¿Qué es producto escalar? — Matemáticas

Definición 23.1 Matemáticas universitarias — Grado 1 · Capítulo 23 — Espacios euclídeos

Un producto escalar en $E$ es una aplicación $\langle\cdot,\cdot\rangle \colon E \times E \to \R$ bilineal, simétrica y definida positiva ( $\langle x, x\rangle > 0$ para $x \neq 0$ ). Un espacio de dimensión finita así equipado es un espacio euclídeo. La norma de $x$ es $\norm{x} = \sqrt{\langle x, x\rangle}$ , y $d(x, y) = \norm{x - y}$ .

Ejemplos

Ejemplo 23.2

En $\R^n$ : el producto canónico $\langle x, y\rangle = \sum x_i y_i$ . En $C(\intcc{a}{b})$ : $\langle f, g \rangle = \int_a^b fg$ (que sea definido positivo es el Teorema 15.7 (4)). En $\R_n[X]$ : $\langle P, Q\rangle = \int_0^1 PQ$ , o bien $\sum_{i} P(x_i)Q(x_i)$ sobre $n+1$ puntos distintos.

Ejemplo 23.3 (El ángulo entre dos polinomios)

Una vez elegido un producto escalar, cualesquiera dos vectores no nulos tienen un ángulo, vía $\cos\theta = \frac{\langle x, y\rangle}{\norm x\,\norm y}$ (un coseno legítimo por Cauchy–Schwarz). Para $X$ y $X^2$ con $\int_0^1$ :

\langle X, X^2\rangle = \frac14, \qquad \norm X = \frac1{\sqrt3}, \qquad \norm{X^2} = \frac1{\sqrt5}, \qquad \cos\theta = \frac{1/4}{1/\sqrt{15}} = \frac{\sqrt{15}}{4} \approx 0.968 :

un ángulo de unos $14.5$ grados — en $\intcc{0}{1}$ , las gráficas de $x$ y de $x^2$ son «casi paralelas» en el sentido de la media cuadrática, y por eso quitar esa dirección compartida (Gram–Schmidt, más abajo) deja solo la pequeña corrección $X^2 - X + \frac16$ .

Ejemplo 23.7 (Coordenadas ortonormales, con comprobación de Parseval)

Desarróllese $x = (1, 2, 3)$ en la base ortonormal del Ejercicio 23.3,

e_1 = \tfrac{1}{\sqrt2}(1,1,0), \quad e_2 = \tfrac{1}{\sqrt6}(1,-1,2), \quad e_3 = \tfrac{1}{\sqrt3}(-1,1,1).

Ningún sistema que resolver — tres productos escalares:

\langle x, e_1\rangle = \frac{3}{\sqrt2}, \qquad \langle x, e_2\rangle = \frac{1 - 2 + 6}{\sqrt6} = \frac{5}{\sqrt6}, \qquad \langle x, e_3\rangle = \frac{-1 + 2 + 3}{\sqrt3} = \frac{4}{\sqrt3}.

Certificación con la fórmula de la norma de la proposición:

\frac{9}{2} + \frac{25}{6} + \frac{16}{3} = \frac{27 + 25 + 32}{6} = 14 = \norm{x}^2 = 1 + 4 + 9 .

Esta comprobación de la suma de los cuadrados de las coordenadas (una identidad de Parseval finita) cuesta segundos y atrapa con casi total seguridad los errores de signo y de normalización — conviértase en costumbre siempre que se calcule un desarrollo ortonormal; su versión en dimensión infinita, para los coeficientes de Fourier del Ejemplo 23.14, es un teorema del volumen del tercer año.

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Definición 13.1 Matemáticas universitarias — Grado 3 · Capítulo 13 — Espacios de Hilbert

Un producto escalar es una aplicación $\langle \cdot,\cdot\rangle \colon H\times H \to K$ , lineal en la segunda variable, con $\langle y, x\rangle = \overline{\langle x, y\rangle}$ y $\langle x, x\rangle > 0$ para $x \neq 0$ . Induce la norma $\norm x = \langle x, x\rangle^{1/2}$ , la desigualdad de Cauchy–Schwarz $\abs{\langle x, y\rangle} \leq \norm x\norm y$ (la demostración de segundo año — el discriminante — no cambia) y la ley del paralelogramo

\norm{x + y}^2 + \norm{x - y}^2 = 2\norm x^2 + 2\norm y^2 .

Un espacio de Hilbert es un espacio con producto escalar completo para esa norma. Ejemplos: $\ell^2$ (el Problema 8.1) y, el fundamental, $L^2(\mu)$ con $\langle f, g\rangle = \int\bar fg\,\dd\mu$ — completo por Riesz–Fischer (el Teorema 12.4); el producto escalar es finito por Cauchy–Schwarz ( $=$ Hölder en $p = q = 2$ ).

Ejemplos

Ejemplo 13.5 (Una proyección, calculada hasta el final)

En $H = L^2(\intcc01)$ , ¿cuál es la mejor aproximación de $f(x) = x^2$ por una función afín? El subespacio $F = \operatorname{Vect}(1, x)$ es cerrado (de dimensión finita), y $p_F(f) = a + bx$ queda caracterizada por la ortogonalidad del residuo a $1$ y a $x$ :

\int_0^1(x^2 - a - bx)\,\dd x = 0, \qquad \int_0^1x\,(x^2 - a - bx)\,\dd x = 0,

es decir, $\frac13 = a + \frac b2$ y $\frac14 = \frac a2 + \frac b3$ : $a = -\frac16$ , $b = 1$ . Luego $p_F(x^2) = x - \frac16$ , y el error es

d(f, F)^2 = \int_0^1\Bigl(x^2 - x + \frac16\Bigr)^2\dd x = \frac1{180}, \qquad d(f, F) = \frac1{6\sqrt5} .

Dos observaciones que conviene interiorizar. Primera: el cálculo no es más que un sistema lineal $2\times2$ — las ecuaciones normales; para la base de los monomios, su matriz $\bigl(\frac1{i+j+1}\bigr)$ es la célebremente mal condicionada matriz de Hilbert, y ortogonalizar primero (polinomios de Legendre, el Problema 13.1) es el remedio. Segunda: la mejor aproximación uniforme de $x^2$ por funciones afines es otra ( $x - \frac18$ , por equioscilación): cada norma tiene su propia geometría, y solo la hilbertiana responde con un sistema lineal.

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Ejemplos

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