Matematika Sekolah Menengah Atas · Grades 10–12

12Turunan: Perkenalan Pertama

Seberapa cepat sebuah fungsi berubah? Jawabannya di satu titik adalah turunan, bilangan tunggal yang paling berguna dalam seluruh matematika terapan. Bab ini membangunnya dari laju perubahan rata-rata, menghitungnya untuk fungsi acuan, lalu memakai tandanya untuk membaca variasi sebuah fungsi. Semua yang ada di sini diperluas dan diperdalam pada Bab 22.

12.1 Laju perubahan rata-rata

Definisi 12.1 (Laju perubahan rata-rata)

Misalkan $f$ terdefinisi pada interval $I$ , serta $a \neq b$ di $I$ . Laju perubahan rata-rata $f$ antara $a$ dan $b$ adalah

\frac{f(b) - f(a)}{b - a}.

Bilangan itu adalah gradien garis sekan yang melalui titik $\bigl(a, f(a)\bigr)$ dan $\bigl(b, f(b)\bigr)$ pada kurvanya.

Contoh 12.2

Sebuah mobil menempuh $140$ km antara pukul 14.00 dan 16.00: laju rata-ratanya $\frac{140}{2} = 70$ km/jam. Namun spidometernya menampilkan laju sesaat pada setiap saat — dan justru itulah gagasan yang dipertepat oleh turunan.

12.2 Turunan di sebuah titik

Definisi 12.3 (Turunan di sebuah titik)

Misalkan $f$ terdefinisi pada interval yang memuat $a$ . Untuk $h \neq 0$ , bentuklah laju perubahan rata-rata antara $a$ dan $a + h$ :

r(h) = \frac{f(a+h) - f(a)}{h}.

Jika $r(h)$ mendekati satu bilangan tetap ketika $h$ menjadi sedekat mungkin ke $0$ , kita katakan bahwa $f$ dapat diturunkan di $a$ ; bilangan itu disebut turunan $f$ di $a$ , ditulis $f'(a)$ :

f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}.

Contoh 12.4

Misalkan $f(x) = x^2$ dan $a = 1$ . Untuk $h \neq 0$ :

\frac{f(1+h) - f(1)}{h} = \frac{(1+h)^2 - 1}{h} = \frac{1 + 2h + h^2 - 1}{h} = \frac{h(2 + h)}{h} = 2 + h .

Ketika $h$ mendekati $0$ , nilai ini mendekati $2$ : fungsi $x^2$ dapat diturunkan di $1$ dan $f'(1) = 2$ . Perhatikan siasatnya: sederhanakan hasil baginya sampai $h$ tidak lagi muncul pada penyebut, lalu biarkan $h \to 0$ .

Contoh 12.5 (Sebuah titik yang tak dapat diturunkan)

Misalkan $f(x) = \abs{x}$ dan $a = 0$ . Maka $\frac{f(h) - f(0)}{h} = \frac{\abs h}{h}$ , yang bernilai $1$ untuk $h > 0$ dan $-1$ untuk $h < 0$ : tidak ada satu bilangan pun yang didekati, jadi $\abs x$ tidak dapat diturunkan di $0$ . Kurvanya mempunyai patahan di sana.

12.3 Garis singgung

Definisi 12.6 (Garis singgung)

Jika $f$ dapat diturunkan di $a$ , garis singgung kurvanya di titik $A = \bigl(a, f(a)\bigr)$ adalah garis yang melalui $A$ dengan gradien $f'(a)$ . Persamaannya adalah

y = f(a) + f'(a)(x - a).

Garis singgung adalah kedudukan batas garis sekan yang melalui $A$ : ketika $h \to 0$ , titik keduanya $\bigl(a+h, f(a+h)\bigr)$ meluncur sepanjang kurvanya menuju $A$ , dan gradien sekannya $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ mendekati $f'(a)$ .

Garis sekan yang melalui A dan B = (a+h, f(a+h) ) bergradien f(a+h)-f(a)/h. Ketika B meluncur menuju A, sekannya memiring menjadi garis singgung, yang bergradien f'(a). — Garis sekan yang melalui $A$ dan $B = \bigl(a+h, f(a+h)\bigr)$ bergradien $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ . Ketika $B$ meluncur menuju $A$ , sekannya memiring menjadi garis singgung, yang bergradien $f'(a)$ .

Contoh 12.7

Untuk $f(x) = x^2$ di $a = 1$ : $f(1) = 1$ dan $f'(1) = 2$ (Contoh 12.4), sehingga garis singgungnya adalah

y = 1 + 2(x - 1) = 2x - 1 .

Inilah garis $d_2$ yang ditemukan lewat aljabar murni pada Latihan 10.11.

12.4 Turunan fungsi acuan

Proposisi 12.8

Pada daerah asal tempat fungsi itu dapat diturunkan:

(c)' = 0, \quad (x)' = 1, \quad (x^2)' = 2x, \quad (x^3)' = 3x^2, \quad \left(\frac1x\right)' = -\frac{1}{x^2}, \quad (\sqrt x\,)' = \frac{1}{2\sqrt x} \ (x > 0).

Secara lebih umum, $(x^n)' = n\,x^{n-1}$ untuk setiap bilangan bulat $n \geq 1$ .

Bukti. Setiap buktinya mengikuti siasat Contoh 12.4: sederhanakan lajunya, lalu biarkan $h \to 0$ . Tetapkan $a$ di daerah asalnya.

Fungsi tetap dan fungsi identitas. $\frac{c - c}{h} = 0$ dan $\frac{(a+h) - a}{h} = 1$ untuk semua $h$ : limitnya $0$ dan $1$ .

Pangkat dua. $\frac{(a+h)^2 - a^2}{h} = \frac{2ah + h^2}{h} = 2a + h \to 2a$ .

Pangkat tiga. $(a+h)^3 = a^3 + 3a^2h + 3ah^2 + h^3$ , sehingga lajunya $3a^2 + 3ah + h^2 \to 3a^2$ .

Kebalikan. Untuk $a \neq 0$ dan $h$ yang cukup kecil sehingga $a + h \neq 0$ :

\frac{1}{h}\left(\frac{1}{a+h} - \frac{1}{a}\right) = \frac{1}{h} \cdot \frac{a - (a+h)}{a(a+h)} = \frac{-1}{a(a+h)} \xrightarrow[h \to 0]{} -\frac{1}{a^2}.

Akar kuadrat. Untuk $a > 0$ , kalikan dengan bentuk sekawannya:

\frac{\sqrt{a+h} - \sqrt a}{h} = \frac{(a + h) - a}{h\,(\sqrt{a+h} + \sqrt a)} = \frac{1}{\sqrt{a+h} + \sqrt a} \xrightarrow[h \to 0]{} \frac{1}{2\sqrt a}.

Pangkat umum. Polanya, $2a$ , $3a^2$ , berlanjut: setelah $(a+h)^n$ dijabarkan, suku-suku setelah $a^n + n\,a^{n-1}h$ semuanya membawa $h^2$ , sehingga lajunya menuju $n\,a^{n-1}$ . (Induksi lengkapnya diberikan pada Bab 22.) ∎

12.5 Aturan penurunan

Teorema 12.9 (Operasi)

Misalkan $u$ dan $v$ dapat diturunkan pada $I$ dan $\lambda \in \R$ . Maka $u + v$ , $\lambda u$ , $uv$ dapat diturunkan pada $I$ , demikian pula $\frac{u}{v}$ di mana pun $v \neq 0$ , dan

(u+v)' = u' + v', \qquad (\lambda u)' = \lambda u', \qquad (uv)' = u'v + uv', \qquad \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}.

Bukti tiga aturan pertama. Tetapkan $a \in I$ lalu singkat $\Delta u = u(a+h) - u(a)$ , $\Delta v = v(a+h) - v(a)$ .

Jumlah. Laju $u + v$ adalah $\frac{\Delta u + \Delta v}{h} = \frac{\Delta u}{h} + \frac{\Delta v}{h} \to u'(a) + v'(a)$ .

Kelipatan. Laju $\lambda u$ adalah $\lambda \frac{\Delta u}{h} \to \lambda u'(a)$ .

Hasil kali. Tambahkan lalu kurangkan suku campuran $u(a+h)\,v(a)$ :

\begin{align*} \frac{u(a+h)v(a+h) - u(a)v(a)}{h} &= \frac{u(a+h)v(a+h) - u(a+h)v(a) + u(a+h)v(a) - u(a)v(a)}{h}\\ &= u(a+h)\,\frac{\Delta v}{h} + v(a)\,\frac{\Delta u}{h}. \end{align*}

Ketika $h \to 0$ : $\frac{\Delta v}{h} \to v'(a)$ , $\frac{\Delta u}{h} \to u'(a)$ , dan $u(a+h) \to u(a)$ (lajunya mempunyai limit, sehingga $\Delta u = h \cdot \frac{\Delta u}{h} \to 0$ ). Jadi lajunya menuju $u(a)v'(a) + v(a)u'(a)$ .

Aturan hasil bagi dibuktikan menurut garis yang sama; aturan itu diterima tanpa bukti pada tingkat ini dan dibuktikan pada Bab 22. ∎

Contoh 12.10

Polinomial. $f(x) = 3x^3 - 5x^2 + 7x - 2$ :

f'(x) = 3 \times 3x^2 - 5 \times 2x + 7 = 9x^2 - 10x + 7 .

Hasil bagi. $g(x) = \frac{2x+1}{x^2+1}$ : dengan $u = 2x + 1$ , $v = x^2 + 1$ ,

g'(x) = \frac{2(x^2+1) - (2x+1)\,2x}{(x^2+1)^2} = \frac{-2x^2 - 2x + 2}{(x^2+1)^2}.

Hasil kali. $k(x) = x\sqrt x$ untuk $x > 0$ : $k'(x) = 1 \times \sqrt x + x \times \frac{1}{2\sqrt x} = \sqrt x + \frac{\sqrt x}{2} = \frac{3\sqrt x}{2}$ .

12.6 Tanda turunan dan variasi

Teorema 12.11 (Turunan dan variasi)

Misalkan $f$ dapat diturunkan pada sebuah interval $I$ .

Jika $f' \geq 0$ pada $I$ , maka $f$ naik pada $I$ .
Jika $f' \leq 0$ pada $I$ , maka $f$ turun pada $I$ .
Jika $f' > 0$ pada $I$ (kecuali mungkin di berhingga banyak titik tempat turunannya lenyap), maka $f$ tegas naik pada $I$ .

Bukti. Gagasannya jelas — kurva yang semua garis singgungnya menunjuk ke atas pasti mendaki — tetapi bukti yang cermat memerlukan teorema nilai rata-rata. Hasil ini diterima tanpa bukti pada tingkat ini; lihat Teorema 22.7. ∎

Proposisi 12.12 (Nilai ekstrem)

Jika $f'$ berganti tanda di $a$ dari $+$ ke $-$ , maka $f$ mempunyai maksimum lokal di $a$ ; dari $-$ ke $+$ , minimum lokal. Di titik semacam itu $f'(a) = 0$ dan garis singgungnya mendatar.

Bukti. Jika $f' \geq 0$ pada interval yang berakhir di $a$ dan $f' \leq 0$ pada interval yang bermula di $a$ , maka $f$ naik sampai $f(a)$ lalu turun sesudahnya (Teorema 12.11): jadi $f(a)$ terbesar di sekitarnya. Karena $f'$ berganti tanda di $a$ dan terdefinisi di sana, $f'(a) = 0$ . ∎

Metode 12.13 (Menelaah sebuah fungsi)

Hitunglah $f'(x)$ lalu sederhanakan — sebaiknya menjadi bentuk terfaktorkan.
Tentukan tanda $f'(x)$ pada setiap interval (untuk $f'$ yang berbentuk kuadrat, pakailah Teorema 10.11).
Catat hasilnya dalam sebuah tabel variasi: satu baris untuk tanda $f'$ , satu baris panah untuk $f$ , beserta nilai $f$ di titik-titik baliknya.
Simpulkan: nilai ekstrem, banyaknya penyelesaian $f(x) = k$ , ketaksamaan.

Contoh 12.14

Telaahlah $f(x) = x^3 - 3x + 1$ pada $\R$ . Pertama, $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)$ : sebuah bentuk kuadrat dengan akar $-1$ dan $1$ , yang positif di luar keduanya. Jadi $f$ naik pada $\intoc{-\infty}{-1}$ , turun pada $\intcc{-1}{1}$ , naik pada $\intco{1}{+\infty}$ , dengan maksimum lokal $f(-1) = -1 + 3 + 1 = 3$ dan minimum lokal $f(1) = 1 - 3 + 1 = -1$ .

Kurva f(x) = x3 - 3x + 1 (): garis singgung mendatar (jingga) di maksimum lokal (-1, 3) dan minimum lokal (1, -1), tempat f' berganti tanda. — Kurva $f(x) = x^3 - 3x + 1$ (Contoh 12.14): garis singgung mendatar (jingga) di maksimum lokal $(-1, 3)$ dan minimum lokal $(1, -1)$ , tempat $f'$ berganti tanda.

Contoh 12.15 (Pengoptimuman)

Sebuah kotak terbuka dibuat dari lembaran $12 \times 12$ cm dengan memotong persegi bersisi $x$ dari setiap pojoknya lalu melipatnya. Volumenya adalah $V(x) = x(12 - 2x)^2$ untuk $0 < x < 6$ . Setelah dijabarkan, $V(x) = 4x^3 - 48x^2 + 144x$ , sehingga

V'(x) = 12x^2 - 96x + 144 = 12(x^2 - 8x + 12) = 12(x - 2)(x - 6).

Pada $\intoo{0}{6}$ , faktor $x - 6$ bernilai negatif, sehingga $V'(x)$ bertanda sama dengan $-(x-2)$ : positif sebelum $2$ , negatif sesudahnya. Volumenya maksimum untuk $x = 2$ cm, yaitu $V(2) = 2 \times 8^2 = 128$ cm $^3$ .

12.7 Latihan

Latihan 12.1 ★

Dengan memakai definisinya (laju perubahan, lalu $h \to 0$ ), hitunglah $f'(2)$ untuk $f(x) = x^2$ , lalu $g'(1)$ untuk $g(x) = x^2 + 3x$ .

Solusi

Solusi Latihan 12.1.

Untuk $f(x) = x^2$ di $a = 2$ :

\frac{(2+h)^2 - 4}{h} = \frac{4h + h^2}{h} = 4 + h \xrightarrow[h\to0]{} 4,

jadi $f'(2) = 4$ . Untuk $g(x) = x^2 + 3x$ di $a = 1$ : $g(1) = 4$ dan

\frac{(1+h)^2 + 3(1+h) - 4}{h} = \frac{5h + h^2}{h} = 5 + h \xrightarrow[h\to0]{} 5,

jadi $g'(1) = 5$ .

Latihan 12.2 ★

Turunkan:

f(x) = 4x^3 - 2x^2 + x - 7, \qquad g(x) = 5\sqrt{x} + \frac{3}{x}, \qquad h(x) = (2x+1)(x^2 - 3) .

Solusi

Solusi Latihan 12.2.

$f'(x) = 12x^2 - 4x + 1$ .

$g'(x) = \frac{5}{2\sqrt x} - \frac{3}{x^2}$ (pada $\intoo{0}{+\infty}$ ).

$h'(x) = 2(x^2 - 3) + (2x+1)(2x) = 2x^2 - 6 + 4x^2 + 2x = 6x^2 + 2x - 6$ (aturan hasil kali).

Latihan 12.3 ★

Berikan persamaan garis singgung kurva $f$ di titik yang berabsis $a$ :

f(x) = x^2 - 3x, \ a = 2; \qquad f(x) = \frac1x, \ a = 1; \qquad f(x) = \sqrt x, \ a = 4 .

Solusi

Solusi Latihan 12.3.

$f(x) = x^2 - 3x$ , $a = 2$ : $f(2) = -2$ , $f'(x) = 2x - 3$ jadi $f'(2) = 1$ ; garis singgungnya $y = -2 + (x - 2) = x - 4$ .

$f(x) = \frac1x$ , $a = 1$ : $f(1) = 1$ , $f'(1) = -1$ ; garis singgungnya $y = 1 - (x - 1) = 2 - x$ .

$f(x) = \sqrt x$ , $a = 4$ : $f(4) = 2$ , $f'(4) = \frac{1}{2\sqrt4} = \frac14$ ; garis singgungnya $y = 2 + \frac14(x - 4) = \frac{x}{4} + 1$ .

Latihan 12.4 ★

Turunkan hasil bagi berikut:

f(x) = \frac{x+2}{x-1}, \qquad g(x) = \frac{x^2}{x^2+1}, \qquad h(x) = \frac{1}{x^2 + x + 1} .

Solusi

Solusi Latihan 12.4.

$f'(x) = \frac{(x-1) - (x+2)}{(x-1)^2} = \frac{-3}{(x-1)^2}$ .

$g'(x) = \frac{2x(x^2+1) - x^2 \times 2x}{(x^2+1)^2} = \frac{2x}{(x^2+1)^2}$ .

$h'(x) = -\frac{2x+1}{(x^2+x+1)^2}$ (aturan hasil bagi dengan $u = 1$ ).

Latihan 12.5 ★★

Telaahlah variasi $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 2$ pada $\R$ (tabel variasi, nilai ekstrem lokal).

Solusi

Solusi Latihan 12.5.

$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x^2 - 4x + 3) = 3(x-1)(x-3)$ : positif di luar $\intcc{1}{3}$ , negatif di dalamnya. Jadi $f$ naik pada $\intoc{-\infty}{1}$ , turun pada $\intcc{1}{3}$ , naik pada $\intco{3}{+\infty}$ , dengan maksimum lokal $f(1) = 1 - 6 + 9 - 2 = 2$ dan minimum lokal $f(3) = 27 - 54 + 27 - 2 = -2$ .

Latihan 12.6 ★★

Telaahlah variasi $f(x) = \frac{x^2 + 3}{x + 1}$ pada $\intoo{-1}{+\infty}$ .

Solusi

Solusi Latihan 12.6.

Pada $\intoo{-1}{+\infty}$ :

f'(x) = \frac{2x(x+1) - (x^2+3)}{(x+1)^2} = \frac{x^2 + 2x - 3}{(x+1)^2} = \frac{(x+3)(x-1)}{(x+1)^2}.

Untuk $x > -1$ , baik $x + 3$ maupun $(x+1)^2$ bernilai positif, sehingga $f'(x)$ bertanda sama dengan $x - 1$ : jadi $f$ turun pada $\intoc{-1}{1}$ dan naik pada $\intco{1}{+\infty}$ , dengan minimum $f(1) = \frac{4}{2} = 2$ .

Latihan 12.7 ★★

Misalkan $f(x) = x^2 - 4x + 5$ .

Carilah titik pada kurvanya tempat garis singgungnya mendatar.
Carilah titik tempat garis singgungnya sejajar dengan garis $y = 2x + 1$ .

Solusi

Solusi Latihan 12.7.

$f'(x) = 2x - 4$ .

1. Garis singgung mendatar: $f'(x) = 0$ di $x = 2$ ; titiknya adalah $(2, f(2)) = (2, 1)$ (titik puncak parabolanya).

2. Sejajar dengan $y = 2x + 1$ berarti bergradien $2$ : $2x - 4 = 2$ , jadi $x = 3$ , yang memberi titik $(3, f(3)) = (3, 2)$ .

Latihan 12.8 ★★

Sebuah kandang berbentuk persegi panjang dibangun bersandar pada tembok dengan pagar sepanjang $60$ m (tiga sisi). Nyatakan luasnya sebagai fungsi lebar $x$ , lalu pakailah turunan untuk mencari ukuran yang berluas maksimum. (Bandingkan dengan metode titik puncak pada Bab 10.)

Solusi

Solusi Latihan 12.8.

Dengan lebar $x$ (dua sisi berpagar) dan panjang $60 - 2x$ : $A(x) = x(60 - 2x) = 60x - 2x^2$ pada $\intoo{0}{30}$ . Lalu $A'(x) = 60 - 4x$ , positif sebelum $x = 15$ dan negatif sesudahnya: luasnya maksimum untuk $x = 15$ , yang memberi kandang $15 \times 30$ m berluas $450$ m $^2$ . Rumus titik puncak $\alpha = -\frac{60}{2 \times (-2)} = 15$ pada Bab 10 memberi jawaban yang sama tanpa kalkulus.

Latihan 12.9 ★★

Tunjukkan bahwa untuk semua $x > 0$ berlaku $\sqrt{x} \leq \frac{x + 1}{2}$ , dengan menelaah fungsi $f(x) = \frac{x+1}{2} - \sqrt x$ pada $\intoo{0}{+\infty}$ .

Solusi

Solusi Latihan 12.9.

Misalkan $f(x) = \frac{x+1}{2} - \sqrt x$ pada $\intoo{0}{+\infty}$ . Maka

f'(x) = \frac12 - \frac{1}{2\sqrt x} = \frac{\sqrt x - 1}{2\sqrt x},

yang bertanda sama dengan $\sqrt x - 1$ : negatif pada $\intoo{0}{1}$ , positif pada $\intoo{1}{+\infty}$ . Jadi $f$ turun lalu naik, dengan minimum $f(1) = 1 - 1 = 0$ . Karena itu $f(x) \geq 0$ untuk semua $x > 0$ , artinya $\sqrt x \leq \frac{x+1}{2}$ , dengan kesamaan hanya di $x = 1$ .

Latihan 12.10 ★★

Sebuah kaleng berbentuk tabung harus memuat $500$ cm $^3$ . Luas permukaannya (dua cakram ditambah selimutnya) adalah $S = 2\pi r^2 + 2\pi r h$ dengan $\pi r^2 h = 500$ . Nyatakan $S$ sebagai fungsi $r$ saja, lalu tunjukkan bahwa $S'(r) = 4\pi r - \frac{1000}{r^2}$ . Simpulkan jari-jari yang meminimumkan luas permukaannya, sebagai bentuk eksak.

Solusi

Solusi Latihan 12.10.

Dari $\pi r^2 h = 500$ diperoleh $h = \frac{500}{\pi r^2}$ , sehingga

S(r) = 2\pi r^2 + 2\pi r \cdot \frac{500}{\pi r^2} = 2\pi r^2 + \frac{1000}{r}, \qquad S'(r) = 4\pi r - \frac{1000}{r^2}.

$S'(r) = 0$ ketika $4\pi r^3 = 1000$ , yaitu $r^3 = \frac{250}{\pi}$ , jadi $r = \sqrt[3]{250/\pi}$ ( $\approx 4.3$ cm). Karena $S'(r) = \frac{4\pi r^3 - 1000}{r^2}$ bernilai negatif sebelum nilai itu dan positif sesudahnya, nilai itu adalah minimumnya.

Latihan 12.11 ★★★

Berapa banyak garis singgung parabola $y = x^2$ yang melalui titik luar $P(1, -3)$ ? Tentukan persamaannya. (Misalkan $a$ absis titik sentuhnya lalu nyatakan bahwa garis singgung di $a$ melalui $P$ .)

Solusi

Solusi Latihan 12.11.

Garis singgung $y = x^2$ di titik yang berabsis $a$ adalah $y = a^2 + 2a(x - a) = 2ax - a^2$ . Garis itu melalui $P(1, -3)$ ketika $-3 = 2a - a^2$ , yaitu $a^2 - 2a - 3 = 0$ , yang akarnya $a = 3$ dan $a = -1$ ( $\Delta = 16$ ). Jadi ada dua garis singgung yang melalui $P$ :

y = 6x - 9 \quad (a = 3), \qquad y = -2x - 1 \quad (a = -1).

Latihan 12.12 ★★★

Misalkan $f(x) = x^3 - 3x + 1$ (lihat Contoh 12.14). Dengan memakai tabel variasinya, tentukan banyaknya penyelesaian persamaan $f(x) = k$ menurut nilai bilangan real $k$ .

Solusi

Solusi Latihan 12.12.

Dari Contoh 12.14, $f$ naik sampai maksimum lokal $f(-1) = 3$ , turun sampai minimum lokal $f(1) = -1$ , lalu naik lagi; untuk $x$ positif besar (masing-masing negatif besar), $x^3$ menguasai dan $f$ mengambil nilai yang sebesar-besarnya (masing-masing sekecil-kecilnya). Dengan membaca garis mendatar $y = k$ menyeberangi tabel variasinya:

$k > 3$ atau $k < -1$ : garisnya bertemu kurvanya sekali — $1$ penyelesaian;
$k = 3$ atau $k = -1$ : garisnya menyentuh sebuah titik balik dan memotong satu cabang lain — $2$ penyelesaian;
$-1 < k < 3$ : garisnya memotong ketiga cabangnya — $3$ penyelesaian.

12.8 Soal: Tiga pekerjaan garis singgung

Soal 12.1

Soal akhir pekan — cermin parabola yang terbukti, mesin pencari akar milik Newton, dan balok terkuat dari sebatang gelondong

Sebuah turunan menggambar garis singgung; kedengarannya bakat yang sederhana. Soal ini memperlihatkan garis singgung memegang tiga pekerjaan sekaligus: membuktikan teorema lampu sorot yang tertunda pada Soal 10.1 (setiap sinar sejajar sumbu parabola memantul melalui fokusnya), menggerakkan algoritme penyelesai persamaan tercepat yang lazim dipakai — di dalam setiap kalkulator dan jaringan saraf tiruan — serta menemukan balok persegi panjang terkuat yang dapat dihasilkan sebatang gelondong bundar.

Bagian I — Kefasihan dengan garis singgung.

Turunkan $f(x) = 3x^2 - 5x + 1$ dan $g(x) = x^3 - 12x$ (Teorema 12.9); lalu temukan kembali $\left(x^2 \right)'$ di $x = 1$ dari definisinya (laju perubahan, lalu $h \to 0$ ).
Carilah garis singgung $y = x^3 - 12x$ di $a = 2$ . Apa yang istimewa padanya, dan apa yang diisyaratkannya (Proposisi 12.12)?
Tetapkan rumus umum garis singgung parabola $y = x^2$ di titik $(a, a^2)$ :

$y = 2ax - a^2 .$
Di mana garis singgung itu memotong sumbu $y$ ? Simpulkan resep sang juru gambar: untuk menggambar garis singgung di titik $P$ yang tingginya $h$ pada parabola, hubungkan $P$ ke titik pada sumbunya sedalam … di bawah titik asal. Nyatakanlah.
Susunlah tabel variasi lengkap $g(x) = x^3 - 12x$ (tanda $g'$ , nilai ekstrem lokal beserta nilainya, Metode 12.13).

Bagian II — Teorema cermin. Misalkan $P(a, a^2)$ sebuah titik pada parabola $y = x^2$ (ambil $a \neq 0$ ), $F\left(0, \frac14\right)$ fokusnya, dan $T$ titik tempat garis singgung di $P$ memotong sumbu $y$ (pertanyaan 4). Ingat kembali dari Soal 10.1 bahwa $PF = a^2 + \frac14$ .

Hitunglah jarak $FT$ .
Simpulkan bahwa segitiga $FPT$ sama kaki di $F$ . Karena itu, dua sudut yang mana yang sama besar?
Sinar datang yang melalui $P$ , sejajar dengan sumbunya, sejajar pula dengan garis $(TF)$ (keduanya tegak). Dengan memakai sudut berseberangan, tunjukkan bahwa garis singgung di $P$ membentuk sudut yang sama besar dengan sinar datang yang tegak itu dan dengan ruas garis $[PF]$ .
Fisikanya: cahaya memantul pada sebuah kurva seperti pada garis singgungnya, dan pergi dengan sudut yang sama dengan sudut datangnya (hukum pemantulan). Simpulkan teorema cermin: setiap sinar yang sejajar sumbunya memantul melalui fokusnya — dan, dengan membalik waktunya, bola lampu di fokusnya memancarkan cahaya sejajar. Antena parabola dan lampu sorot pada Soal 10.1 kini menjadi teorema.
Periksalah segitiga sama kaki itu secara numeris di $a = 1$ : hitunglah $T$ , $FP$ dan $FT$ .

Bagian III — Mesin Newton. Untuk menyelesaikan $f(x) = 0$ , Newton mengusulkan: berangkatlah dari terkaan $x_0$ , ikuti garis singgung di $x_0$ turun sampai sumbunya, lalu jadikan titik potongnya dengan sumbu $x$ sebagai terkaan berikutnya.

Turunkan rumus metodenya:

$x_{n + 1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} .$
Jalankan pada $f(x) = x^2 - 2$ dari $x_0 = 1$ : hitunglah $x_1$ , $x_2$ , $x_3$ sebagai pecahan eksak. Barisan berumur dua ribu tahun yang mana — dan mesin yang mana dari Soal 3.1 — yang baru saja kamu bangun kembali? Buktikan identitas di balik kebetulan itu:

$x - \frac{x^2 - 2}{2x} = \frac12\left(x + \frac2x\right).$
Selesaikan $x^3 = 100$ (titik penyalipan tabungan pada Soal 4.1): terapkan dua langkah Newton pada $f(x) = x^3 - 100$ dari $x_0 = 5$ (empat angka desimal), lalu bandingkan dengan $\sqrt[3]{100}$ dari kalkulator.
Sabotase: cobalah menjalankan metode itu pada $f(x) = x^3 - 12x$ di $x_0 = 2$ . Apa yang berjalan salah, dan mengapa (pertanyaan 2)? Nyatakan peringatan praktisnya.
Pada pertanyaan 12 banyaknya angka desimal yang benar berjalan kira-kira $1 \to 3 \to 6$ . Bandingkan dengan metode bagi dua (membelah dua sebuah interval pada setiap langkah) lalu katakan dalam satu kalimat mengapa kalkulator, penerima sistem penentu posisi dan pelatihan jaringan saraf tiruan semuanya berjalan di atas gagasan Newton.

Bagian IV — Balok terkuat. Sebuah balok persegi panjang berlebar $w$ dan bertinggi $d$ digergaji dari sebatang gelondong bundar berdiameter $30$ cm, sehingga $w^2 + d^2 = 900$ . Kekakuan sebuah balok sebanding dengan $w d^2$ (tingginya terhitung dua kali: gelagar dipasang berdiri!).

Nyatakan kekakuannya sebagai fungsi $w$ saja: $S(w) = 900w - w^3$ , pada interval yang mana?
Turunkan, susun tabel variasinya, lalu carilah $w$ dan $d$ yang optimum (nilai eksaknya, lalu sampai satuan milimeter).
Tunjukkan bahwa perbandingan optimumnya memenuhi $d = w\sqrt2$ — rasio para tukang kayu zaman dahulu. (Cerita tambahan: membagi diameter gelondongnya menjadi tiga bagian sama panjang lalu menegakkan garis tegak lurus sampai lingkarannya melukis persis persegi panjang ini.)
Pilihan yang naif adalah balok persegi ( $w = d$ ). Hitunglah kekakuannya dan kekakuan balok optimumnya, lalu berikan keuntungan tukang kayunya dalam persen.
Penutup — ketiga pekerjaan garis singgung itu, masing-masing dalam satu kalimat: geometri (teorema cermin), numerik (mesin Newton), pengoptimuman (baloknya), semuanya digerakkan oleh objek yang sama. Lalu penunjuk ke depan: tahun berikutnya menambahkan kecembungan — sisi kurva tempat garis singgungnya berada — untuk mempertajam ketiganya.

Solusi

Solusi Soal 12.1.

1. $f'(x) = 6x - 5$ ; $g'(x) = 3x^2 - 12$ . Dari definisinya: $\frac{(1 + h)^2 - 1}{h} = 2 + h \to 2$ : jadi turunan $x^2$ di $1$ adalah $2$ .

2. $g(2) = 8 - 24 = -16$ dan $g'(2) = 12 - 12 = 0$ : garis singgungnya adalah garis mendatar $y = -16$ . Garis singgung mendatar mengisyaratkan sebuah titik kritis — di sini sebuah minimum lokal, seperti dibenarkan tabel variasi pada pertanyaan 5.

3. Gradiennya $2a$ di $(a, a^2)$ : $y = a^2 + 2a(x - a) = 2ax - a^2$ .

4. Di $x = 0$ : $y = -a^2$ : garis singgungnya memotong sumbunya sedalam $a^2$ di bawah titik asal — persis sejauh di bawah nol seperti $P$ berada di atasnya. Resepnya: untuk menggambar garis singgung di titik yang tingginya $h$ , hubungkan titik itu dengan titik pada sumbu sedalam $h$ di bawah titik asal. (Tanpa perlu turunan di meja gambar.)

5. $g'(x) = 3(x^2 - 4)$ : positif pada $\intoo{-\infty}{-2}$ , negatif pada $\intoo{-2}{2}$ , dan positif sesudahnya. Jadi $g$ naik sampai maksimum lokal $g(-2) = 16$ , jatuh sampai minimum lokal $g(2) = -16$ , lalu naik lagi.

6. $F\left(0, \frac14\right)$ dan $T(0, -a^2)$ : $FT = \frac14 + a^2$ .

7. $FP = a^2 + \frac14 = FT$ : sama kaki di $F$ , sehingga kedua sudut alasnya sama: $\widehat{FTP} = \widehat{FPT}$ .

8. Sinar datang di $P$ tegak, jadi sejajar dengan garis $(TF)$ (yaitu sumbu $y$ ). Garis singgung $(TP)$ memotong kedua sejajar itu, sehingga sudut antara sinar dan garis singgungnya sama dengan $\widehat{FTP}$ (sudut berseberangan) — yang sama dengan $\widehat{FPT}$ , yaitu sudut antara $[PF]$ dan garis singgungnya. Jadi sudutnya sama besar pada kedua sisi garis singgung di $P$ .

9. Menurut hukum pemantulan, sinar yang tiba secara tegak di $P$ pergi sepanjang garis yang membentuk sudut sama besar di sisi lainnya — menurut pertanyaan 8, sepanjang $[PF]$ : yaitu melalui fokusnya, berapa pun $a$ . Sebaliknya, cahaya yang lahir di $F$ meninggalkan setiap titik cerminnya sejajar dengan sumbunya. Antena mengumpulkan, lampu sorot memancarkan: terbukti.

10. $a = 1$ : garis singgungnya $y = 2x - 1$ , $T(0, -1)$ ; $FP = \sqrt{1 + \left(1 - \frac14\right)^2} = \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac54$ ; $FT = \frac14 + 1 = \frac54$ : sama kaki, seperti dijanjikan.

11. Garis singgung di $x_n$ adalah $y = f(x_n) + f'(x_n)(x - x_n)$ ; garis itu memotong $y = 0$ di $x = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$ .

12. $x_1 = 1 - \frac{-1}{2} = \frac32$ ; $x_2 = \frac32 - \frac{1/4}{3} = \frac{17}{12}$ ; $x_3 = \frac{577}{408}$ : yaitu hampiran Heron bagi $\sqrt2$ , alias mesin titik tetap pada Soal 3.1. Identitasnya: $x - \frac{x^2 - 2}{2x} = \frac{2x^2 - x^2 + 2}{2x} = \frac{x^2 + 2}{2x} = \frac12\left(x + \frac2x\right)$ — resep Heron adalah metode Newton yang diterapkan pada $x^2 - 2$ , dua ribu tahun lebih awal.

13. $x_1 = 5 - \frac{125 - 100}{75} = \frac{14}{3} \approx 4.6667$ ; $x_2 \approx 4.6667 - \frac{1.63}{65.33} \approx 4.6417$ . Kalkulator: $\sqrt[3]{100} = 4.6416\ldots$ — empat angka desimal yang benar dalam dua langkah.

14. $f'(2) = 0$ : garis singgung di titik awalnya mendatar (pertanyaan 2) dan tidak pernah memotong sumbunya — jadi rumusnya membagi dengan nol. Peringatannya: mulailah Newton jauh dari titik kritis (dan, lebih umum, cukup dekat ke akar yang kamu inginkan).

15. Metode bagi dua memperoleh satu angka biner per langkah; Newton kira-kira melipatduakan banyaknya angka yang benar setiap langkah (di sini $1 \to 3 \to 6$ ). Ketika setiap langkahnya mahal — jutaan parameter, navigasi waktu nyata — melipatduakan mengalahkan merayap, dan itulah sebabnya garis singgung berjalan di dalam begitu banyak kepingan silikon.

16. $d^2 = 900 - w^2$ , sehingga $S(w) = w(900 - w^2) = 900w - w^3$ , untuk $0 < w < 30$ .

17. $S'(w) = 900 - 3w^2 = 0$ di $w = \sqrt{300} = 10\sqrt3 \approx 17.3$ cm ( $S' > 0$ sebelumnya, $< 0$ sesudahnya: jadi sebuah maksimum). Lalu $d = \sqrt{600} = 10\sqrt6 \approx 24.5$ cm.

18. $\frac{d^2}{w^2} = \frac{600}{300} = 2$ , jadi $d = w\sqrt2$ : tingginya adalah lebar kali $\sqrt2$ — itulah rasio tukang kayu (dan lukisan membagi diameter menjadi tiga menghasilkannya dengan jangka, tanpa aljabar di lokasi).

19. Balok persegi: $w = d = \sqrt{450} \approx 21.2$ cm, kekakuannya $w^3 = 450^{3/2} \approx 9\,546$ . Balok optimum: $S = 10\sqrt3 \times 600 = 6\,000\sqrt3 \approx 10\,392$ . Keuntungannya: sekitar $8.9\,\%$ lebih kaku dari gelondong yang sama — turunan itu membayar ongkos penggergajian.

20. Geometri: sudut sama besar pada garis singgung mengubah sebuah paraboloid menjadi pengumpul cahaya. Numerik: meluncur menuruni garis singgung menyelesaikan persamaan dengan laju penggandaan angka. Pengoptimuman: turunan yang lenyap menemukan persegi panjang terkuat dari sebatang gelondong. Satu objek, tiga keahlian — dan kecembungan tahun berikutnya akan memberitahukan, sebagai tambahan, di sisi mana dari setiap garis singgung kurvanya berada.

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

Lihat semua 395 istilah di glosarium