Wat is Raaklijn? — Wiskunde

Definitie 22.2 Wiskunde bovenbouw · Hoofdstuk 22 — Afgeleiden en convexiteit

Is $f$ differentieerbaar in $a$ , dan is de raaklijn aan de kromme van $f$ in het punt $(a, f(a))$ de rechte met vergelijking

y = f(a) + f'(a)(x - a).

Naarmate h kleiner wordt, draait de snijlijn door A = (a, f(a)) en (a+h, f(a+h)) (oranje) naar de raaklijn in A (rood): haar richtingscoëfficiënt f(a+h)-f(a)/h streeft naar f'(a). — Naarmate $h$ kleiner wordt, draait de snijlijn door $A = (a, f(a))$ en $(a+h, f(a+h))$ (oranje) naar de raaklijn in $A$ (rood): haar richtingscoëfficiënt $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ streeft naar $f'(a)$ .

Voorbeelden

Voorbeeld 22.14

Voor $f(x) = x^3$ is $f''(x) = 6x$ : $f$ is concaaf op $\intoc{-\infty}{0}$ en convex op $\intco{0}{+\infty}$ , met een buigpunt in de oorsprong, waar de kromme haar raaklijn (de $x$ -as) kruist.

Voorbeeld 22.15 (Ongelijkheden uit convexiteit)

De exponentiële functie is convex op $\R$ (haar tweede afgeleide is ze zelf, en die is positief). Haar raaklijn in $0$ is $y = 1 + x$ , dus

\eu^x \geq 1 + x \quad \text{voor alle } x \in \R .

Zulke raaklijnongelijkheden zijn een standaardproduct van de convexiteit.

Lees in het hoofdstuk →

Voorbeelden

Verwante begrippen