Wat is inwendig product? — Wiskunde

Definitie 23.1 Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 1 · Hoofdstuk 23 — Euclidische ruimten

Een inwendig product op $E$ is een afbeelding $\langle\cdot,\cdot\rangle \colon E \times E \to \R$ die bilineair, symmetrisch en positief definiet is ( $\langle x, x\rangle > 0$ voor $x \neq 0$ ). Een eindigdimensionale ruimte die zo is uitgerust, heet een euclidische ruimte. De norm van $x$ is $\norm{x} = \sqrt{\langle x, x\rangle}$ , en $d(x, y) = \norm{x - y}$ .

Voorbeelden

Voorbeeld 23.2

Op $\R^n$ : het canonieke product $\langle x, y\rangle = \sum x_i y_i$ . Op $C(\intcc{a}{b})$ : $\langle f, g \rangle = \int_a^b fg$ (de positieve definietheid is Stelling 15.7 (4)). Op $\R_n[X]$ : $\langle P, Q\rangle = \int_0^1 PQ$ , of $\sum_{i} P(x_i)Q(x_i)$ over $n+1$ verschillende punten.

Voorbeeld 23.3 (De hoek tussen twee veeltermen)

Zodra een inwendig product is gekozen, hebben alle twee vectoren ongelijk aan nul een hoek, via $\cos\theta = \frac{\langle x, y\rangle}{\norm x\,\norm y}$ (een geoorloofde cosinus dankzij Cauchy–Schwarz). Voor $X$ en $X^2$ met $\int_0^1$ :

\langle X, X^2\rangle = \frac14, \qquad \norm X = \frac1{\sqrt3}, \qquad \norm{X^2} = \frac1{\sqrt5}, \qquad \cos\theta = \frac{1/4}{1/\sqrt{15}} = \frac{\sqrt{15}}{4} \approx 0.968 :

een hoek van ongeveer $14.5$ graden — op $\intcc{0}{1}$ zijn de grafieken van $x$ en $x^2$ “bijna evenwijdig” in kwadratisch-gemiddelde zin, en daarom laat het verwijderen van die gedeelde richting (Gram–Schmidt, hieronder) alleen de kleine correctie $X^2 - X + \frac16$ over.

Voorbeeld 23.7 (Orthonormale coördinaten, met een Parseval-controle)

Ontwikkel $x = (1, 2, 3)$ in de orthonormale basis van Oefening 23.3,

e_1 = \tfrac{1}{\sqrt2}(1,1,0), \quad e_2 = \tfrac{1}{\sqrt6}(1,-1,2), \quad e_3 = \tfrac{1}{\sqrt3}(-1,1,1).

Er valt geen stelsel op te lossen — drie inwendige producten:

\langle x, e_1\rangle = \frac{3}{\sqrt2}, \qquad \langle x, e_2\rangle = \frac{1 - 2 + 6}{\sqrt6} = \frac{5}{\sqrt6}, \qquad \langle x, e_3\rangle = \frac{-1 + 2 + 3}{\sqrt3} = \frac{4}{\sqrt3}.

Certificering met de normformule van de propositie:

\frac{9}{2} + \frac{25}{6} + \frac{16}{3} = \frac{27 + 25 + 32}{6} = 14 = \norm{x}^2 = 1 + 4 + 9 .

Deze controle met de som van de kwadraten van de coördinaten (een eindige identiteit van Parseval) kost seconden en vangt teken- en normalisatiefouten vrijwel zeker op — maak er een gewoonte van telkens wanneer een orthonormale ontwikkeling wordt berekend; haar oneindigdimensionale versie, voor de fouriercoëfficiënten van Voorbeeld 23.14, is een stelling van het volume van bachelorjaar 3.

Lees in het hoofdstuk →

Definitie 13.1 Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 3 · Hoofdstuk 13 — Hilbertruimten

Een inwendig product is een afbeelding $\langle \cdot,\cdot\rangle \colon H\times H \to K$ die lineair is in de tweede veranderlijke, met $\langle y, x\rangle = \overline{\langle x, y\rangle}$ en $\langle x, x\rangle > 0$ voor $x \neq 0$ . Ze induceert de norm $\norm x = \langle x, x\rangle^{1/2}$ , de ongelijkheid van Cauchy–Schwarz $\abs{\langle x, y\rangle} \leq \norm x\norm y$ (het bewijs uit het volume van bachelorjaar 2 — de discriminant — blijft ongewijzigd) en de parallellogramwet

\norm{x + y}^2 + \norm{x - y}^2 = 2\norm x^2 + 2\norm y^2 .

Een hilbertruimte is een ruimte met inwendig product die volledig is voor deze norm. Voorbeelden: $\ell^2$ (Probleem 8.1) en, het fundamentele geval, $L^2(\mu)$ met $\langle f, g\rangle = \int\bar fg\,\dd\mu$ — volledig volgens Riesz–Fischer (Stelling 12.4); het inwendig product is eindig volgens Cauchy–Schwarz ( $=$ Hölder bij $p = q = 2$ ).

Voorbeelden

Voorbeeld 13.5 (Een projectie, tot het einde berekend)

Wat is in $H = L^2(\intcc01)$ de beste benadering van $f(x) = x^2$ door een affiene functie? De deelruimte $F = \operatorname{Vect}(1, x)$ is gesloten (eindigdimensionaal), en $p_F(f) = a + bx$ wordt gekarakteriseerd door de orthogonaliteit van het residu op $1$ en op $x$ :

\int_0^1(x^2 - a - bx)\,\dd x = 0, \qquad \int_0^1x\,(x^2 - a - bx)\,\dd x = 0,

dat wil zeggen $\frac13 = a + \frac b2$ en $\frac14 = \frac a2 + \frac b3$ : dus $a = -\frac16$ en $b = 1$ . Bijgevolg is $p_F(x^2) = x - \frac16$ , en de fout is

d(f, F)^2 = \int_0^1\Bigl(x^2 - x + \frac16\Bigr)^2\dd x = \frac1{180}, \qquad d(f, F) = \frac1{6\sqrt5} .

Twee opmerkingen die het onthouden waard zijn. Ten eerste is de berekening niets anders dan een $2\times2$ -stelsel — de normaalvergelijkingen; voor de monoombasis is hun matrix $\bigl(\frac1{i+j+1}\bigr)$ de berucht slecht geconditioneerde hilbertmatrix, en eerst orthogonaliseren (legendreveeltermen, Probleem 13.1) is het geneesmiddel. Ten tweede is de beste uniforme benadering van $x^2$ door affiene functies een andere ( $x - \frac18$ , wegens de gelijkmatige oscillatie): elke norm heeft haar eigen meetkunde, en alleen de hilbertiaanse antwoordt met een lineair stelsel.

Lees in het hoofdstuk →

Voorbeelden

Voorbeelden

Verwante begrippen