Wat is Convexe functie?

Voorbeeld 22.14

Voor $f(x) = x^3$ is $f''(x) = 6x$: $f$ is concaaf op $\intoc{-\infty}{0}$ en convex op $\intco{0}{+\infty}$, met een buigpunt in de oorsprong, waar de kromme haar raaklijn (de $x$-as) kruist.

Voorbeeld 22.15 (Ongelijkheden uit convexiteit)

De exponentiële functie is convex op $\R$ (haar tweede afgeleide is ze zelf, en die is positief). Haar raaklijn in $0$ is $y = 1 + x$, dus

Zulke raaklijnongelijkheden zijn een standaardproduct van de convexiteit.

Voorbeeld 14.20 (Klassieke convexiteitsongelijkheden)

$\exp$ is convex ($\exp'' = \exp > 0$): haar raaklijn in $0$ geeft $\eu^x \geq 1 + x$ voor alle $x$. $\ln$ is concaaf: haar raaklijn in $1$ geeft $\ln x \leq x - 1$; haar koorden geven, voor $0 < a \leq b$, de ongelijkheid tussen het meetkundige en het rekenkundige gemiddelde: met $t = \frac12$ in de concaviteit is

De algemene rekenkundig–meetkundige ongelijkheid is Oefening 14.9.

Voorbeeld 14.21 (Een convexiteitsongelijkheid vanaf nul)

De functie $f(t) = t\ln t$ is convex op $\intoo{0}{+\infty}$: $f''(t) = \frac1t > 0$. Haar middenpuntsongelijkheid, met $2$ vermenigvuldigd, luidt: voor alle $a, b > 0$ is

met gelijkheid dan en slechts dan als $a = b$ (strikte convexiteit). Proefrit: $a = 1$, $b = 3$ geeft $3\ln 3 = 3.296$ tegenover $4\ln 2 = 2.773$. Deze onschuldige ongelijkheid is het tweepuntsgeval van de entropievergelijking die terugkeert met de ongelijkheid van Jensen (Oefening 14.9) en in de informatietheoretische asymptotiek van het volume van bachelorjaar 3. Het afsluitende inzicht: wil je een ongelijkheid fabriceren, zoek dan een functie waarvan de tweede afgeleide een teken heeft en schrijf op wat de convexiteit zegt — de karakterisering met afgeleiden zet één tekencontrole om in oneindig veel ongelijkheden.

Voorbeeld 14.24 (De ongelijkheid van Young uit de concaviteit)

Zij $p, q > 1$ met $\frac1p + \frac1q = 1$. Voor alle $a, b > 0$ geldt

Bewijs met één toepassing van de concaviteit van $\ln$ met gewichten $\frac1p, \frac1q$ (de tweepuntsongelijkheid van Jensen, zoals in Oefening 14.9):

en omdat $\ln$ stijgend is, wordt de ongelijkheid tussen de logaritmen omgezet in de bewering; gelijkheid dan en slechts dan als $a^p = b^q$ (strikte concaviteit). Het geval $p = q = 2$ is de rekenkundig–meetkundige ongelijkheid $ab \leq \frac{a^2 + b^2}{2}$ in vermomming. Het afsluitende inzicht: de ongelijkheid van Young is de algebraïsche kiem van de ongelijkheden van Hölder en Minkowski uit het volume van bachelorjaar 2 — één concaviteitsuitspraak over $\ln$, geoogst voor normen.