Wiskunde bovenbouw · Grades 10–12

22Afgeleiden en convexiteit

De afgeleide meet de ogenblikkelijke veranderingssnelheid van een functie; ze is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan haar grafiek. Dit hoofdstuk herneemt en verruimt de rekenregels voor afgeleiden, verbindt het teken van $f'$ met het verloop van $f$ , en voert de convexiteit in, die door de tweede afgeleide bestuurd wordt.

22.1 De afgeleide

Definitie 22.1 (Afgeleide in een punt)

Zij $f$ gedefinieerd op een interval $I$ en $a \in I$ . De functie $f$ is differentieerbaar in $a$ wanneer het differentiequotiënt

\frac{f(a+h) - f(a)}{h}

een eindige limiet heeft voor $h \to 0$ . Die limiet heet de afgeleide van $f$ in $a$ en wordt $f'(a)$ geschreven. Is $f$ in elk punt van $I$ differentieerbaar, dan is de functie $f' \colon x \mapsto f'(x)$ de afgeleide van $f$ .

Definitie 22.2 (Raaklijn)

Is $f$ differentieerbaar in $a$ , dan is de raaklijn aan de kromme van $f$ in het punt $(a, f(a))$ de rechte met vergelijking

y = f(a) + f'(a)(x - a).

Naarmate h kleiner wordt, draait de snijlijn door A = (a, f(a)) en (a+h, f(a+h)) (oranje) naar de raaklijn in A (rood): haar richtingscoëfficiënt f(a+h)-f(a)/h streeft naar f'(a). — Naarmate $h$ kleiner wordt, draait de snijlijn door $A = (a, f(a))$ en $(a+h, f(a+h))$ (oranje) naar de raaklijn in $A$ (rood): haar richtingscoëfficiënt $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ streeft naar $f'(a)$ .

Propositie 22.3

Een functie die differentieerbaar is in $a$ , is continu in $a$ . Het omgekeerde geldt niet.

Bewijs. Voor kleine $h \neq 0$ is $f(a+h) - f(a) = h \cdot \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ . Voor $h \to 0$ streeft het rechterlid naar $0 \times f'(a) = 0$ , dus $f(a+h) \to f(a)$ . Voor het omgekeerde: $x \mapsto \abs{x}$ is continu in $0$ , maar haar differentiequotiënt in $0$ is $\frac{\abs h}{h} = \pm 1$ naargelang het teken van $h$ , en heeft geen limiet. ∎

22.1.1 Rekenregels voor afgeleiden

Propositie 22.4 (Bewerkingen)

Zijn $u, v$ differentieerbaar op $I$ en is $\lambda \in \R$ , dan zijn $u + v$ , $\lambda u$ en $uv$ differentieerbaar op $I$ , en $\frac{u}{v}$ waar $v \neq 0$ , met

(u+v)' = u' + v', \quad (\lambda u)' = \lambda u', \quad (uv)' = u'v + uv', \quad \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}.

Bewijs van de productregel. Schrijf het differentiequotiënt van $uv$ in $a$ als

\frac{u(a+h)v(a+h) - u(a)v(a)}{h} = \frac{u(a+h) - u(a)}{h}\,v(a+h) + u(a)\,\frac{v(a+h) - v(a)}{h}.

Voor $h \to 0$ is $v(a+h) \to v(a)$ door de continuïteit (Propositie 22.3), zodat het rechterlid naar $u'(a)v(a) + u(a)v'(a)$ streeft. De andere regels bewijs je op dezelfde manier. ∎

Stelling 22.5 (Kettingregel)

Zij $u$ differentieerbaar op $I$ met waarden in $J$ , en $g$ differentieerbaar op $J$ . Dan is $g \circ u$ differentieerbaar op $I$ en geldt

(g \circ u)' = (g' \circ u) \cdot u' .

In het bijzonder geldt voor differentieerbare $u$ :

(u^n)' = n\,u'\,u^{n-1} \ (n \in \Z), \qquad \left(\sqrt{u}\right)' = \frac{u'}{2\sqrt{u}} \ (u > 0), \qquad \left(\eu^{u}\right)' = u'\,\eu^{u}.

Schets van het bewijs. Wanneer $u(a+h) \neq u(a)$ voor kleine $h$ , schrijf je

\frac{g(u(a+h)) - g(u(a))}{h} = \frac{g(u(a+h)) - g(u(a))}{u(a+h) - u(a)} \cdot \frac{u(a+h) - u(a)}{h}.

Voor $h \to 0$ is $u(a+h) \to u(a)$ , zodat de eerste factor naar $g'(u(a))$ streeft en de tweede naar $u'(a)$ . (Een volledig bewijs moet ook het geval behandelen waarin $u(a+h) = u(a)$ voor willekeurig kleine $h$ ; dat technische punt komt aan de universiteit aan bod.) ∎

Voorbeeld 22.6

De gebruikelijke afgeleiden, geldig op de natuurlijke domeinen:

(x^n)' = nx^{n-1}, \quad \left(\frac{1}{x}\right)' = -\frac{1}{x^2}, \quad (\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}, \quad (\cos x)' = -\sin x, \quad (\sin x)' = \cos x .

De eerste bewijs je met inductie uit de productregel, en de laatste twee in Hoofdstuk 24.

22.2 Verloop en extrema

Stelling 22.7 (Teken van de afgeleide en verloop)

Zij $f$ differentieerbaar op een interval $I$ .

$f$ is stijgend op $I$ dan en slechts dan als $f' \geq 0$ op $I$ .
$f$ is dalend op $I$ dan en slechts dan als $f' \leq 0$ op $I$ .
Is $f' > 0$ op $I$ behalve in eindig veel punten waar ze verdwijnt, dan is $f$ strikt stijgend op $I$ .

Gedeeltelijk bewijs. Is $f$ stijgend, dan is elk differentiequotiënt $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ groter dan of gelijk aan $0$ , en overgaan naar de limiet geeft $f'(a) \geq 0$ . De omgekeerde implicaties steunen op de middelwaardestelling, die aan de universiteit bewezen wordt; ze worden op dit niveau aangenomen. ∎

Definitie 22.8 (Lokaal extremum)

$f$ heeft in $a$ een lokaal maximum wanneer $f(x) \leq f(a)$ voor alle $x$ in de buurt van $a$ ; lokale minima worden symmetrisch gedefinieerd.

Propositie 22.9 (Eerste-ordevoorwaarde)

Is $f$ differentieerbaar op een open interval $I$ en heeft ze in $a \in I$ een lokaal extremum, dan is $f'(a) = 0$ . Het omgekeerde geldt niet ( $f(x) = x^3$ in $a = 0$ ).

Bewijs. Zeg dat $a$ een lokaal maximum is. Voor kleine $h > 0$ is $\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \leq 0$ , dus geeft $h \to 0^+$ dat $f'(a) \leq 0$ ; voor $h < 0$ is het quotiënt $\geq 0$ , wat $f'(a) \geq 0$ geeft. Bijgevolg is $f'(a) = 0$ . ∎

In een lokaal extremum binnen een open interval is de raaklijn (oranje) horizontaal: f'(a) = 0. Hier is f(x) = x3 - 3x, met een lokaal maximum in -1 en een lokaal minimum in 1. — In een lokaal extremum binnen een open interval is de raaklijn (oranje) horizontaal: $f'(a) = 0$ . Hier is $f(x) = x^3 - 3x$ , met een lokaal maximum in $-1$ en een lokaal minimum in $1$ .

Methode 22.10 (Verlooptabel)

Om een functie $f$ te bestuderen: bepaal haar domein en de limieten aan de rand; bereken $f'$ en ontbind ze; bepaal het teken van $f'$ op elk deelinterval; noteer alles in een verlooptabel, met de extrema aangeduid; leid het aantal oplossingen van $f(x) = k$ af met de bijectiestelling (Stelling 21.15).

22.3 Convexiteit

Definitie 22.11 (Convexe functie)

Een functie $f$ gedefinieerd op een interval $I$ heet convex op $I$ wanneer elke koorde van haar grafiek boven de grafiek ligt: voor alle $a, b \in I$ en $t \in \intcc{0}{1}$ geldt

f\bigl((1-t)a + t b\bigr) \leq (1-t) f(a) + t f(b).

Ze heet concaaf wanneer de omgekeerde ongelijkheid geldt ( $-f$ convex).

Een convexe functie: elke koorde (rood) ligt boven de grafiek, en de grafiek ligt boven elk van haar raaklijnen (oranje). Het gestippelde lijnstuk toont de kloof tussen f ((1-t)a+tb ) en (1-t)f(a)+tf(b). — Een convexe functie: elke koorde (rood) ligt boven de grafiek, en de grafiek ligt boven elk van haar raaklijnen (oranje). Het gestippelde lijnstuk toont de kloof tussen $f\bigl((1-t)a+tb\bigr)$ en $(1-t)f(a)+tf(b)$ .

Stelling 22.12 (Convexiteit en afgeleiden)

Zij $f$ differentieerbaar op een interval $I$ . De volgende uitspraken zijn gelijkwaardig:

$f$ is convex op $I$ ;
$f'$ is stijgend op $I$ ;
de grafiek van $f$ ligt boven elk van haar raaklijnen.

Is $f$ twee keer differentieerbaar, dan zijn die uitspraken ook gelijkwaardig met $f'' \geq 0$ op $I$ .

Bewijs van (2) $\Rightarrow$ (3). Kies $a \in I$ en stel $g(x) = f(x) - f(a) - f'(a)(x-a)$ , de kloof tussen de kromme en de raaklijn in $a$ . Dan is $g$ differentieerbaar met $g'(x) = f'(x) - f'(a)$ . Is $f'$ stijgend, dan is $g' \leq 0$ op $I \cap \intoc{-\infty}{a}$ en $g' \geq 0$ op $I \cap \intco{a}{+\infty}$ : $g$ daalt vóór $a$ en stijgt erna, zodat $g$ haar minimum $g(a) = 0$ bereikt, en dus $g \geq 0$ . De overige implicaties worden op dit niveau aangenomen; de gelijkwaardigheid met $f'' \geq 0$ volgt uit Stelling 22.7 toegepast op $f'$ . ∎

Definitie 22.13 (Buigpunt)

Een punt waar de kromme van $f$ haar raaklijn kruist heet een buigpunt. Is $f$ twee keer differentieerbaar, dan zijn de buigpunten de punten waar $f''$ van teken verandert.

Voorbeeld 22.14

Voor $f(x) = x^3$ is $f''(x) = 6x$ : $f$ is concaaf op $\intoc{-\infty}{0}$ en convex op $\intco{0}{+\infty}$ , met een buigpunt in de oorsprong, waar de kromme haar raaklijn (de $x$ -as) kruist.

Het buigpunt van x x3 in de oorsprong: de kromme kruist haar raaklijn (oranje), concaaf links en convex rechts. — Het buigpunt van $x \mapsto x^3$ in de oorsprong: de kromme kruist haar raaklijn (oranje), concaaf links en convex rechts.

Voorbeeld 22.15 (Ongelijkheden uit convexiteit)

De exponentiële functie is convex op $\R$ (haar tweede afgeleide is ze zelf, en die is positief). Haar raaklijn in $0$ is $y = 1 + x$ , dus

\eu^x \geq 1 + x \quad \text{voor alle } x \in \R .

Zulke raaklijnongelijkheden zijn een standaardproduct van de convexiteit.

Methode 22.16 (Convexiteit gebruiken)

Om een ongelijkheid $f(x) \geq ax + b$ te bewijzen: herken de rechte als een raaklijn van een convexe $f$ en roep Stelling 22.12(3) in.
Om buigpunten te lokaliseren: los $f''(x) = 0$ op en ga na dat $f''$ daar van teken verandert.
In een verlooptabel verfijnt de convexiteit de schets van de kromme (welke kant ze op buigt).

22.4 Oefeningen

Oefening 22.1 ★

Leid de volgende functies af op hun domein:

f(x) = x^3 - 5x + 2, \quad g(x) = \frac{x}{x^2+1}, \quad h(x) = (2x+1)^5, \quad k(x) = \sqrt{x^2 + 1}.

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.1.

$f'(x) = 3x^2 - 5$ .

Quotiëntregel: $g'(x) = \dfrac{(x^2+1) - x\cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \dfrac{1 - x^2}{(x^2+1)^2}$ .

Kettingregel met $u = 2x+1$ : $h'(x) = 5 \cdot 2 \cdot (2x+1)^4 = 10(2x+1)^4$ .

Kettingregel met $u = x^2 + 1$ : $k'(x) = \dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+1}} = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}$ .

Oefening 22.2 ★

Geef de vergelijking van de raaklijn aan de kromme van $f(x) = x^2 - 3x + 1$ in het punt met abscis $a = 2$ , en bepaal de ligging van de kromme ten opzichte van die raaklijn.

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.2.

$f'(x) = 2x - 3$ , dus $f(2) = -1$ en $f'(2) = 1$ : de raaklijn is $y = -1 + (x - 2) = x - 3$ . De kloof is

f(x) - (x - 3) = x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2 \geq 0 ,

dus ligt de kromme overal boven de raaklijn en raakt ze die alleen in $x = 2$ (zoals verwacht: $f$ is convex).

Oefening 22.3 ★

Bereken met de definitie van de afgeleide

\lim_{x \to 0} \frac{(1+x)^{100} - 1}{x} \qquad\text{en}\qquad \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{4+h} - 2}{h}.

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.3.

Allebei zijn het differentiequotiënten. Met $f(x) = (1+x)^{100}$ in $0$ : $f'(x) = 100(1+x)^{99}$ , dus is de limiet $f'(0) = 100$ . Met $g(x) = \sqrt{x}$ in $4$ : $g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ , dus is de limiet $g'(4) = \frac14$ .

Oefening 22.4 ★★

Bestudeer de functie $f(x) = \dfrac{x^2 + 3}{x - 1}$ op haar domein: limieten, afgeleide, verlooptabel, lokale extrema.

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.4.

Domein $\R \setminus \{1\}$ . Limieten: in $\pm\infty$ gedraagt $f(x)$ zich als $x \to \pm\infty$ ; in $1^\pm$ streeft de teller naar $4 > 0$ en de noemer naar $0^\pm$ , dus $f \to \pm\infty$ ; de rechte $x = 1$ is een verticale asymptoot.

f'(x) = \frac{2x(x-1) - (x^2+3)}{(x-1)^2} = \frac{x^2 - 2x - 3}{(x-1)^2} = \frac{(x-3)(x+1)}{(x-1)^2}.

Bijgevolg is $f' > 0$ op $\intoo{-\infty}{-1}$ en $\intoo{3}{+\infty}$ , en $f' < 0$ op $\intoo{-1}{1}$ en $\intoo{1}{3}$ . De functie stijgt tot een lokaal maximum $f(-1) = -2$ , daalt naar $-\infty$ , springt na de asymptoot naar $+\infty$ , daalt tot een lokaal minimum $f(3) = 6$ , en stijgt daarna.

Oefening 22.5 ★★

Uit een vierkant vel karton met zijde $30\,$ cm maak je een doos zonder deksel door in de hoeken gelijke vierkanten met zijde $x$ weg te knippen en de zijden op te plooien. Bepaal de $x$ die het volume van de doos maximaal maakt.

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.5.

Voor $x \in \intoo{0}{15}$ heeft de doos een vierkant grondvlak met zijde $30 - 2x$ en hoogte $x$ , dus

V(x) = x(30 - 2x)^2 .

$V'(x) = (30-2x)^2 + x \cdot 2(30-2x)(-2) = (30-2x)(30 - 2x - 4x) = (30-2x)(30-6x)$ . Op $\intoo{0}{15}$ is $30 - 2x > 0$ , dus heeft $V'$ het teken van $30 - 6x$ : positief vóór $x = 5$ , negatief erna. Het volume is maximaal voor $x = 5$ cm, met $V(5) = 5 \times 20^2 = 2000\ \text{cm}^3$ .

Oefening 22.6 ★★

Zij $f(x) = x^4 - 4x^3 + 10$ .

Bereken $f''$ en bepaal de intervallen van convexiteit en de buigpunten van $f$ .
Toon aan dat de raaklijn in het buigpunt met abscis $2$ de kromme daar kruist.

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.6.

1. $f'(x) = 4x^3 - 12x^2$ en $f''(x) = 12x^2 - 24x = 12x(x-2)$ . Dus is $f'' > 0$ op $\intoo{-\infty}{0}$ en op $\intoo{2}{+\infty}$ (convex), en $f'' < 0$ op $\intoo{0}{2}$ (concaaf). $f''$ verandert van teken in $0$ en in $2$ : allebei buigpunten.

2. In $a = 2$ : $f(2) = 16 - 32 + 10 = -6$ , $f'(2) = 32 - 48 = -16$ , raaklijn $y = -6 - 16(x-2) = -16x + 26$ . De kloof is

g(x) = f(x) + 16x - 26 = x^4 - 4x^3 + 16x - 16 .

Omdat $g(2) = g'(2) = g''(2) = 0$ , deelt $(x-2)^3$ de uitdrukking $g$ ; delen geeft $g(x) = (x-2)^3(x+2)$ . In de buurt van $x = 2$ is $x + 2 > 0$ , dus heeft $g$ het teken van $(x-2)^3$ : negatief vóór $2$ , positief erna. De kromme kruist de raaklijn: $2$ is inderdaad een buigpunt.

Oefening 22.7 ★★

Toon met een raaklijnongelijkheid aan dat voor alle $x > 0$ geldt

\sqrt{x} \leq \frac{x + 1}{2},

en bepaal wanneer de gelijkheid optreedt. (Tip: de vierkantswortel is concaaf.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.7.

De functie $f(x) = \sqrt{x}$ voldoet aan $f''(x) = -\frac{1}{4}x^{-3/2} < 0$ op $\intoo{0}{+\infty}$ : ze is concaaf, zodat haar grafiek onder elke raaklijn ligt. De raaklijn in $a = 1$ is

y = f(1) + f'(1)(x - 1) = 1 + \tfrac12 (x-1) = \frac{x+1}{2},

waaruit $\sqrt{x} \leq \frac{x+1}{2}$ voor alle $x > 0$ . Gelijkheid betekent dat de kromme de raaklijn raakt, en dat gebeurt alleen in het raakpunt $x = 1$ . (Gelijkwaardig: $\left(\sqrt x - 1\right)^2 \geq 0$ .)

Oefening 22.8 ★★★

Zij $f$ convex en differentieerbaar op $\R$ , en stel dat $f'$ in een zeker punt $a$ verdwijnt. Toon aan dat $f(a)$ het globale minimum van $f$ op $\R$ is.

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.8.

Volgens Stelling 22.12 ligt de grafiek van een differentieerbare convexe functie boven elk van haar raaklijnen. De raaklijn in $a$ is horizontaal ( $f'(a) = 0$ ), met vergelijking $y = f(a)$ . Bijgevolg is $f(x) \geq f(a)$ voor alle $x \in \R$ : $f(a)$ is het globale minimum.

Oefening 22.9 ★★★

Toon aan dat onder alle rechthoeken met vaste omtrek $p$ het vierkant de grootste oppervlakte heeft. Toon daarna aan dat onder alle rechthoeken met vaste oppervlakte $A$ het vierkant de kleinste omtrek heeft, en leg uit hoe de twee uitspraken samenhangen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.9.

Vaste omtrek. Een rechthoek met zijden $x$ en $\frac{p}{2} - x$ ( $0 < x < \frac p2$ ) heeft oppervlakte $S(x) = x\left(\frac p2 - x\right)$ . Dan verdwijnt $S'(x) = \frac p2 - 2x$ in $x = \frac p4$ , positief ervóór en negatief erna: het maximum ligt in $x = \frac{p}{4}$ , waar beide zijden $\frac p4$ meten — een vierkant.

Vaste oppervlakte. Zijden $x$ en $\frac Ax$ geven omtrek $P(x) = 2\left(x + \frac Ax\right)$ , met $P'(x) = 2\left(1 - \frac{A}{x^2}\right)$ , negatief voor $x < \sqrt A$ en positief erna: minimum in $x = \sqrt{A}$ , opnieuw een vierkant.

Verband. De twee uitspraken zijn duaal. Stel dat een niet-vierkante rechthoek bij vaste oppervlakte $A$ de omtrek minimaal maakte; het vierkant met dezelfde omtrek zou volgens de eerste uitspraak oppervlakte $> A$ hebben, en het gelijkvormig verkleinen tot oppervlakte $A$ zou zijn omtrek strikt verkleinen — in tegenspraak met de minimaliteit. Elke uitspraak houdt de andere dus in.

22.5 Opgave: de berekening van de redder

Probleem 22.1

Weekendopgave — de snelste reddingsweg gehoorzaamt aan de wet van Snellius, de convexiteit bekrachtigt elk optimum, en het ideale blikje is precies even hoog als breed

Een strandredder ziet een zwemmer in nood — schuin verderop het strand af, in het water. Lopen gaat sneller dan zwemmen: de rechte lijn is niet de snelste weg. De weg die de tijd minimaal maakt buigt aan de waterlijn, en haar buigingswet is precies de wet waarmee licht breekt bij het binnendringen van water: ook de natuur leidt af. Deze opgave oefent de kettingregel (Stelling 22.5), voert de redding uit, oogst de ongelijkheden van de convexiteit (Stelling 22.12), en ontwerpt een blikje.

Deel I — Vlot met de kettingregel.

Leid af: $\left(3x^2 + 1\right)^5$ ; $\sqrt{x^2 + 9}$ ; $\dfrac{1}{x^2 + 1}$ .
Geef de raaklijn aan $y = \sqrt{x^2 + 9}$ in $x = 4$ .
Bouw de verlooptabel van $f(x) = \dfrac{x}{x^2 + 1}$ op $\R$ (extrema inbegrepen).
Voor $g(x) = x^3 - 3x^2 + 4$ : verlooptabel en convexiteitstabel ( $g''$ ), met het buigpunt (Definitie 22.13).
Bereken de raaklijn aan $g$ in haar buigpunt, en toon aan dat $g(x) - (\text{raaklijn}) = (x - 1)^3$ : wat zegt de tekenwissel over de manier waarop de raaklijn de kromme in een buigpunt ontmoet?

Deel II — De redding. De waterlijn loopt langs de $x$ -as; de redder staat op het zand in $A(0, 30)$ , de zwemmer wacht in $B(40, -20)$ (in meter). De redder loopt met $5$ m/s op het zand, zwemt met $2$ m/s, en gaat het water in op een zelf gekozen punt $(x, 0)$ .

Model: druk de totale reddingstijd $T(x)$ uit, en zeg waarom alleen $x \in \intcc{0}{40}$ de moeite van het bekijken waard is.
Leid $T$ af (de kettingregel aan het werk — twee keer).
Zij $\theta_1$ de hoek van het loopstuk met de loodlijn op de waterlijn, en $\theta_2$ die van het zwemstuk. Toon aan dat $\sin\theta_1 = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 900}}$ en dat de voorwaarde $T'(x) = 0$ luidt

$\frac{\sin\theta_1}{5} = \frac{\sin\theta_2}{2}$

— de wet van Snellius, met de twee snelheden in de plaats van de lichtsnelheden in lucht en in water.
Het rechte lijnstuk $[AB]$ kruist de waterlijn in $x = 24$ . Bereken $T(24)$ , $T(40)$ (langs het strand lopen en dan recht naar buiten zwemmen) en $T(0)$ : is de meetkundige rechte lijn de snelste? En is een van de uiterste strategieën dat?
Lokaliseer het optimale instappunt met bisectie op $T'$ (het ligt rond $33.7$ m): geef $x^*$ op de meter en de recordtijd $T(x^*)$ op een tiende seconde. Hoeveel wint de optimale knik ten opzichte van de rechte lijn?
Waarom is het kritieke punt een globaal minimum? (Elke term van $T$ is convex — neem aan dat een som van convexe functies convex is — en pas Oefening 22.8 toe.)
Het principe van Fermat zegt dat licht altijd de weg van de kortste tijd volgt. Leid af waarom een lichtstraal precies aan het oppervlak buigt bij het binnendringen van water (waar licht trager is), en noem de alledaagse waarneming die dit verklaart over een potlood in een glas water.

Deel III — De oogst van de convexiteit.

Toon aan dat $x \mapsto x^2$ convex is, en bewijs de middenongelijkheid $\left(\frac{a + b}{2}\right)^2 \leq \frac{a^2 + b^2}{2}$ twee keer: één keer uit de convexiteit, één keer door $(a - b)^2 \geq 0$ uit te werken.
Leid af dat het kwadratisch gemiddelde $\sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}}$ het rekenkundig gemiddelde overtreft, en stel de volledige ketting van deze reeks samen — harmonisch $\leq$ meetkundig $\leq$ rekenkundig $\leq$ kwadratisch — en ga alle vier na op $a = 2$ , $b = 8$ .
Raaklijn onder de kromme: $x \mapsto \frac1x$ is convex op $\intoo{0}{+\infty}$ ; schrijf haar raaklijn in $1$ op en leid de ongelijkheid $\frac1x \geq 2 - x$ voor alle $x > 0$ af. Waar is het een gelijkheid?
Een buigpunt in het wild: tijdens een epidemie volgt het cumulatieve aantal gevallen een S-vormige kromme. Wat gebeurt er in haar buigpunt, en waarom is dat de datum waar epidemiologen naar uitkijken? Breng het in verband met het teken van de tweede afgeleide aan elke kant.

Deel IV — Het ideale blikje. Een cilindrisch blikje moet $V = 330$ cm $^3$ bevatten met zo weinig mogelijk metaal: oppervlakte $S = 2\pi r^2 + 2\pi r h$ , met de voorwaarde $\pi r^2 h = V$ .

Druk $S(r) = 2\pi r^2 + \dfrac{2V}{r}$ uit, leid af, en bereken de optimale straal en hoogte voor $V = 330$ (op de millimeter nauwkeurig).
Bewijs de sierlijke algemene wet: in het optimum is $h = 2r$ — het ideale blikje is precies even hoog als breed.
Ga $S''(r) > 0$ na en besluit (opnieuw via Oefening 22.8) dat het optimum globaal is. Echte frisdrankblikjes zijn zichtbaar hoger dan breed: noem een niet-wiskundige reden.
Slotstuk — de pijplijn van het optimaliseren: modelleren, de afgeleide raadplegen, de kritieke punten oplossen, bekrachtigen met convexiteit of een tabel, en duiden. Loop de lijst af voor de redder, het blikje en de sterkste balk uit jaar 11 (Probleem 12.1) — en zeg wat het principe van Fermat vertelt over wie er nog meer met deze pijplijn werkt.

Oplossing

Oplossing van Probleem 22.1.

1. $30x\left(3x^2 + 1\right)^4$ ; $\dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 9}}$ ; $-\dfrac{2x}{\left(x^2 + 1\right)^2}$ .

2. $y(4) = 5$ , richtingscoëfficiënt $\frac45$ : raaklijn $y = 5 + \frac45(x - 4)$ , dus $y = \frac45 x + \frac95$ .

3. $f'(x) = \frac{(x^2 + 1) - x \cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2}$ : negatief, positief, negatief over $-1$ en $1$ heen: minimum $f(-1) = -\frac12$ , maximum $f(1) = \frac12$ , met horizontale asymptoot $0$ aan beide kanten.

4. $g'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$ : stijgend, dalend, stijgend over $0$ en $2$ heen; lokaal maximum $g(0) = 4$ , lokaal minimum $g(2) = 0$ . $g''(x) = 6x - 6$ : concaaf vóór $1$ , convex erna: buigpunt in $(1, 2)$ .

5. Raaklijn in $1$ : richtingscoëfficiënt $g'(1) = -3$ , dus $y = 2 - 3(x - 1) = -3x + 5$ . Verschil: $x^3 - 3x^2 + 4 - (-3x + 5) = x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = (x - 1)^3$ , dat in $1$ van teken verandert: de raaklijn kruist de kromme — het kenmerkende gedrag in een buigpunt, waar de kromme van kant wisselt.

6. $T(x) = \dfrac{\sqrt{x^2 + 900}}{5} + \dfrac{\sqrt{(40 - x)^2 + 400}}{2}$ . Het water invóór $0$ of voorbij $40$ verlengt beide stukken: zinloos.

7. $T'(x) = \dfrac{x}{5\sqrt{x^2 + 900}} - \dfrac{40 - x}{2\sqrt{(40 - x)^2 + 400}}$ .

8. In de loopdriehoek is de zijde langs de waterlijn $x$ en de schuine zijde $\sqrt{x^2 + 900}$ : de sinus van de hoek met de loodlijn is precies hun quotiënt (overstaande zijde op schuine zijde); net zo is $\sin\theta_2 = \frac{40 - x}{\sqrt{(40-x)^2 + 400}}$ . Dan luidt $T'(x) = 0$ als $\frac{\sin\theta_1}{5} = \frac{\sin\theta_2}{2}$ — de wet van Snellius, met de snelheden $5$ en $2$ .

9. $T(24) \approx 20.5$ s; $T(40) = 10 + 10 = 20$ s; $T(0) = 6 + \sqrt{2000}/2 \approx 28.4$ s. De rechte lijn verliest zelfs van “helemaal langs het strand lopen en dan recht naar buiten zwemmen” — en allebei verliezen ze van de gebroken weg.

10. Bisectie op $T'$ (negatief in $24$ , positief in $40$ ) convergeert naar $x^* \approx 34$ m, met $T(x^*) \approx 19.5$ s: ongeveer één seconde sneller dan de rechte lijn — het verschil tussen een redding en een drama.

11. Elke deeltijd is een convexe functie van $x$ (een tak van de vorm $\sqrt{\text{kwadratische uitdrukking}}$ ), dus is $T$ convex, en een kritiek punt van een convexe differentieerbare functie is haar globale minimum (Oefening 22.8): $x^*$ is niet zomaar stationair, hij is onverslaanbaar.

12. Licht is trager in water; volgens het principe van Fermat buigt de snelste weg van lucht naar water aan het oppervlak precies volgens de wet van Snellius — zodat stralen van een ondergedompeld potlood gebroken bij het oog aankomen, en de hersenen, die rechte lijnen doortrekken, het potlood aan de waterlijn gebroken zien.

13. $(x^2)'' = 2 > 0$ : convex. Convexiteit in het midden: $f\left(\frac{a+b}{2}\right) \leq \frac{f(a) + f(b)}{2}$ , en dat is de bewering. Met de hand: $\frac{a^2 + b^2}{2} - \left(\frac{a+b}{2}\right)^2 = \frac{(a - b)^2}{4} \geq 0$ .

14. De vierkantswortel (stijgend) nemen in vraag 13 geeft $\frac{a + b}{2} \leq \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}}$ . De volledige ketting op $2$ en $8$ : harmonisch $\frac{2 \cdot 16}{10} = 3.2$ ; meetkundig $\sqrt{16} = 4$ ; rekenkundig $5$ ; kwadratisch $\sqrt{34} \approx 5.83$ : elk gemiddelde buigt voor het volgende.

15. Raaklijn aan $\frac1x$ in $1$ : waarde $1$ , richtingscoëfficiënt $-1$ : $y = 2 - x$ . Convexe krommen liggen boven hun raaklijnen (Stelling 22.12): $\frac1x \geq 2 - x$ voor alle $x > 0$ , met gelijkheid precies in het raakpunt $x = 1$ .

16. In het buigpunt bereikt het dagelijkse aantal gevallen (de afgeleide) haar top: de groei houdt op te versnellen en begint te vertragen — het eerste wiskundige signaal dat de golf keert, lang voordat de aantallen zelf dalen. Ervóór is $f'' > 0$ (elke dag erger dan de vorige); erna is $f'' < 0$ (nog groeiend, maar trager).

17. $S'(r) = 4\pi r - \frac{2V}{r^2} = 0$ geeft $r^3 = \frac{V}{2\pi} = \frac{330}{2\pi}$ : $r \approx 3.74$ cm, en $h = \frac{330}{\pi r^2} \approx 7.49$ cm.

18. In het optimum is $h = \frac{V}{\pi r^2} = \frac{2\pi r^3}{\pi r^2} = 2r$ : de hoogte is gelijk aan de diameter, wat het volume ook is.

19. $S''(r) = 4\pi + \frac{4V}{r^3} > 0$ : convex, dus is de kritieke straal het globale minimum. Echte blikjes staan hoger omwille van de grip, het stapelen, de zichtbaarheid in het rek en het dikkere metaal boven en onder — optimaliseren minimaliseert altijd precies wat je opschreef, niet wat je bedoelde.

20. De redder: modelleer $T(x)$ , leid af, Snellius, convexiteit, één seconde gewonnen. Het blikje: modelleer $S(r)$ , leid af, $h = 2r$ , convexiteit, metaal gespaard. De balk (Probleem 12.1): modelleer $S(w)$ , leid af, $d = w\sqrt2$ , tabel, stijfheid gewonnen. En volgens het principe van Fermat doorloopt het licht zelf die pijplijn aan elk oppervlak dat het tegenkomt — de natuur was de eerste optimaliseerder.