Matematika Sekolah Menengah Atas · Grades 10–12

22Turunan dan Kecembungan

Turunan mengukur laju perubahan sesaat sebuah fungsi; turunan itu adalah gradien garis singgung grafiknya. Bab ini meninjau ulang dan memperluas aturan penurunan, mengaitkan tanda $f'$ dengan variasi $f$ , lalu memperkenalkan kecembungan, yang dikendalikan oleh turunan kedua.

22.1 Turunan

Definisi 22.1 (Turunan di sebuah titik)

Misalkan $f$ terdefinisi pada interval $I$ dan $a \in I$ . Fungsi $f$ disebut dapat diturunkan di $a$ bila hasil bagi selisih

\frac{f(a+h) - f(a)}{h}

mempunyai limit berhingga ketika $h \to 0$ . Limit itu disebut turunan $f$ di $a$ dan ditulis $f'(a)$ . Jika $f$ dapat diturunkan di setiap titik $I$ , fungsi $f' \colon x \mapsto f'(x)$ disebut turunan $f$ .

Definisi 22.2 (Garis singgung)

Jika $f$ dapat diturunkan di $a$ , garis singgung kurva $f$ di titik $(a, f(a))$ adalah garis dengan persamaan

y = f(a) + f'(a)(x - a).

Ketika h mengecil, garis sekan yang melalui A = (a, f(a)) dan (a+h, f(a+h)) (jingga) berputar menuju garis singgung di A (merah): gradiennya f(a+h)-f(a)/h menuju f'(a). — Ketika $h$ mengecil, garis sekan yang melalui $A = (a, f(a))$ dan $(a+h, f(a+h))$ (jingga) berputar menuju garis singgung di $A$ (merah): gradiennya $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ menuju $f'(a)$ .

Proposisi 22.3

Fungsi yang dapat diturunkan di $a$ bersifat kontinu di $a$ . Kebalikannya salah.

Bukti. Untuk $h \neq 0$ yang kecil, $f(a+h) - f(a) = h \cdot \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ . Ketika $h \to 0$ , ruas kanannya menuju $0 \times f'(a) = 0$ , sehingga $f(a+h) \to f(a)$ . Untuk kebalikannya, $x \mapsto \abs{x}$ kontinu di $0$ , tetapi hasil bagi selisihnya di $0$ sama dengan $\frac{\abs h}{h} = \pm 1$ bergantung pada tanda $h$ , dan tidak berlimit. ∎

22.1.1 Aturan penurunan

Proposisi 22.4 (Operasi)

Misalkan $u, v$ dapat diturunkan pada $I$ dan $\lambda \in \R$ . Maka $u + v$ , $\lambda u$ , $uv$ dapat diturunkan pada $I$ , demikian pula $\frac{u}{v}$ di tempat $v \neq 0$ , dan

(u+v)' = u' + v', \quad (\lambda u)' = \lambda u', \quad (uv)' = u'v + uv', \quad \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}.

Bukti aturan hasil kali. Tulislah hasil bagi selisih $uv$ di $a$ sebagai

\frac{u(a+h)v(a+h) - u(a)v(a)}{h} = \frac{u(a+h) - u(a)}{h}\,v(a+h) + u(a)\,\frac{v(a+h) - v(a)}{h}.

Ketika $h \to 0$ , $v(a+h) \to v(a)$ menurut kekontinuannya (Proposisi 22.3), sehingga ruas kanannya menuju $u'(a)v(a) + u(a)v'(a)$ . Aturan lainnya dibuktikan secara serupa. ∎

Teorema 22.5 (Aturan rantai)

Misalkan $u$ dapat diturunkan pada $I$ dengan nilai di $J$ , dan $g$ dapat diturunkan pada $J$ . Maka $g \circ u$ dapat diturunkan pada $I$ dan

(g \circ u)' = (g' \circ u) \cdot u' .

Khususnya, untuk $u$ yang dapat diturunkan:

(u^n)' = n\,u'\,u^{n-1} \ (n \in \Z), \qquad \left(\sqrt{u}\right)' = \frac{u'}{2\sqrt{u}} \ (u > 0), \qquad \left(\eu^{u}\right)' = u'\,\eu^{u}.

Sketsa bukti. Ketika $u(a+h) \neq u(a)$ untuk $h$ yang kecil, tulislah

\frac{g(u(a+h)) - g(u(a))}{h} = \frac{g(u(a+h)) - g(u(a))}{u(a+h) - u(a)} \cdot \frac{u(a+h) - u(a)}{h}.

Ketika $h \to 0$ , $u(a+h) \to u(a)$ , sehingga faktor pertamanya menuju $g'(u(a))$ dan yang kedua menuju $u'(a)$ . (Bukti yang lengkap harus menangani kasus $u(a+h) = u(a)$ untuk $h$ yang sekecil-kecilnya; butir teknis ini digarap di universitas.) ∎

Contoh 22.6

Turunan yang lazim, yang berlaku pada daerah asal alaminya:

(x^n)' = nx^{n-1}, \quad \left(\frac{1}{x}\right)' = -\frac{1}{x^2}, \quad (\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}, \quad (\cos x)' = -\sin x, \quad (\sin x)' = \cos x .

Yang pertama dibuktikan lewat induksi dari aturan hasil kali, dan dua yang terakhir pada Bab 24.

22.2 Variasi dan nilai ekstrem

Teorema 22.7 (Tanda turunan dan variasi)

Misalkan $f$ dapat diturunkan pada sebuah interval $I$ .

$f$ naik pada $I$ jika dan hanya jika $f' \geq 0$ pada $I$ .
$f$ turun pada $I$ jika dan hanya jika $f' \leq 0$ pada $I$ .
Jika $f' > 0$ pada $I$ kecuali di berhingga banyak titik tempat turunannya lenyap, maka $f$ tegas naik pada $I$ .

Bukti sebagian. Jika $f$ naik, setiap hasil bagi selisihnya $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ bernilai $\geq 0$ , dan menerapkan limitnya memberi $f'(a) \geq 0$ . Implikasi kebalikannya bersandar pada teorema nilai rata-rata, yang dibuktikan di universitas; keduanya diterima tanpa bukti pada tingkat ini. ∎

Definisi 22.8 (Nilai ekstrem lokal)

$f$ mempunyai maksimum lokal di $a$ bila $f(x) \leq f(a)$ untuk semua $x$ di dekat $a$ ; minimum lokal didefinisikan secara setangkup.

Proposisi 22.9 (Syarat orde satu)

Jika $f$ dapat diturunkan pada interval terbuka $I$ dan mempunyai nilai ekstrem lokal di $a \in I$ , maka $f'(a) = 0$ . Kebalikannya salah ( $f(x) = x^3$ di $a = 0$ ).

Bukti. Katakan $a$ sebuah maksimum lokal. Untuk $h > 0$ yang kecil, $\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \leq 0$ , sehingga membiarkan $h \to 0^+$ memberi $f'(a) \leq 0$ ; untuk $h < 0$ hasil baginya $\geq 0$ , yang memberi $f'(a) \geq 0$ . Jadi $f'(a) = 0$ . ∎

Pada nilai ekstrem lokal di dalam sebuah interval terbuka, garis singgungnya (jingga) mendatar: f'(a) = 0. Di sini f(x) = x3 - 3x, dengan maksimum lokal di -1 dan minimum lokal di 1. — Pada nilai ekstrem lokal di dalam sebuah interval terbuka, garis singgungnya (jingga) mendatar: $f'(a) = 0$ . Di sini $f(x) = x^3 - 3x$ , dengan maksimum lokal di $-1$ dan minimum lokal di $1$ .

Metode 22.10 (Tabel variasi)

Untuk menelaah sebuah fungsi $f$ : tentukan daerah asalnya dan limitnya di batasnya; hitunglah $f'$ lalu faktorkan; tentukan tanda $f'$ pada setiap subinterval; catat semuanya dalam sebuah tabel variasi, dengan menandai nilai ekstremnya; lalu simpulkan banyaknya penyelesaian $f(x) = k$ dengan teorema bijeksi (Teorema 21.15).

22.3 Kecembungan

Definisi 22.11 (Fungsi cembung)

Sebuah fungsi $f$ pada interval $I$ disebut cembung pada $I$ bila setiap tali busur grafiknya terletak di atas grafiknya: untuk semua $a, b \in I$ dan $t \in \intcc{0}{1}$ ,

f\bigl((1-t)a + t b\bigr) \leq (1-t) f(a) + t f(b).

Fungsi itu disebut cekung bila ketaksamaannya terbalik ( $-f$ cembung).

Sebuah fungsi cembung: setiap tali busurnya (merah) terletak di atas grafiknya, dan grafiknya terletak di atas setiap garis singgungnya (jingga). Ruas putus-putusnya memperlihatkan celah antara f ((1-t)a+tb ) dan (1-t)f(a)+tf(b). — Sebuah fungsi cembung: setiap tali busurnya (merah) terletak di atas grafiknya, dan grafiknya terletak di atas setiap garis singgungnya (jingga). Ruas putus-putusnya memperlihatkan celah antara $f\bigl((1-t)a+tb\bigr)$ dan $(1-t)f(a)+tf(b)$ .

Teorema 22.12 (Kecembungan dan turunan)

Misalkan $f$ dapat diturunkan pada interval $I$ . Berikut ini setara:

$f$ cembung pada $I$ ;
$f'$ naik pada $I$ ;
grafik $f$ terletak di atas setiap garis singgungnya.

Jika $f$ dapat diturunkan dua kali, semua itu juga setara dengan $f'' \geq 0$ pada $I$ .

Bukti (2) $\Rightarrow$ (3). Tetapkan $a \in I$ lalu ambil $g(x) = f(x) - f(a) - f'(a)(x-a)$ , yaitu celah antara kurvanya dan garis singgung di $a$ . Maka $g$ dapat diturunkan dan $g'(x) = f'(x) - f'(a)$ . Jika $f'$ naik, maka $g' \leq 0$ pada $I \cap \intoc{-\infty}{a}$ dan $g' \geq 0$ pada $I \cap \intco{a}{+\infty}$ : jadi $g$ turun sebelum $a$ lalu naik sesudahnya, sehingga $g$ mencapai minimumnya $g(a) = 0$ , dan karena itu $g \geq 0$ . Implikasi selebihnya diterima tanpa bukti pada tingkat ini; kesetaraannya dengan $f'' \geq 0$ menyusul dari Teorema 22.7 yang diterapkan pada $f'$ . ∎

Definisi 22.13 (Titik belok)

Titik tempat kurva $f$ itu memotong garis singgungnya disebut titik belok. Untuk $f$ yang dapat diturunkan dua kali, titik beloknya adalah titik tempat $f''$ berganti tanda.

Contoh 22.14

$f(x) = x^3$ mempunyai $f''(x) = 6x$ : jadi $f$ cekung pada $\intoc{-\infty}{0}$ , cembung pada $\intco{0}{+\infty}$ , dengan sebuah titik belok di titik asal, tempat kurvanya memotong garis singgungnya (sumbu $x$ ).

Titik belok x x3 di titik asal: kurvanya memotong garis singgungnya (jingga), cekung di kiri, cembung di kanan. — Titik belok $x \mapsto x^3$ di titik asal: kurvanya memotong garis singgungnya (jingga), cekung di kiri, cembung di kanan.

Contoh 22.15 (Ketaksamaan dari kecembungan)

Fungsi eksponen cembung pada $\R$ (turunan keduanya adalah dirinya sendiri, yang positif). Garis singgungnya di $0$ adalah $y = 1 + x$ , sehingga

\eu^x \geq 1 + x \quad \text{untuk semua } x \in \R .

Ketaksamaan garis singgung semacam ini adalah hasil baku kecembungan.

Metode 22.16 (Memakai kecembungan)

Untuk membuktikan ketaksamaan $f(x) \geq ax + b$ : kenali garisnya sebagai garis singgung sebuah $f$ yang cembung lalu panggillah Teorema 22.12(3).
Untuk menempatkan titik belok: selesaikan $f''(x) = 0$ lalu periksa bahwa $f''$ berganti tanda di sana.
Pada sebuah tabel variasi, kecembungan mempertajam sketsa kurvanya (ke arah mana kurvanya melengkung).

22.4 Latihan

Latihan 22.1 ★

Turunkan fungsi berikut pada daerah asalnya:

f(x) = x^3 - 5x + 2, \quad g(x) = \frac{x}{x^2+1}, \quad h(x) = (2x+1)^5, \quad k(x) = \sqrt{x^2 + 1}.

Solusi

Solusi Latihan 22.1.

$f'(x) = 3x^2 - 5$ .

Aturan hasil bagi: $g'(x) = \dfrac{(x^2+1) - x\cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \dfrac{1 - x^2}{(x^2+1)^2}$ .

Aturan rantai dengan $u = 2x+1$ : $h'(x) = 5 \cdot 2 \cdot (2x+1)^4 = 10(2x+1)^4$ .

Aturan rantai dengan $u = x^2 + 1$ : $k'(x) = \dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+1}} = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}$ .

Latihan 22.2 ★

Berikan persamaan garis singgung kurva $f(x) = x^2 - 3x + 1$ di titik yang berabsis $a = 2$ , lalu tentukan kedudukan kurvanya terhadap garis singgung itu.

Solusi

Solusi Latihan 22.2.

$f'(x) = 2x - 3$ , sehingga $f(2) = -1$ dan $f'(2) = 1$ : jadi garis singgungnya $y = -1 + (x - 2) = x - 3$ . Celahnya adalah

f(x) - (x - 3) = x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2 \geq 0 ,

sehingga kurvanya terletak di atas garis singgungnya di mana-mana, dan hanya menyentuhnya di $x = 2$ (seperti diharapkan: $f$ cembung).

Latihan 22.3 ★

Dengan memakai definisi turunan, hitunglah

\lim_{x \to 0} \frac{(1+x)^{100} - 1}{x} \qquad\text{dan}\qquad \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{4+h} - 2}{h}.

Solusi

Solusi Latihan 22.3.

Keduanya adalah hasil bagi selisih. Dengan $f(x) = (1+x)^{100}$ di $0$ : $f'(x) = 100(1+x)^{99}$ , sehingga limitnya $f'(0) = 100$ . Dengan $g(x) = \sqrt{x}$ di $4$ : $g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ , sehingga limitnya $g'(4) = \frac14$ .

Latihan 22.4 ★★

Telaahlah fungsi $f(x) = \dfrac{x^2 + 3}{x - 1}$ pada daerah asalnya: limit, turunan, tabel variasi, dan nilai ekstrem lokalnya.

Solusi

Solusi Latihan 22.4.

Daerah asalnya $\R \setminus \{1\}$ . Limitnya: di $\pm\infty$ , $f(x) \sim x \to \pm\infty$ ; di $1^\pm$ , pembilangnya $\to 4 > 0$ dan penyebutnya $\to 0^\pm$ , sehingga $f \to \pm\infty$ ; jadi garis $x = 1$ adalah asimtot tegak.

f'(x) = \frac{2x(x-1) - (x^2+3)}{(x-1)^2} = \frac{x^2 - 2x - 3}{(x-1)^2} = \frac{(x-3)(x+1)}{(x-1)^2}.

Jadi $f' > 0$ pada $\intoo{-\infty}{-1}$ dan $\intoo{3}{+\infty}$ , serta $f' < 0$ pada $\intoo{-1}{1}$ dan $\intoo{1}{3}$ . Fungsi itu naik sampai maksimum lokal $f(-1) = -2$ , turun ke $-\infty$ , melompat ke $+\infty$ setelah asimtotnya, turun sampai minimum lokal $f(3) = 6$ , lalu naik.

Latihan 22.5 ★★

Sebuah kotak tanpa tutup dibuat dari lembaran karton persegi bersisi $30\,$ cm dengan memotong persegi bersisi $x$ yang sama dari pojoknya lalu melipat sisinya ke atas. Tentukan $x$ yang memaksimumkan volume kotaknya.

Solusi

Solusi Latihan 22.5.

Untuk $x \in \intoo{0}{15}$ , kotaknya beralas persegi bersisi $30 - 2x$ dan bertinggi $x$ , sehingga

V(x) = x(30 - 2x)^2 .

$V'(x) = (30-2x)^2 + x \cdot 2(30-2x)(-2) = (30-2x)(30 - 2x - 4x) = (30-2x)(30-6x)$ . Pada $\intoo{0}{15}$ berlaku $30 - 2x > 0$ , sehingga $V'$ bertanda sama dengan $30 - 6x$ : positif sebelum $x = 5$ , negatif sesudahnya. Volumenya maksimum untuk $x = 5$ cm, yaitu $V(5) = 5 \times 20^2 = 2000\ \text{cm}^3$ .

Latihan 22.6 ★★

Misalkan $f(x) = x^4 - 4x^3 + 10$ .

Hitunglah $f''$ lalu tentukan interval kecembungan dan titik belok $f$ .
Tunjukkan bahwa garis singgung di titik belok yang berabsis $2$ memotong kurvanya di sana.

Solusi

Solusi Latihan 22.6.

1. $f'(x) = 4x^3 - 12x^2$ dan $f''(x) = 12x^2 - 24x = 12x(x-2)$ . Jadi $f'' > 0$ pada $\intoo{-\infty}{0}$ dan pada $\intoo{2}{+\infty}$ (cembung), serta $f'' < 0$ pada $\intoo{0}{2}$ (cekung). $f''$ berganti tanda di $0$ dan di $2$ : keduanya titik belok.

2. Di $a = 2$ : $f(2) = 16 - 32 + 10 = -6$ , $f'(2) = 32 - 48 = -16$ , sehingga garis singgungnya $y = -6 - 16(x-2) = -16x + 26$ . Celahnya adalah

g(x) = f(x) + 16x - 26 = x^4 - 4x^3 + 16x - 16 .

Karena $g(2) = g'(2) = g''(2) = 0$ , maka $(x-2)^3$ membagi $g$ ; pembagiannya memberi $g(x) = (x-2)^3(x+2)$ . Di dekat $x = 2$ berlaku $x + 2 > 0$ , sehingga $g$ bertanda sama dengan $(x-2)^3$ : negatif sebelum $2$ , positif sesudahnya. Jadi kurvanya memotong garis singgungnya: $2$ memang sebuah titik belok.

Latihan 22.7 ★★

Dengan sebuah ketaksamaan garis singgung, tunjukkan bahwa untuk semua $x > 0$ ,

\sqrt{x} \leq \frac{x + 1}{2},

lalu kenali kapan kesamaannya berlaku. (Petunjuk: akar kuadrat bersifat cekung.)

Solusi

Solusi Latihan 22.7.

Fungsi $f(x) = \sqrt{x}$ memenuhi $f''(x) = -\frac{1}{4}x^{-3/2} < 0$ pada $\intoo{0}{+\infty}$ : jadi fungsi itu cekung, sehingga grafiknya terletak di bawah setiap garis singgungnya. Garis singgungnya di $a = 1$ adalah

y = f(1) + f'(1)(x - 1) = 1 + \tfrac12 (x-1) = \frac{x+1}{2},

sehingga $\sqrt{x} \leq \frac{x+1}{2}$ untuk semua $x > 0$ . Kesamaannya berarti kurvanya menyentuh garis singgungnya, dan itu hanya terjadi di titik singgungnya $x = 1$ . (Setara dengan: $\left(\sqrt x - 1\right)^2 \geq 0$ .)

Latihan 22.8 ★★★

Misalkan $f$ cembung dan dapat diturunkan pada $\R$ , dan andaikan $f'$ lenyap di suatu titik $a$ . Tunjukkan bahwa $f(a)$ adalah minimum global $f$ pada $\R$ .

Solusi

Solusi Latihan 22.8.

Menurut Teorema 22.12, grafik fungsi cembung yang dapat diturunkan terletak di atas setiap garis singgungnya. Garis singgung di $a$ mendatar ( $f'(a) = 0$ ), dengan persamaan $y = f(a)$ . Jadi $f(x) \geq f(a)$ untuk semua $x \in \R$ : yaitu $f(a)$ adalah minimum globalnya.

Latihan 22.9 ★★★

Tunjukkan bahwa di antara semua persegi panjang berkeliling tetap $p$ , persegi mempunyai luas terbesar. Lalu tunjukkan bahwa di antara semua persegi panjang berluas tetap $A$ , persegi mempunyai keliling terkecil, lalu jelaskan bagaimana kedua pernyataan itu berhubungan.

Solusi

Solusi Latihan 22.9.

Keliling tetap. Sebuah persegi panjang bersisi $x$ dan $\frac{p}{2} - x$ ( $0 < x < \frac p2$ ) berluas $S(x) = x\left(\frac p2 - x\right)$ . Lalu $S'(x) = \frac p2 - 2x$ lenyap di $x = \frac p4$ , positif sebelumnya dan negatif sesudahnya: jadi maksimumnya di $x = \frac{p}{4}$ , tempat kedua sisinya sama dengan $\frac p4$ — yaitu sebuah persegi.

Luas tetap. Sisi $x$ dan $\frac Ax$ memberi keliling $P(x) = 2\left(x + \frac Ax\right)$ , dengan $P'(x) = 2\left(1 - \frac{A}{x^2}\right)$ , yang negatif untuk $x < \sqrt A$ dan positif sesudahnya: jadi minimumnya di $x = \sqrt{A}$ , lagi-lagi sebuah persegi.

Hubungannya. Kedua pernyataan itu saling dual. Andaikan sebuah persegi panjang yang bukan persegi meminimumkan kelilingnya pada luas tetap $A$ ; maka persegi dengan keliling yang sama akan berluas $> A$ menurut pernyataan pertamanya, dan menyusutkannya secara sebangun sampai berluas $A$ akan mengurangi kelilingnya secara tegas — yang bertentangan dengan keminimalannya. Jadi masing-masing pernyataan mengakibatkan yang lain.

22.5 Soal: Perhitungan sang penjaga pantai

Soal 22.1

Soal akhir pekan — jalur penyelamatan tercepat menuruti hukum Snell tentang cahaya, kecembungan mengesahkan setiap nilai optimum, dan kaleng minuman yang ideal setinggi lebarnya persis

Seorang penjaga pantai melihat perenang dalam kesulitan — menyerong di sepanjang pantai, jauh di air. Berlari lebih cepat daripada berenang: jadi garis lurus bukanlah rute tercepat. Rute yang meminimumkan waktu membelok di garis pantai, dan hukum pembelokannya persis sama dengan hukum pembiasan cahaya yang memasuki air: alam pun ikut menurunkan. Soal ini melatih aturan rantai (Teorema 22.5), menjalankan penyelamatannya, memanen ketaksamaan dari kecembungan (Teorema 22.12), lalu merancang sebuah kaleng.

Bagian I — Kefasihan dengan aturan rantai.

Turunkan: $\left(3x^2 + 1\right)^5$ ; $\sqrt{x^2 + 9}$ ; $\dfrac{1}{x^2 + 1}$ .
Berikan garis singgung $y = \sqrt{x^2 + 9}$ di $x = 4$ .
Susunlah tabel variasi $f(x) = \dfrac{x}{x^2 + 1}$ pada $\R$ (lengkap dengan nilai ekstremnya).
Untuk $g(x) = x^3 - 3x^2 + 4$ : tabel variasinya dan tabel kecembungannya ( $g''$ ), beserta titik beloknya (Definisi 22.13).
Hitunglah garis singgung $g$ di titik beloknya, lalu tunjukkan bahwa $g(x) - (\text{garis singgungnya}) = (x - 1)^3$ : apa yang dikatakan pergantian tandanya tentang cara garis singgung itu bertemu kurvanya di sebuah titik belok?

Bagian II — Penyelamatannya. Garis pantainya di sepanjang sumbu $x$ ; penjaga pantai berdiri di pasir pada $A(0, 30)$ , perenangnya menunggu di $B(40, -20)$ (dalam meter). Sang penjaga berlari $5$ m/s di pasir, berenang $2$ m/s, dan masuk ke air di sebuah titik $(x, 0)$ pilihannya.

Modelnya: nyatakan waktu penyelamatan total $T(x)$ , lalu katakan mengapa hanya $x \in \intcc{0}{40}$ yang layak dipertimbangkan.
Turunkan $T$ (aturan rantai bekerja — dua kali).
Misalkan $\theta_1$ sudut kaki lariannya terhadap garis tegak lurus pantainya, dan $\theta_2$ sudut kaki renangnya. Tunjukkan bahwa $\sin\theta_1 = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 900}}$ dan bahwa syarat $T'(x) = 0$ berbunyi

$\frac{\sin\theta_1}{5} = \frac{\sin\theta_2}{2}$

— yaitu hukum Snell, dengan kedua laju itu sebagai ganti laju cahaya di udara dan di air.
Ruas garis lurus $[AB]$ memotong pantainya di $x = 24$ . Hitunglah $T(24)$ , $T(40)$ (berlari sepanjang pantai, lalu berenang lurus ke luar) dan $T(0)$ : apakah garis lurus geometris itu yang tercepat? Apakah salah satu strategi ekstremnya yang tercepat?
Tempatkan titik masuk yang optimum lewat dikotomi pada $T'$ (nilainya $\approx 33.7$ m): berikan $x^*$ sampai satuan meter dan waktu rekornya $T(x^*)$ sampai sepersepuluh detik. Berapa banyak waktu yang dihemat belokan optimum itu dibandingkan garis lurusnya?
Mengapa titik kritisnya merupakan minimum global? (Setiap suku $T$ cembung — terimalah bahwa jumlah fungsi cembung bersifat cembung — lalu terapkan Latihan 22.8.)
Asas Fermat menyatakan bahwa cahaya selalu menempuh jalur dengan waktu terkecil. Simpulkan mengapa seberkas cahaya membelok tepat di permukaan ketika memasuki air (tempat cahaya lebih lambat), lalu sebutkan pengamatan sehari-hari yang dijelaskannya tentang sebatang pensil di dalam gelas berisi air.

Bagian III — Panen kecembungan.

Tunjukkan bahwa $x \mapsto x^2$ cembung, lalu buktikan ketaksamaan titik tengahnya $\left(\frac{a + b}{2}\right)^2 \leq \frac{a^2 + b^2}{2}$ dua kali: sekali dari kecembungannya, sekali dengan menjabarkan $(a - b)^2 \geq 0$ .
Simpulkan bahwa rataan kuadratik $\sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}}$ menguasai rataan aritmetika, lalu rangkailah rantai lengkap seri ini — harmonik $\leq$ geometri $\leq$ aritmetika $\leq$ kuadratik — sambil memeriksa keempatnya pada $a = 2$ , $b = 8$ .
Garis singgung di bawah kurvanya: $x \mapsto \frac1x$ cembung pada $\intoo{0}{+\infty}$ ; tulislah garis singgungnya di $1$ lalu simpulkan ketaksamaan $\frac1x \geq 2 - x$ untuk semua $x > 0$ . Di mana ketaksamaan itu menjadi kesamaan?
Titik belok di alam liar: selama sebuah wabah, cacah kasus kumulatifnya mengikuti kurva berbentuk S. Apa yang terjadi di titik beloknya, dan mengapa tanggal itulah yang ditunggu para ahli epidemiologi? Kaitkan dengan tanda turunan keduanya pada masing-masing sisi.

Bagian IV — Kaleng yang ideal. Sebuah kaleng berbentuk tabung harus memuat $V = 330$ cm $^3$ dengan logam paling sedikit: luas permukaannya $S = 2\pi r^2 + 2\pi r h$ , dengan kendala $\pi r^2 h = V$ .

Nyatakan $S(r) = 2\pi r^2 + \dfrac{2V}{r}$ , turunkan, lalu hitunglah jari-jari dan tinggi yang optimum untuk $V = 330$ (dengan ketelitian milimeter).
Buktikan hukum umumnya yang anggun: pada nilai optimumnya, $h = 2r$ — jadi kaleng yang ideal setinggi lebarnya persis.
Periksalah $S''(r) > 0$ lalu simpulkan (lagi-lagi lewat Latihan 22.8) bahwa nilai optimumnya bersifat global. Kaleng minuman yang sesungguhnya jelas lebih tinggi daripada lebarnya: sebutkan satu alasan yang bukan matematis.
Penutup — jalur pipa pengoptimuman: memodelkan, bertanya kepada turunan, mencari titik kritis, mengesahkannya dengan kecembungan atau tabel, lalu menafsirkan. Jalankan daftar itu pada penjaga pantai, kaleng, dan balok terkuat tahun sebelumnya (Soal 12.1) — lalu nyatakan apa kata asas Fermat tentang siapa lagi yang menjalankan jalur pipa ini.

Solusi

Solusi Soal 22.1.

1. $30x\left(3x^2 + 1\right)^4$ ; $\dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 9}}$ ; $-\dfrac{2x}{\left(x^2 + 1\right)^2}$ .

2. $y(4) = 5$ , gradiennya $\frac45$ : jadi garis singgungnya $y = 5 + \frac45(x - 4)$ , yaitu $y = \frac45 x + \frac95$ .

3. $f'(x) = \frac{(x^2 + 1) - x \cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2}$ : negatif, positif, negatif melintasi $-1$ dan $1$ : jadi minimumnya $f(-1) = -\frac12$ , maksimumnya $f(1) = \frac12$ , dengan asimtot mendatar $0$ pada kedua sisinya.

4. $g'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$ : naik, turun, naik melintasi $0$ dan $2$ ; maksimum lokalnya $g(0) = 4$ , minimum lokalnya $g(2) = 0$ . $g''(x) = 6x - 6$ : cekung sebelum $1$ , cembung sesudahnya: jadi titik beloknya $(1, 2)$ .

5. Garis singgung di $1$ : gradiennya $g'(1) = -3$ : $y = 2 - 3(x - 1) = -3x + 5$ . Selisihnya: $x^3 - 3x^2 + 4 - (-3x + 5) = x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = (x - 1)^3$ , yang berganti tanda di $1$ : jadi garis singgungnya memotong kurvanya — perilaku khas di sebuah titik belok, tempat kurvanya berpindah sisi.

6. $T(x) = \dfrac{\sqrt{x^2 + 900}}{5} + \dfrac{\sqrt{(40 - x)^2 + 400}}{2}$ . Masuk sebelum $0$ atau setelah $40$ memperpanjang kedua kakinya: jadi sia-sia.

7. $T'(x) = \dfrac{x}{5\sqrt{x^2 + 900}} - \dfrac{40 - x}{2\sqrt{(40 - x)^2 + 400}}$ .

8. Pada segitiga lariannya, sisi sepanjang pantainya adalah $x$ dan sisi miringnya $\sqrt{x^2 + 900}$ : jadi sinus sudutnya terhadap garis tegak lurus persis sama dengan hasil baginya (sisi depan dibagi sisi miring); serupa dengan itu $\sin\theta_2 = \frac{40 - x}{\sqrt{(40-x)^2 + 400}}$ . Lalu $T'(x) = 0$ berbunyi $\frac{\sin\theta_1}{5} = \frac{\sin\theta_2}{2}$ — yaitu hukum Snell dengan laju $5$ dan $2$ .

9. $T(24) \approx 20.5$ s; $T(40) = 10 + 10 = 20$ s; $T(0) = 6 + \sqrt{2000}/2 \approx 28.4$ s. Jadi garis lurusnya bahkan kalah oleh “berlari sampai ujung, lalu berenang lurus” — dan keduanya kalah oleh jalur yang membias.

10. Dikotomi pada $T'$ (negatif di $24$ , positif di $40$ ) memusat ke $x^* \approx 34$ m, dengan $T(x^*) \approx 19.5$ s: sekitar satu detik lebih cepat daripada garis lurusnya — yaitu selisih antara sebuah penyelamatan dan sebuah tragedi.

11. Waktu setiap kakinya merupakan fungsi cembung dari $x$ (cabang $\sqrt{\text{bentuk kuadrat}}$ ), sehingga $T$ cembung, dan titik kritis fungsi cembung yang dapat diturunkan adalah minimum globalnya (Latihan 22.8): jadi $x^*$ bukan sekadar stasioner, melainkan tak terkalahkan.

12. Cahaya di dalam air lebih lambat; menurut asas Fermat, jalur tercepat dari udara ke air membelok di permukaannya tepat menurut hukum Snell — sehingga sinar dari pensil yang terendam mencapai mata dalam keadaan membelok, dan otak, yang menarik garis lurus, melihat pensilnya patah di garis air.

13. $(x^2)'' = 2 > 0$ : jadi cembung. Kecembungan di titik tengahnya: $f\left(\frac{a+b}{2}\right) \leq \frac{f(a) + f(b)}{2}$ , dan itulah pernyataannya. Dengan tangan: $\frac{a^2 + b^2}{2} - \left(\frac{a+b}{2}\right)^2 = \frac{(a - b)^2}{4} \geq 0$ .

14. Menarik akar kuadratnya (yang naik) pada pertanyaan 13: $\frac{a + b}{2} \leq \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}}$ . Rantai lengkapnya pada $2, 8$ : harmonik $\frac{2 \cdot 16}{10} = 3.2$ ; geometri $\sqrt{16} = 4$ ; aritmetika $5$ ; kuadratik $\sqrt{34} \approx 5.83$ : jadi setiap rataan tunduk kepada rataan berikutnya.

15. Garis singgung $\frac1x$ di $1$ : nilainya $1$ , gradiennya $-1$ : jadi $y = 2 - x$ . Kurva cembung duduk di atas garis singgungnya (Teorema 22.12): jadi $\frac1x \geq 2 - x$ untuk semua $x > 0$ , dengan kesamaan tepat di titik sentuhnya $x = 1$ .

16. Di titik beloknya, cacah kasus harian (yaitu turunannya) memuncak: pertumbuhannya berhenti dipercepat lalu mulai diperlambat — itulah isyarat matematis pertama bahwa gelombangnya sedang berbalik, jauh sebelum cacahnya sendiri menurun. Sebelum titik itu, $f'' > 0$ (setiap harinya lebih buruk daripada hari sebelumnya); sesudahnya, $f'' < 0$ (masih tumbuh, tetapi lebih lambat).

17. $S'(r) = 4\pi r - \frac{2V}{r^2} = 0$ memberi $r^3 = \frac{V}{2\pi} = \frac{330}{2\pi}$ : jadi $r \approx 3.74$ cm, dan $h = \frac{330}{\pi r^2} \approx 7.49$ cm.

18. $h = \frac{V}{\pi r^2} = \frac{2\pi r^3}{\pi r^2} = 2r$ pada nilai optimumnya: jadi tingginya sama dengan diameternya, berapa pun volumenya.

19. $S''(r) = 4\pi + \frac{4V}{r^3} > 0$ : cembung, sehingga jari-jari kritisnya adalah minimum globalnya. Kaleng yang sesungguhnya berdiri lebih tinggi demi genggaman, penumpukan, penampakan di rak dan logam tutup serta alasnya yang lebih tebal — pengoptimuman selalu meminimumkan persis apa yang kamu tulis, bukan apa yang kamu maksudkan.

20. Penjaga pantai: modelkan $T(x)$ , turunkan, Snell, kecembungan, satu detik terhemat. Kaleng: modelkan $S(r)$ , turunkan, $h = 2r$ , kecembungan, logam terhemat. Balok (Soal 12.1): modelkan $S(w)$ , turunkan, $d = w\sqrt2$ , tabel, kekakuan bertambah. Lalu menurut asas Fermat, cahaya sendiri menjalankan jalur pipa itu di setiap permukaan yang dijumpainya — alamlah pengoptimum yang pertama.

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

Lihat semua 395 istilah di glosarium