Misalkan P(x) sifat dari suatu unsur x pada himpunan E.
- ∀x∈E, P(x) (“untuk setiap x di E, P(x)”) benar bila setiap unsur E memenuhi P;
- ∃x∈E, P(x) (“terdapat x di E sedemikian sehingga P(x)”) benar bila sekurang-kurangnya satu unsur E memenuhi P.
Kita tulis ∃! untuk “terdapat dengan tunggal”.
উদাহরণ
Contoh 1.6 (Menegasikan kalimat matematis sehari-hari)
Misalkan f:R→R. Kalimat “f naik” berbunyi
∀x∈R, ∀y∈R,x≤y⟹f(x)≤f(y),
dan negasinya, menurut Proposisi 1.5 beserta kaidah ¬(P⟹Q)⟺P∧¬Q:
∃x∈R, ∃y∈R,x≤y dan f(x)>f(y):
satu pasang saksi sudah cukup. Demikian pula “f terbatas” berarti ∃M∈R, ∀x∈R, ∣f(x)∣≤M, dengan negasi
∀M∈R, ∃x∈R,∣f(x)∣>M:
berapa pun batas yang diajukan, ada titik yang melampauinya. Inti gagasannya: negasi yang benar tidak pernah memuat “bukan” yang dikenakan pada blok berkuantor — ia adalah pernyataan positif yang baru, dengan peran yang bertukar: kini kita yang menghasilkan saksi, padahal tadinya kita yang menerimanya.
Contoh 1.7 (Urutan kuantor)
Urutan kuantor yang berlainan jenis itu penting:
∀x∈R, ∃y∈R, y>xbenar (ambil y=x+1),
∃y∈R, ∀x∈R, y>xsalah (tak ada bilangan real yang melampaui semua bilangan real).
Pada pernyataan pertama y boleh bergantung pada x; pada yang kedua, satu y harus berlaku untuk semua x. Sebaliknya, dua kuantor yang sejenis selalu dapat dipertukarkan.
Contoh 1.8 (Membaca definisi dengan tiga kuantor)
Kalimat “barisan (un) konvergen ke ℓ” akan dituliskan pada Bab 11 sebagai
∀ε>0, ∃N∈N, ∀n≥N,∣un−ℓ∣≤ε.
Negasinya, dengan Proposisi 1.5 yang diterapkan tiga kali, adalah
∃ε>0, ∀N∈N, ∃n≥N,∣un−ℓ∣>ε.
Kemampuan menegasikan kalimat semacam itu secara mekanis, tanpa memikirkan artinya, adalah keterampilan yang sesungguhnya: ia memisahkan kerja logika dari kerja matematika.
Coach