O que é produto interno? — Matemática

Definição 23.1 Matemática universitária — Graduação 1 · Capítulo 23 — Espaços Euclidianos

Um produto interno em $E$ é uma aplicação $\langle\cdot,\cdot\rangle \colon E \times E \to \R$ bilinear, simétrica e definida positiva ( $\langle x, x\rangle > 0$ para $x \neq 0$ ). Um espaço de dimensão finita assim munido é um espaço euclidiano. A norma de $x$ é $\norm{x} = \sqrt{\langle x, x\rangle}$ , e $d(x, y) = \norm{x - y}$ .

Exemplos

Exemplo 23.2

Em $\R^n$ : o produto canônico $\langle x, y\rangle = \sum x_i y_i$ . Em $C(\intcc{a}{b})$ : $\langle f, g \rangle = \int_a^b fg$ (a definição positiva é o Teorema 15.7 (4)). Em $\R_n[X]$ : $\langle P, Q\rangle = \int_0^1 PQ$ , ou $\sum_{i} P(x_i)Q(x_i)$ sobre $n+1$ pontos distintos.

Exemplo 23.3 (O ângulo entre dois polinômios)

Uma vez escolhido um produto interno, quaisquer dois vetores não nulos têm um ângulo, via $\cos\theta = \frac{\langle x, y\rangle}{\norm x\,\norm y}$ (um cosseno legítimo, por Cauchy–Schwarz). Para $X$ e $X^2$ em $\int_0^1$ :

\langle X, X^2\rangle = \frac14, \qquad \norm X = \frac1{\sqrt3}, \qquad \norm{X^2} = \frac1{\sqrt5}, \qquad \cos\theta = \frac{1/4}{1/\sqrt{15}} = \frac{\sqrt{15}}{4} \approx 0.968 :

um ângulo de cerca de $14.5$ graus — em $\intcc{0}{1}$ , os gráficos de $x$ e $x^2$ são “quase paralelos” no sentido da média quadrática, e é por isso que remover essa direção comum (Gram–Schmidt, abaixo) deixa apenas a pequena correção $X^2 - X + \frac16$ .

Exemplo 23.7 (Coordenadas ortonormais, com uma verificação de Parseval)

Desenvolva $x = (1, 2, 3)$ na base ortonormal do Exercício 23.3,

e_1 = \tfrac{1}{\sqrt2}(1,1,0), \quad e_2 = \tfrac{1}{\sqrt6}(1,-1,2), \quad e_3 = \tfrac{1}{\sqrt3}(-1,1,1).

Nenhum sistema a resolver — três produtos internos:

\langle x, e_1\rangle = \frac{3}{\sqrt2}, \qquad \langle x, e_2\rangle = \frac{1 - 2 + 6}{\sqrt6} = \frac{5}{\sqrt6}, \qquad \langle x, e_3\rangle = \frac{-1 + 2 + 3}{\sqrt3} = \frac{4}{\sqrt3}.

Certificação pela fórmula da norma da proposição:

\frac{9}{2} + \frac{25}{6} + \frac{16}{3} = \frac{27 + 25 + 32}{6} = 14 = \norm{x}^2 = 1 + 4 + 9 .

Esta verificação por soma dos quadrados das coordenadas (uma identidade de Parseval finita) custa segundos e pega erros de sinal e de normalização com quase certeza — torne-a um hábito sempre que calcular um desenvolvimento ortonormal; a sua versão em dimensão infinita, para os coeficientes de Fourier do Exemplo 23.14, é um teorema do volume do terceiro ano de graduação.

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Definição 13.1 Matemática universitária — Graduação 3 · Capítulo 13 — Espaços de Hilbert

Um produto interno é uma aplicação $\langle \cdot,\cdot\rangle \colon H\times H \to K$ , linear na segunda variável, com $\langle y, x\rangle = \overline{\langle x, y\rangle}$ e $\langle x, x\rangle > 0$ para $x \neq 0$ . Ele induz a norma $\norm x = \langle x, x\rangle^{1/2}$ , a desigualdade de Cauchy–Schwarz $\abs{\langle x, y\rangle} \leq \norm x\norm y$ (a demonstração do segundo ano — o discriminante — não muda) e a lei do paralelogramo

\norm{x + y}^2 + \norm{x - y}^2 = 2\norm x^2 + 2\norm y^2 .

Um espaço de Hilbert é um espaço com produto interno completo para essa norma. Exemplos: $\ell^2$ (Problema 8.1) e, o fundamental, $L^2(\mu)$ com $\langle f, g\rangle = \int\bar fg\,\dd\mu$ — completo por Riesz–Fischer (Teorema 12.4); o produto interno é finito por Cauchy–Schwarz ( $=$ Hölder em $p = q = 2$ ).

Exemplos

Exemplo 13.5 (Uma projeção, calculada até o fim)

Em $H = L^2(\intcc01)$ , qual é a melhor aproximação de $f(x) = x^2$ por uma função afim? O subespaço $F = \operatorname{Vect}(1, x)$ é fechado (tem dimensão finita), e $p_F(f) = a + bx$ fica caracterizada pela ortogonalidade do resíduo a $1$ e a $x$ :

\int_0^1(x^2 - a - bx)\,\dd x = 0, \qquad \int_0^1x\,(x^2 - a - bx)\,\dd x = 0,

isto é, $\frac13 = a + \frac b2$ e $\frac14 = \frac a2 + \frac b3$ : $a = -\frac16$ , $b = 1$ . Logo $p_F(x^2) = x - \frac16$ , e o erro é

d(f, F)^2 = \int_0^1\Bigl(x^2 - x + \frac16\Bigr)^2\dd x = \frac1{180}, \qquad d(f, F) = \frac1{6\sqrt5} .

Duas observações que vale internalizar. Primeira: o cálculo não passa de um sistema linear $2\times2$ — as equações normais; para a base monomial, sua matriz $\bigl(\frac1{i+j+1}\bigr)$ é a notoriamente mal condicionada matriz de Hilbert, e ortogonalizar antes (polinômios de Legendre, Problema 13.1) é o remédio. Segunda: a melhor aproximação uniforme de $x^2$ por funções afins é outra ( $x - \frac18$ , por equioscilação): cada norma tem sua própria geometria, e só a hilbertiana responde com um sistema linear.

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Exemplos

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