Apa itu Fungsi cembung? — Matematika

Definisi 22.11 Matematika Sekolah Menengah Atas · Bab 22 — Turunan dan Kecembungan

Sebuah fungsi $f$ pada interval $I$ disebut cembung pada $I$ bila setiap tali busur grafiknya terletak di atas grafiknya: untuk semua $a, b \in I$ dan $t \in \intcc{0}{1}$ ,

f\bigl((1-t)a + t b\bigr) \leq (1-t) f(a) + t f(b).

Fungsi itu disebut cekung bila ketaksamaannya terbalik ( $-f$ cembung).

Sebuah fungsi cembung: setiap tali busurnya (merah) terletak di atas grafiknya, dan grafiknya terletak di atas setiap garis singgungnya (jingga). Ruas putus-putusnya memperlihatkan celah antara f ((1-t)a+tb ) dan (1-t)f(a)+tf(b). — Sebuah fungsi cembung: setiap tali busurnya (merah) terletak di atas grafiknya, dan grafiknya terletak di atas setiap garis singgungnya (jingga). Ruas putus-putusnya memperlihatkan celah antara $f\bigl((1-t)a+tb\bigr)$ dan $(1-t)f(a)+tf(b)$ .

Contoh

Contoh 22.14

$f(x) = x^3$ mempunyai $f''(x) = 6x$ : jadi $f$ cekung pada $\intoc{-\infty}{0}$ , cembung pada $\intco{0}{+\infty}$ , dengan sebuah titik belok di titik asal, tempat kurvanya memotong garis singgungnya (sumbu $x$ ).

Contoh 22.15 (Ketaksamaan dari kecembungan)

Fungsi eksponen cembung pada $\R$ (turunan keduanya adalah dirinya sendiri, yang positif). Garis singgungnya di $0$ adalah $y = 1 + x$ , sehingga

\eu^x \geq 1 + x \quad \text{untuk semua } x \in \R .

Ketaksamaan garis singgung semacam ini adalah hasil baku kecembungan.

Baca dalam konteks →

Definisi 14.18 Matematika Universitas — Tahun 1 · Bab 14 — Pendiferensialan

Fungsi $f \colon I \to \R$ disebut cembung bila setiap tali busurnya terletak di atas grafiknya:

\forall x, y \in I,\ \forall t \in \intcc{0}{1}, \quad f\bigl(tx + (1-t)y\bigr) \leq t f(x) + (1-t) f(y).

( $f$ disebut cekung bila $-f$ cembung.)

Kecembungan, dua kali: bahwa setiap tali busurnya (yang kelabu) terletak di atas grafiknya, dan grafiknya terletak di atas setiap garis singgungnya (yang putus-putus).

Contoh

Contoh 14.20 (Ketaksamaan kecembungan yang klasik)

Fungsi $\exp$ cembung (karena $\exp'' = \exp > 0$ ): sehingga garis singgungnya di $0$ memberikan $\eu^x \geq 1 + x$ untuk setiap $x$ . Sedangkan $\ln$ cekung: sehingga garis singgungnya di $1$ memberikan $\ln x \leq x - 1$ ; dan tali busurnya memberikan, untuk $0 < a \leq b$ , ketaksamaan antara rata-rata geometri dan aritmetika: dengan mengambil $t = \frac12$ pada kecekungannya,

\ln\frac{a + b}{2} \geq \frac{\ln a + \ln b}{2} = \ln\sqrt{ab}, \qquad\text{sehingga}\qquad \sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2} .

Adapun ketaksamaan aritmetika–geometri yang umum adalah Latihan 14.9.

Contoh 14.21 (Sebuah ketaksamaan kecembungan dari nol)

Fungsi $f(t) = t\ln t$ bersifat cembung pada $\intoo{0}{+\infty}$ : karena $f''(t) = \frac1t > 0$ . Adapun ketaksamaan titik tengahnya, yang dikalikan $2$ , berbunyi: untuk setiap $a, b > 0$ ,

a\ln a + b\ln b \;\geq\; (a + b)\,\ln\frac{a + b}{2} ,

dengan kesamaannya jika dan hanya jika $a = b$ (menurut kecembungan tegasnya). Uji cobanya: $a = 1$ , $b = 3$ memberikan $3\ln 3 = 3.296$ terhadap $4\ln 2 = 2.773$ . Ketaksamaan yang tampak polos ini merupakan kasus dua titik pada perbandingan entropi yang muncul kembali bersama ketaksamaan Jensen (Latihan 14.9) dan pada asimtotik teori informasi jilid Tahun ke-3. Inti gagasan penutupnya: bahwa untuk memproduksi sebuah ketaksamaan, carilah fungsi yang turunan keduanya bertanda lalu tuliskanlah apa yang dikatakan kecembungannya — karena pencirian diferensialnya mengubah satu pemeriksaan tanda menjadi ketaksamaan yang tak hingga banyaknya.

Contoh 14.24 (Ketaksamaan Young dari kecekungan)

Misalkan $p, q > 1$ dengan $\frac1p + \frac1q = 1$ . Untuk setiap $a, b > 0$ :

ab \;\leq\; \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q} .

Buktinya lewat satu penerapan kecekungan $\ln$ dengan bobot $\frac1p, \frac1q$ (yaitu ketaksamaan Jensen dua titik, seperti pada Latihan 14.9):

\ln\Bigl(\frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}\Bigr) \;\geq\; \frac1p \ln(a^p) + \frac1q \ln(b^q) = \ln a + \ln b = \ln(ab),

lalu $\ln$ yang naik mengubah ketaksamaan logaritmanya menjadi klaimnya; dengan kesamaannya jika dan hanya jika $a^p = b^q$ (menurut kecekungan tegasnya). Adapun kasus $p = q = 2$ merupakan ketaksamaan aritmetika-geometri $ab \leq \frac{a^2 + b^2}{2}$ yang menyamar. Inti gagasan penutupnya: bahwa ketaksamaan Young merupakan benih aljabar bagi ketaksamaan Hölder dan Minkowski pada jilid Tahun ke-2 — yaitu satu pernyataan kecekungan tentang $\ln$ , yang dipanen bagi norma.

Baca dalam konteks →

Contoh

Contoh

Istilah terkait