से निकली ऊर्जा से तुलना कीजिए।
बवंडर में हवा भीतर की ओर और ऊपर की ओर भी बहती है। यदि क्रोड को उसके पार्श्व पृष्ठ से पहले $300\,\mathrm{m}$ ऊँचाई तक $5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ के त्रिज्यीय आगम से भरा जाता है, तो उस परत के शिखर पर हवा को कितनी ऊर्ध्वाधर चाल तक पहुँचना पड़ेगा (क्रोड की काट पर एकसमान)?

भाग III — चक्रवात। किसी उष्णकटिबंधीय चक्रवात को $a = 40\,\mathrm{km}$ क्रोड-त्रिज्या और $v_{\max} = 50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ वाला रैंकिन भँवर माना जाता है। पृथ्वी का घूर्णन ग्रहीय भ्रमिलता $f = 2\Omega_\oplus\sin\lambda \approx 5 \times 10^{-5}\,\mathrm{s}^{-1}$ के रूप में अनुभव होता है, जो $20{}^{\circ}$ अक्षांश पर है: धरती के सापेक्ष विराम में पड़ा हवा का कोई छल्ला जड़त्वीय तंत्र में किसी भी ऊर्ध्वाधर अक्ष के परितः पहले से ही दिगंशी चाल $fr/2$ रखता है।

क्रोड की भ्रमिलता और चक्रवात का परिचालन $\Gamma$ ; क्रोड की भ्रमिलता की $f$ से तुलना कीजिए।
$r_0 = 500\,\mathrm{km}$ त्रिज्या का हवा का कोई छल्ला, जो आरंभ में धरती के सापेक्ष विराम में है, कम दाब के कारण केंद्र की ओर खिंचता है। यह मानकर कि अक्ष के परितः उसका प्रति एकांक द्रव्यमान कोणीय संवेग $r(v_\theta + fr/2)$ संरक्षित रहता है, धरती के सापेक्ष उसका वेग $v_\theta$ $r = 100\,\mathrm{km}$ और $r = 40\,\mathrm{km}$ पर निकालिए।
उत्तरी गोलार्ध में चक्रवात किस दिशा में घूमता है, और क्यों? चक्रवात के लिए दिशा नियत क्यों है और टब के लिए नहीं?
इस तरह हवा को अक्ष तक क्यों नहीं खींचा जा सकता — पवन को क्या सीमित करता है और आँख क्यों बच जाती है?
$500\,\mathrm{km}$ त्रिज्या और $1\,\mathrm{km}$ ऊँचाई के बेलन से होकर हवा चक्रवात में $5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से अभिसरित होती है: भीतर खिंचती द्रव्यमान प्रवाह दर ( $\rho = 1.2\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ )।
चक्रवात समग्र रूप से $6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से पश्चिम की ओर चलता है। भँवर के अपने तंत्र में क्षेत्र $\vect v_0$ के पदों में धरती से दिखता ऑयलरीय वेग क्षेत्र लिखिए; क्या प्रवाह धरती-तंत्र में स्थायी है? तूफ़ान की किस ओर पवन अधिक तेज़ है?

भाग IV — प्रवाह दरें और एक सार।

$10\,\mathrm{km}^{2}$ के जल-ग्रहण क्षेत्र पर $50\,\mathrm{mm}/\mathrm{h}$ से वर्षा होती है और वह सारी $40\,\mathrm{m}^{2}$ काट की नदी में पहुँच जाती है: बाढ़ में नदी की माध्य चाल।
रक्त: महाधमनी ( $2.5\,\mathrm{cm}^{2}$ ) $5.0\,\mathrm{L}/\mathrm{min}$ ले जाती है; केशिकाओं की कुल काट $0.25\,\mathrm{m}^{2}$ है: दोनों में चाल; $1\,\mathrm{mm}$ की केशिका पार करने में रक्त को लगा समय।
$S$ काट का कोई टंकी तल में $s$ काट के छेद से खाली होती है; निर्गम चाल $\sqrt{2gh}$ है ( $h$ अर्थात् पानी का तल — स्वीकृत, अगले अध्याय में व्युत्पन्न)। द्रव्यमान-संरक्षण लिखिए और $h(t)$ तथा $S = 1\,\mathrm{m}^{2}$ , $s = 1\,\mathrm{cm}^{2}$ , $h_0 = 1\,\mathrm{m}$ के लिए खाली होने का समय निकालिए।
भाग I से III तक के तीनों प्रवाह एक सारणी में दीजिए: त्रिज्या, चाल, क्रोड की भ्रमिलता, परिचालन — और वह राशि, जो भीतर की ओर आने के दौरान संरक्षित रहती है और उन्हें घुमा देती है।

हल

हल — समस्या 2.1.

1. $r$ त्रिज्या के बेलन से होकर: $2\pi rh|v_r| = D_V$ , अतः $v_r = -q/2\pi r$ , $q = D_V/h = 1.5 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ।

2. $rv_\theta = 0.5 \times 0.01 = 5 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ : अतः $v_\theta = \Gamma/2\pi r$ , जहाँ $\Gamma = 3.1 \times 10^{-2}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ।

3. $\operatorname{div}\vect v = \frac1r\partial_r(rv_r) = 0$ , $\omega_z = \frac1r\partial_r(rv_\theta) = 0$ ।

4. $\dd r/r = -(q/\Gamma)\dd\theta$ : $r = r_0\eu^{-q\theta/\Gamma}$ ; चक्कर $= (\Gamma/2\pi q)\ln(r_0/a) = 3.3 \times 3.2 \approx 11$ ।

5. $t = \pi(r_0^2 - a^2)/q = 520\,\mathrm{s} \approx 9\,\mathrm{min}$ ; $v_\theta(a) = 0.25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ।

6. $\vect a = -(v^2/r)\vect e_r$ ; $r = a$ पर: $v^2 = 0.25^2 + 0.012^2$ , $a = 3.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} \approx 0.3g$ ।

7. $\Omega_\oplus\sin\lambda\,r = 5 \times 10^{-5} \times 0.5 = 2.5 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , जो हिलाने से मिली चाल से चार सौ गुना कम है: अतः साधारण टब में गोलार्ध कुछ भी तय नहीं करता (दिन भर स्थिर छोड़ी गई टंकी में करता है)।

8. $v_\theta = \Omega r$ ( $r < a$ ), $\Omega a^2/r$ ( $r > a$ ); $\Omega = 80/60 = 1.33\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , $\Gamma = 2\pi av_{\max} = 3.0 \times 10^{4}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ।

9. क्रोड में $\omega_z = 2\Omega = 2.7\,\mathrm{s}^{-1}$ , बाहर $0$ ; $v_\theta$ रैखिक रूप से $80\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ तक चढ़ता है और फिर $1/r$ की तरह गिरता है; $\omega_z$ एक सीढ़ी है।

10. $a = v_{\max}^2/a = 6400/60 = 107\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} \approx 11g$ , भीतर की ओर।

11. बाहर भ्रमिलता शून्य है: कोई छोटा अवयव अपने वृत्त पर स्थानांतरित होता है पर अपने बारे में घूमता नहीं — अर्थात् पंखी-चक्र अपना दिक्-विन्यास बनाए रखता है। क्रोड में (ठोस घूर्णन) वह तरल के साथ घूमता है, हर एक चक्कर पर एक बार।

12. $E_{\text{क्रोड}} = \int_0^a\tfrac12\rho\Omega^2r^2\,2\pi r\,\dd r = \tfrac14\pi\rho\Omega^2a^4 = 2.2 \times 10^{7}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}$ ।

13. $E_{\text{बाहर}} = \int_a^R\tfrac12\rho(\Omega a^2/r)^2\,2\pi r\,\dd r = \pi\rho\Omega^2a^4\ln(R/a) = 8.7 \times 10^7 \times 4.4 = 3.8 \times 10^{8}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}$ ; यहाँ समाकल्य $\rho v^2r \propto 1/r$ है, इसी से लघुगणक आता है।

14. $4.0 \times 10^{8}\,\mathrm{J}/\mathrm{m} \times 1000\,\mathrm{m} = 4 \times 10^{11}\,\mathrm{J}$ : अर्थात् लगभग $100\,\mathrm{t}$ टीएनटी।

15. आगम $2\pi a \times 300 \times 5 = 5.7 \times 10^{5}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ , और वह $\pi a^2 = 1.1 \times 10^{4}\,\mathrm{m}^{2}$ से होकर: $v_z = 50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ।

16. $\omega = 2v_{\max}/a = 2.5 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}^{-1} = 50f$ ; $\Gamma = 2\pi av_{\max} = 1.3 \times 10^{7}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ।

17. $r_0\cdot fr_0/2 = r(v_\theta + fr/2)$ : $v_\theta = f(r_0^2 - r^2)/2r$ ; $100\,\mathrm{km}$ पर $60\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $40\,\mathrm{km}$ पर $155\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ।

18. उत्तरी गोलार्ध में $f > 0$ होने से $v_\theta > 0$ मिलता है: अर्थात् ऊपर से देखने पर वामावर्त (चक्रवाती)। $500\,\mathrm{km}$ के पैमाने पर ग्रहीय घूर्णन ही आरंभिक घूर्णन का प्रमुख स्रोत है; टब में हिलाना।

19. समुद्र से घर्षण कोणीय संवेग छीन लेता है, और दाब-प्रवणता उत्तरोत्तर तेज़ होते छल्ले का अभिकेंद्र त्वरण नहीं सँभाल सकती: अतः हवा अक्ष तक पहुँचने से पहले ही, आँख की दीवार में, ऊपर उठ जाती है और बीच में शांत आँख छोड़ देती है।

20. $\rho\,2\pi rHv = 1.2 \times 2\pi \times 5 \times 10^5 \times 10^3 \times 5 = 1.9 \times 10^{10}\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ ।

21. $\vect v(M, t) = -U\vect e_x + \vect v_0(M + Ut\,\vect e_x)$ : अर्थात् आकृति बह जाती है, और धरती-तंत्र में क्षेत्र अस्थायी है। स्थानांतरण भँवर में उस ओर जुड़ता है जिस ओर $v_\theta$ पश्चिम की ओर संकेत करता है — अर्थात् पश्चिम की ओर जाते पथ की उत्तरी (दाहिनी) ओर।

22. $0.05 \times 10^7/3600 = 139\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ ; $v = 139/40 = 3.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ।

23. $D_V = 83\,\mathrm{cm}^{3}/\mathrm{s}$ : महाधमनी $0.33\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; केशिकाएँ $0.33\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ ; प्रति मिलीमीटर $3\,\mathrm{s}$ ।

24. $S\,\dd h/\dd t = -s\sqrt{2gh}$ : $\sqrt h = \sqrt{h_0} - \frac sS\sqrt{g/2}\,t$ , और $T = (S/s)\sqrt{2h_0/g} = 10^4 \times 0.45 = 4500\,\mathrm{s} \approx 75\,\mathrm{min}$ पर खाली।

25. टब: $r \sim 0.5\,\mathrm{m}$ , $v \sim 1\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ , $\Gamma = 3 \times 10^{-2}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ; बवंडर: $60\,\mathrm{m}$ , $80\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\omega = 2.7\,\mathrm{s}^{-1}$ , $\Gamma = 3 \times 10^{4}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ; चक्रवात: $40\,\mathrm{km}$ , $50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\omega = 2.5 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}$ , $\Gamma = 1.3 \times 10^{7}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ । हर एक में अभिसरित होते तरल का प्रति एकांक द्रव्यमान कोणीय संवेग $rv_\theta$ संरक्षित रहता है: और यही आगम उसे घुमा देता है।

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