गणित · शब्दावली

अंतर्गुणन क्या है?

अन्य नाम: यूक्लिडीय समष्टि · अंतःगुणन · हिल्बर्ट समष्टि

परिभाषा 23.1 विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 1 · अध्याय 23 — यूक्लिडीय समष्टियाँ

$E$ पर अंतर्गुणन ऐसा प्रतिचित्रण $\langle\cdot,\cdot\rangle \colon E \times E \to \R$ है जो द्विरैखिक, सममित और धन-निश्चित हो ( $x \neq 0$ के लिए $\langle x, x\rangle > 0$ )। इस प्रकार सज्जित परिमित-विमीय समष्टि यूक्लिडीय समष्टि कहलाती है। $x$ का मानक $\norm{x} = \sqrt{\langle x, x\rangle}$ है, और $d(x, y) = \norm{x - y}$ ।

उदाहरण

उदाहरण 23.2

$\R^n$ पर: विहित गुणन $\langle x, y\rangle = \sum x_i y_i$ । $C(\intcc{a}{b})$ पर: $\langle f, g \rangle = \int_a^b fg$ (धन-निश्चितता प्रमेय 15.7 (4) है)। $\R_n[X]$ पर: $\langle P, Q\rangle = \int_0^1 PQ$ , अथवा $n+1$ भिन्न बिंदुओं पर $\sum_{i} P(x_i)Q(x_i)$ ।

उदाहरण 23.3 (दो बहुपदों के बीच का कोण)

अंतर्गुणन चुन लेने के बाद किन्हीं भी दो अशून्य सदिशों के बीच कोण होता है, $\cos\theta = \frac{\langle x, y\rangle}{\norm x\,\norm y}$ के द्वारा (कोशी–श्वार्ट्ज़ से यह वैध कोज्या है)। $\int_0^1$ में $X$ और $X^2$ के लिए:

\langle X, X^2\rangle = \frac14, \qquad \norm X = \frac1{\sqrt3}, \qquad \norm{X^2} = \frac1{\sqrt5}, \qquad \cos\theta = \frac{1/4}{1/\sqrt{15}} = \frac{\sqrt{15}}{4} \approx 0.968 :

अर्थात् लगभग $14.5$ अंश का कोण — $\intcc{0}{1}$ पर $x$ और $x^2$ के आलेख वर्ग-माध्य के अर्थ में “लगभग समांतर” हैं, और इसीलिए उस साझा दिशा को हटा देने पर (नीचे ग्राम–श्मिट) केवल छोटा-सा सुधार $X^2 - X + \frac16$ बचता है।

उदाहरण 23.7 (लांबिक-प्रसामान्य निर्देशांक, पार्सेवाल जाँच के साथ)

अभ्यास 23.3 के लांबिक-प्रसामान्य आधार में $x = (1, 2, 3)$ का प्रसार कीजिए,

e_1 = \tfrac{1}{\sqrt2}(1,1,0), \quad e_2 = \tfrac{1}{\sqrt6}(1,-1,2), \quad e_3 = \tfrac{1}{\sqrt3}(-1,1,1).

कोई निकाय हल नहीं करना पड़ा — केवल तीन अंतर्गुणन:

\langle x, e_1\rangle = \frac{3}{\sqrt2}, \qquad \langle x, e_2\rangle = \frac{1 - 2 + 6}{\sqrt6} = \frac{5}{\sqrt6}, \qquad \langle x, e_3\rangle = \frac{-1 + 2 + 3}{\sqrt3} = \frac{4}{\sqrt3}.

प्रतिज्ञप्ति के मानक-सूत्र से प्रमाणन:

\frac{9}{2} + \frac{25}{6} + \frac{16}{3} = \frac{27 + 25 + 32}{6} = 14 = \norm{x}^2 = 1 + 4 + 9 .

निर्देशांकों के वर्गों के योग वाली यह जाँच (एक परिमित पार्सेवाल सर्वसमिका) कुछ सेकंड लेती है और चिह्न तथा प्रसामान्यन की त्रुटियाँ लगभग निश्चित रूप से पकड़ लेती है — जब भी कोई लांबिक-प्रसामान्य प्रसार संगणित करें, इसे आदत बना लीजिए; और उदाहरण 23.14 के फूरिये गुणांकों के लिए उसका अनंत-विमीय रूप स्नातक वर्ष 3 के खंड की एक प्रमेय है।

अध्याय में पढ़ें →

परिभाषा 13.1 विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 3 · अध्याय 13 — हिल्बर्ट समष्टियाँ

अंतःगुणन ऐसा प्रतिचित्रण $\langle \cdot,\cdot\rangle \colon H\times H \to K$ है जो दूसरे चर में रैखिक हो, जिसमें $\langle y, x\rangle = \overline{\langle x, y\rangle}$ हो, और $x \neq 0$ के लिए $\langle x, x\rangle > 0$ हो। वह मानक $\norm x = \langle x, x\rangle^{1/2}$ , कोशी–श्वार्ज़ असमिका $\abs{\langle x, y\rangle} \leq \norm x\norm y$ (दूसरे वर्ष की उपपत्ति — विविक्तकर — अपरिवर्तित रहती है), और समांतर चतुर्भुज नियम

\norm{x + y}^2 + \norm{x - y}^2 = 2\norm x^2 + 2\norm y^2 .

प्रेरित करता है। हिल्बर्ट समष्टि वह अंतःगुणन समष्टि है जो इस मानक के लिए पूर्ण हो। उदाहरण: $\ell^2$ (समस्या 8.1) और, सबसे मूलभूत, $\langle f, g\rangle = \int\bar fg\,\dd\mu$ के साथ $L^2(\mu)$ — जो रीस–फिशर (प्रमेय 12.4) से पूर्ण है; और अंतःगुणन कोशी–श्वार्ज़ ( $p = q = 2$ पर $=$ होल्डर) से परिमित है।

उदाहरण

उदाहरण 13.5 (एक प्रक्षेप, अंत तक परिकलित)

$H = L^2(\intcc01)$ में $f(x) = x^2$ का किसी आफ़ीन फलन से श्रेष्ठतम आसन्नन क्या है? उपसमष्टि $F = \operatorname{Vect}(1, x)$ संवृत है (परिमित-विमीय), और $p_F(f) = a + bx$ इस गुण से अभिलक्षित होता है कि अवशेष $1$ और $x$ दोनों के लांबिक है:

\int_0^1(x^2 - a - bx)\,\dd x = 0, \qquad \int_0^1x\,(x^2 - a - bx)\,\dd x = 0,

अर्थात् $\frac13 = a + \frac b2$ और $\frac14 = \frac a2 + \frac b3$ : अतः $a = -\frac16$ , $b = 1$ । इसलिए $p_F(x^2) = x - \frac16$ , और त्रुटि

d(f, F)^2 = \int_0^1\Bigl(x^2 - x + \frac16\Bigr)^2\dd x = \frac1{180}, \qquad d(f, F) = \frac1{6\sqrt5} .

है। दो बातें आत्मसात करने योग्य हैं। पहली, यह परिकलन एक $2\times2$ रैखिक निकाय के अतिरिक्त कुछ नहीं है — प्रसामान्य समीकरण; एकपदी आधार में उनका आव्यूह $\bigl(\frac1{i+j+1}\bigr)$ कुख्यात रूप से दुर्दशित हिल्बर्ट आव्यूह है, और पहले लांबिकीकरण कर लेना (लजांद्र बहुपद, समस्या 13.1) उसका उपचार है। दूसरी, $x^2$ का आफ़ीन फलनों से श्रेष्ठतम एकसमान आसन्नन भिन्न है ( $x - \frac18$ , समदोलन से): प्रत्येक मानक की अपनी ज्यामिति होती है, और केवल हिल्बर्टीय मानक ही किसी रैखिक निकाय से उत्तर देता है।

अध्याय में पढ़ें →

उदाहरण

उदाहरण

संबंधित पद