Barisan konvergen কী?

Contoh 20.22

Misalkan $u_0 = 2$ dan $u_{n+1} = \frac{1}{2}\left(u_n + \frac{2}{u_n}\right)$. Dengan induksi diperiksa bahwa $u_n \geq \sqrt{2}$ untuk semua $n$ (ketaksamaan $\frac{1}{2}(x + 2/x) \geq \sqrt{2}$ untuk $x>0$ setara dengan $(x - \sqrt2)^2 \geq 0$), lalu bahwa $(u_n)$ turun, sebab

Karena turun dan terbatas di bawah, $(u_n)$ konvergen ke suatu $\ell \geq \sqrt{2}$, yang pasti memenuhi $\ell = \frac{1}{2}(\ell + 2/\ell)$, yaitu $\ell^2 = 2$. Jadi $u_n \to \sqrt{2}$. Inilah algoritme Heron, yang sudah dipakai orang Babilonia; kekonvergenannya sangat cepat ($u_3$ sudah memberi $\sqrt 2$ sampai delapan angka desimal).