Qu'est-ce que « produit scalaire » ? — Mathématiques

Définition 23.1 Mathématiques universitaires — Licence 1 · Chapitre 23 — Espaces euclidiens

Un produit scalaire sur $E$ est une application $\langle\cdot,\cdot\rangle \colon E \times E \to \R$ bilinéaire, symétrique et définie positive ( $\langle x, x\rangle > 0$ pour $x \neq 0$ ). Un espace de dimension finie ainsi muni est un espace euclidien. La norme de $x$ est $\norm{x} = \sqrt{\langle x, x\rangle}$ , et $d(x, y) = \norm{x - y}$ .

Exemples

Exemple 23.2

Sur $\R^n$ : le produit canonique $\langle x, y\rangle = \sum x_i y_i$ . Sur $C(\intcc{a}{b})$ : $\langle f, g \rangle = \int_a^b fg$ (le caractère défini positif est Théorème 15.7 (4)). Sur $\R_n[X]$ : $\langle P, Q\rangle = \int_0^1 PQ$ , ou $\sum_{i} P(x_i)Q(x_i)$ sur $n+1$ points distincts.

Exemple 23.3 (L’angle entre deux polynômes)

Une fois un produit scalaire choisi, deux vecteurs non nuls quelconques ont un angle, via $\cos\theta = \frac{\langle x, y\rangle}{\norm x\,\norm y}$ (un cosinus légitime grâce à Cauchy–Schwarz). Pour $X$ et $X^2$ avec $\int_0^1$ :

\langle X, X^2\rangle = \frac14, \qquad \norm X = \frac1{\sqrt3}, \qquad \norm{X^2} = \frac1{\sqrt5}, \qquad \cos\theta = \frac{1/4}{1/\sqrt{15}} = \frac{\sqrt{15}}{4} \approx 0.968 :

soit un angle d’environ $14.5$ degrés — sur $\intcc{0}{1}$ , les graphes de $x$ et de $x^2$ sont « presque parallèles » au sens de la moyenne quadratique, ce qui explique qu’en retirant cette direction commune (Gram–Schmidt, plus bas) il ne reste que la petite correction $X^2 - X + \frac16$ .

Exemple 23.7 (Coordonnées orthonormales, avec une vérification de Parseval)

Décomposons $x = (1, 2, 3)$ dans la base orthonormale de l’Exercice 23.3,

e_1 = \tfrac{1}{\sqrt2}(1,1,0), \quad e_2 = \tfrac{1}{\sqrt6}(1,-1,2), \quad e_3 = \tfrac{1}{\sqrt3}(-1,1,1).

Aucun système à résoudre — trois produits scalaires :

\langle x, e_1\rangle = \frac{3}{\sqrt2}, \qquad \langle x, e_2\rangle = \frac{1 - 2 + 6}{\sqrt6} = \frac{5}{\sqrt6}, \qquad \langle x, e_3\rangle = \frac{-1 + 2 + 3}{\sqrt3} = \frac{4}{\sqrt3}.

Certification par la formule de la norme de la proposition :

\frac{9}{2} + \frac{25}{6} + \frac{16}{3} = \frac{27 + 25 + 32}{6} = 14 = \norm{x}^2 = 1 + 4 + 9 .

Cette vérification par la somme des carrés des coordonnées (une identité de Parseval finie) coûte quelques secondes et détecte presque à coup sûr les erreurs de signe et de normalisation — prenez-en l’habitude chaque fois que vous calculez une décomposition orthonormale ; sa version en dimension infinie, pour les coefficients de Fourier de l’Exemple 23.14, est un théorème du volume de Licence 3.

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Définition 13.1 Mathématiques universitaires — Licence 3 · Chapitre 13 — Espaces de Hilbert

Un produit scalaire est une application $\langle \cdot,\cdot\rangle \colon H\times H \to K$ , linéaire en la seconde variable, avec $\langle y, x\rangle = \overline{\langle x, y\rangle}$ et $\langle x, x\rangle > 0$ pour $x \neq 0$ . Elle induit la norme $\norm x = \langle x, x\rangle^{1/2}$ , l’inégalité de Cauchy–Schwarz $\abs{\langle x, y\rangle} \leq \norm x\norm y$ (la preuve de deuxième année — le discriminant — est inchangée), et la identité du parallélogramme

\norm{x + y}^2 + \norm{x - y}^2 = 2\norm x^2 + 2\norm y^2 .

Un espace de Hilbert est un espace préhilbertien complet pour cette norme. Exemples : $\ell^2$ (Problème 8.1) et, l’exemple fondamental, $L^2(\mu)$ avec $\langle f, g\rangle = \int\bar fg\,\dd\mu$ — complet par Riesz–Fischer (Théorème 12.4) ; le produit scalaire est fini par Cauchy–Schwarz ( $=$ Hölder en $p = q = 2$ ).

Exemples

Exemple 13.5 (Une projection, calculée jusqu’au bout)

Dans $H = L^2(\intcc01)$ , quelle est la meilleure approximation de $f(x) = x^2$ par une fonction affine ? Le sous-espace $F = \operatorname{Vect}(1, x)$ est fermé (dimension finie), et $p_F(f) = a + bx$ est caractérisé par l’orthogonalité du résidu à $1$ et à $x$ :

\int_0^1(x^2 - a - bx)\,\dd x = 0, \qquad \int_0^1x\,(x^2 - a - bx)\,\dd x = 0,

c’est-à-dire $\frac13 = a + \frac b2$ et $\frac14 = \frac a2 + \frac b3$ : $a = -\frac16$ , $b = 1$ . Donc $p_F(x^2) = x - \frac16$ , et l’erreur vaut

d(f, F)^2 = \int_0^1\Bigl(x^2 - x + \frac16\Bigr)^2\dd x = \frac1{180}, \qquad d(f, F) = \frac1{6\sqrt5} .

Deux remarques à intérioriser. D’abord, le calcul n’est rien d’autre qu’un système linéaire $2\times2$ — les équations normales ; pour la base monomiale leur matrice $\bigl(\frac1{i+j+1}\bigr)$ est la tristement célèbre matrice de Hilbert, mal conditionnée, et orthonormaliser d’abord (polynômes de Legendre, Problème 13.1) est le remède. Ensuite, la meilleure approximation uniforme de $x^2$ par des affines est différente ( $x - \frac18$ , par équi-oscillation) : chaque norme a sa géométrie, et seule la géométrie hilbertienne répond par un système linéaire.

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Exemples

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