Mathematics · Book 2 · Grades 10–12

Wiskunde bovenbouw

Wiskunde bovenbouw · Grades 10–12

28Complexe getallen

De vergelijking x2=−1x^2 = -1 heeft geen reële oplossing. R\R uitbreiden met één nieuw getal i\iu waarvan het kwadraat −1-1 is, produceert het lichaam C\C van de complexe getallen, waarin elke polynoomvergelijking oplossingen heeft — en waarvan de rekenkunde de meetkunde van het vlak codeert: translaties, rotaties en schalingen worden optellingen en vermenigvuldigingen.

28.1 Algebraïsche vorm

Definitie 28.1 (Complexe getallen)

De verzameling van complexe getallen is

C={a+ib:a,b∈R},\C = \{a + \iu b : a, b \in \R\},

waar i\iu een symbool is onderworpen aan de enige regel i2=−1\iu^2 = -1; optelling en vermenigvuldiging gebeuren als voor reële polynomen in i\iu, waarbij i2\iu^2 tot −1-1 gereduceerd wordt. De reële getallen aa en bb zijn het reële deel Re⁡(z)\Rea(z) en het imaginaire deel Im⁡(z)\Ima(z) van z=a+ibz = a + \iu b; deze uitdrukking is de algebraïsche vorm van zz, en zij is uniek: a+ib=a′+ib′a + \iu b = a' + \iu b' dan en slechts dan als a=a′a = a' en b=b′b = b'.

Voorbeeld 28.2

(2+3i)(1−i)=2−2i+3i−3i2=5+i(2 + 3\iu)(1 - \iu) = 2 - 2\iu + 3\iu - 3\iu^2 = 5 + \iu.

Definitie 28.3 (Geconjugeerde)

De geconjugeerde van z=a+ibz = a + \iu b is z‾=a−ib\conj{z} = a - \iu b.

Propositie 28.4 (Eigenschappen van conjugatie)

Voor alle z,w∈Cz, w \in \C:

z+w‾=z‾+w‾,zw‾=z‾ w‾,z‾‾=z,z+z‾=2Re⁡(z),z−z‾=2i Im⁡(z),\conj{z + w} = \conj z + \conj w, \quad \conj{zw} = \conj z\,\conj w, \quad \conj{\conj z} = z, \quad z + \conj z = 2\Rea(z), \quad z - \conj z = 2\iu\,\Ima(z),

en zz‾=a2+b2≥0z\conj z = a^2 + b^2 \geq 0 voor z=a+ibz = a + \iu b. Bovendien z∈Rz \in \R dan en slechts dan als z=z‾z = \conj z.

Bewijs. Alles volgt door directe berekening uit de algebraïsche vormen; bijvoorbeeld zz‾=(a+ib)(a−ib)=a2−(ib)2=a2+b2z\conj z = (a + \iu b)(a - \iu b) = a^2 - (\iu b)^2 = a^2 + b^2. ∎

Methode 28.5 (Complexe getallen delen)

Om een quotiënt in algebraïsche vorm te schrijven, vermenigvuldig teller en noemer met de geconjugeerde van de noemer:

12+i=2−i(2+i)(2−i)=2−i5=25−15i.\frac{1}{2 + \iu} = \frac{2 - \iu}{(2+\iu)(2-\iu)} = \frac{2 - \iu}{5} = \frac25 - \frac15\iu .

Elk niet-nul complex getal heeft dus een inverse: C\C is een lichaam.

28.2 Het complexe vlak, modulus en argument

Definitie 28.6 (Affix, modulus)

In het vlak met orthonormale coördinaten is het punt M(a,b)M(a, b) het beeld van z=a+ibz = a + \iu b, en zz is de affix van MM. De modulus van zz is de afstand van MM tot de oorsprong:

∣z∣=a2+b2=zz‾.\abs{z} = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{z\conj z}.
Het punt M(a,b) van affix z: de modulus z is de lengte OM, en de geconjugeerde z is de spiegeling van z in de reële as.
Het punt M(a,b)M(a,b) van affix zz: de modulus ∣z∣\abs z is de lengte OMOM, en de geconjugeerde z‾\conj z is de spiegeling van zz in de reële as.

Propositie 28.7 (Eigenschappen van de modulus)

Voor z,w∈Cz, w \in \C:

∣zw∣=∣z∣ ∣w∣,∣zw∣=∣z∣∣w∣ (w≠0),∣z‾∣=∣z∣,∣z+w∣≤∣z∣+∣w∣ (driehoeksongelijkheid).\begin{gather*} \abs{zw} = \abs z\,\abs w, \qquad \abs{\tfrac zw} = \tfrac{\abs z}{\abs w}\ (w \neq 0), \qquad \abs{\conj z} = \abs z, \\ \abs{z + w} \leq \abs{z} + \abs{w} \ \text{(driehoeksongelijkheid)}. \end{gather*}

Bovendien is ∣zB−zA∣\abs{z_B - z_A} de afstand tussen de punten met affixen zAz_A en zBz_B.

Bewijs. ∣zw∣2=zw zw‾=zz‾ ww‾=∣z∣2∣w∣2\abs{zw}^2 = zw\,\conj{zw} = z\conj z\, w \conj w = \abs z^2 \abs w^2 geeft de eerste; de tweede en derde zijn analoog. Voor de driehoeksongelijkheid:

∣z+w∣2=(z+w)(z‾+w‾)=∣z∣2+∣w∣2+2Re⁡(zw‾)≤∣z∣2+∣w∣2+2∣zw‾∣=(∣z∣+∣w∣)2,\abs{z+w}^2 = (z+w)(\conj z + \conj w) = \abs z^2 + \abs w^2 + 2\Rea(z \conj w) \leq \abs z^2 + \abs w^2 + 2\abs{z\conj w} = \bigl(\abs z + \abs w\bigr)^2,

met Re⁡(u)≤∣u∣\Rea(u) \leq \abs u. De afstandsuitspraak is de stelling van Pythagoras toegepast op de coördinaten van zB−zAz_B - z_A. ∎

Definitie 28.8 (Argument, goniometrische en exponentiële vormen)

Laat z≠0z \neq 0. Een argument van zz, geschreven arg⁡(z)\Arg(z), is elke maat θ\theta van de hoek van de positieve reële as naar de straal OMOM; zij is gedefinieerd op 2kπ2k\pi na. Met r=∣z∣r = \abs z,

z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)(goniometrische vorm).z = r(\cos\theta + \iu\sin\theta) \qquad\text{(goniometrische vorm)}.

Met de notatie

eiθ=cos⁡θ+isin⁡θ,\eu^{\iu\theta} = \cos\theta + \iu\sin\theta,

wordt dit de exponentiële vorm z=r eiθz = r\,\eu^{\iu\theta}.

Exponentiële vorm: z wordt bepaald door haar afstand r tot de oorsprong en de hoek vanaf de positieve reële as.
Exponentiële vorm: zz wordt bepaald door haar afstand rr tot de oorsprong en de hoek θ\theta vanaf de positieve reële as.

Stelling 28.9

Voor alle θ,θ′∈R\theta, \theta' \in \R:

eiθ eiθ′=ei(θ+θ′),eiθ‾=e−iθ,∣eiθ∣=1.\eu^{\iu\theta}\,\eu^{\iu\theta'} = \eu^{\iu(\theta + \theta')}, \qquad \conj{\eu^{\iu\theta}} = \eu^{-\iu\theta}, \qquad \abs{\eu^{\iu\theta}} = 1 .

Bijgevolg, voor z=reiθz = r\eu^{\iu\theta} en z′=r′eiθ′z' = r'\eu^{\iu\theta'} niet-nul:

zz′=rr′ ei(θ+θ′),zz′=rr′ ei(θ−θ′):zz' = rr'\,\eu^{\iu(\theta+\theta')}, \qquad \frac{z}{z'} = \frac{r}{r'}\,\eu^{\iu(\theta - \theta')} :

moduli vermenigvuldigen, argumenten tellen op.

Bewijs. De eerste identiteit is het paar optelformules (Propositie 24.3):

(cos⁡θ+isin⁡θ)(cos⁡θ′+isin⁡θ′)=(cos⁡θcos⁡θ′−sin⁡θsin⁡θ′)+i(sin⁡θcos⁡θ′+cos⁡θsin⁡θ′).(\cos\theta + \iu\sin\theta)(\cos\theta' + \iu\sin\theta') = (\cos\theta\cos\theta' - \sin\theta\sin\theta') + \iu(\sin\theta\cos\theta' + \cos\theta\sin\theta').

De rest volgt door directe berekening. ∎

Gevolg 28.10 (Formule van de Moivre)

Voor θ∈R\theta \in \R en n∈Zn \in \Z: (cos⁡θ+isin⁡θ)n=cos⁡nθ+isin⁡nθ\bigl(\cos\theta + \iu\sin\theta\bigr)^n = \cos n\theta + \iu \sin n\theta.

Bewijs. Inductie op n≥0n \geq 0 met Stelling 28.9; uitbreiden naar n<0n < 0 door inverses te nemen. ∎

Methode 28.11 (Tussen vormen wisselen)

Van algebraïsch naar exponentieel: bereken r=∣z∣r = \abs z, vind daarna θ\theta met cos⁡θ=ar\cos\theta = \frac ar, sin⁡θ=br\sin\theta = \frac br (bepaal het juiste kwadrant vóór een inverse cosinus). Van exponentieel naar algebraïsch: ontwikkel rcos⁡θ+i rsin⁡θr\cos\theta + \iu\, r\sin\theta. Gebruik de algebraïsche vorm voor sommen, de exponentiële voor producten, machten en quotiënten.

Voorbeeld 28.12

z=1+iz = 1 + \iu: ∣z∣=2\abs z = \sqrt2 en cos⁡θ=sin⁡θ=12\cos\theta = \sin\theta = \frac{1}{\sqrt2}, dus θ=π4\theta = \frac\pi4 en z=2 eiπ/4z = \sqrt2\,\eu^{\iu\pi/4}. Dus z20=210 e5iπ=−1024z^{20} = 2^{10}\,\eu^{5\iu\pi} = -1024.

28.3 Tweedegraadsvergelijkingen en eenheidswortels

Stelling 28.13 (Kwadratische vergelijkingen met reële coëfficiënten)

Laat a,b,c∈Ra, b, c \in \R, a≠0a \neq 0, en Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac. De vergelijking az2+bz+c=0az^2 + bz + c = 0 heeft oplossingen in C\C:

Δ>0: z=−b±Δ2a (twee ree¨le);Δ=0: z=−b2a (dubbel);Δ<0: z=−b±i−Δ2a (twee geconjugeerde).\begin{aligned} &\Delta > 0:\ z = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \ (\text{twee reële}); \qquad \Delta = 0:\ z = \frac{-b}{2a} \ (\text{dubbel}); \\ &\Delta < 0:\ z = \frac{-b \pm \iu\sqrt{-\Delta}}{2a} \ (\text{twee geconjugeerde}). \end{aligned}

Bewijs. Maak het kwadraat af: az2+bz+c=a((z+b2a)2−Δ4a2)az^2 + bz + c = a\left(\left(z + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta}{4a^2}\right). Als Δ<0\Delta < 0, dan Δ4a2=(i−Δ2a)2\frac{\Delta}{4a^2} = \left(\iu\frac{\sqrt{-\Delta}}{2a}\right)^2, en het verschil van kwadraten factort zoals gewoonlijk. ∎

Definitie 28.14 (Eenheidswortels)

Voor n≥1n \geq 1 zijn de nn-de eenheidswortels de oplossingen van zn=1z^n = 1.

Stelling 28.15

De vergelijking zn=1z^n = 1 heeft precies nn oplossingen:

ωk=e2ikπ/n,k=0,1,…,n−1.\omega_k = \eu^{2\iu k\pi/n}, \qquad k = 0, 1, \dots, n-1 .

Hun beelden zijn de hoekpunten van een regelmatige nn-hoek ingeschreven in de eenheidscirkel, en voor n≥2n \geq 2 is hun som 00.

Bewijs. Elke ωk\omega_k voldoet aan ωkn=e2ikπ=1\omega_k^n = \eu^{2\iu k\pi} = 1, en ze zijn paarsgewijs verschillend omdat hun argumenten in [0, 2π)\intco{0}{2\pi} liggen. Omgekeerd, als zn=1z^n = 1 dan ∣z∣n=1\abs z^n = 1, dus ∣z∣=1\abs z = 1 (positief reëel) en z=eiθz = \eu^{\iu\theta} met nθ≡0(mod2π)n\theta \equiv 0 \pmod{2\pi}, d.w.z. θ=2kπn\theta = \frac{2k\pi}{n}; kk modulo nn reduceren landt onder de ωk\omega_k. De hoekpunten liggen op gelijke hoeken 2πn\frac{2\pi}{n}: een regelmatige nn-hoek. Ten slotte, met ω=ω1\omega = \omega_1, ω≠1\omega \neq 1 en de geometrische som:

∑k=0n−1ωk=∑k=0n−1ωk=ωn−1ω−1=0.\sum_{k=0}^{n-1}\omega_k = \sum_{k=0}^{n-1}\omega^k = \frac{\omega^n - 1}{\omega - 1} = 0 . \qedhere

∎

De vijfde eenheidswortels, = 2 π/5: de hoekpunten van een regelmatige vijfhoek ingeschreven in de eenheidscirkel ().
De vijfde eenheidswortels, ω=e2iπ/5\omega = \eu^{2\iu\pi/5}: de hoekpunten van een regelmatige vijfhoek ingeschreven in de eenheidscirkel (Oefening 28.10).

Voorbeeld 28.16

De derdemachtswortels van de eenheid zijn 11, j=e2iπ/3=−12+i32j = \eu^{2\iu\pi/3} = -\frac12 + \iu\frac{\sqrt3}{2} en j‾=j2\conj j = j^2, met 1+j+j2=01 + j + j^2 = 0.

28.4 Complexe getallen en vlakke meetkunde

Propositie 28.17 (Meetkundig woordenboek)

Laat A,B,C,DA, B, C, D punten zijn met affixen a,b,c,da, b, c, d (a≠ba \neq b, c≠dc \neq d).

  1. De translatie over de vector van affix tt is z↦z+tz \mapsto z + t.
  2. De rotatie met middelpunt ω\omega (affix) en hoek θ\theta is z↦ω+eiθ(z−ω)z \mapsto \omega + \eu^{\iu\theta}(z - \omega).
  3. De homothetie met middelpunt ω\omega en verhouding k∈R∗k \in \R^* is z↦ω+k(z−ω)z \mapsto \omega + k(z - \omega).
  4. d−cb−a\dfrac{d - c}{b - a} heeft modulus CDAB\dfrac{CD}{AB} en argument de hoek tussen de vectoren AB→\vect{AB} en CD→\vect{CD}. In het bijzonder: AB⊥CDAB \perp CD dan en slechts dan als d−cb−a\frac{d-c}{b-a} zuiver imaginair is, en A,B,CA, B, C zijn collineair (C≠AC \ne A, C≠BC\ne B) dan en slechts dan als c−ab−a∈R\frac{c-a}{b-a} \in \R.

Bewijs. (1) en (3) herformuleren de coördinaatformules. Voor (2): de afbeelding w↦eiθww \mapsto \eu^{\iu\theta} w vermenigvuldigt moduli met 11 en telt θ\theta bij argumenten op: het is de rotatie over hoek θ\theta om de oorsprong; conjugeren met de translatie die ω\omega naar 00 stuurt geeft het algemene middelpunt. Voor (4): moduli en argumenten van quotiënten trekken af (Stelling 28.9). ∎

28.5 Oefeningen

Oefening 28.1 ★

Schrijf in algebraïsche vorm: (3−2i)(1+4i)(3 - 2\iu)(1 + 4\iu), 2+i1−i\dfrac{2 + \iu}{1 - \iu}, i2027\iu^{2027}.

Oplossing

Oplossing van Oefening 28.1.

(3−2i)(1+4i)=3+12i−2i−8i2=11+10i(3-2\iu)(1+4\iu) = 3 + 12\iu - 2\iu - 8\iu^2 = 11 + 10\iu.

2+i1−i=(2+i)(1+i)(1−i)(1+i)=1+3i2=12+32i\dfrac{2+\iu}{1-\iu} = \dfrac{(2+\iu)(1+\iu)}{(1-\iu)(1+\iu)} = \dfrac{1 + 3\iu}{2} = \dfrac12 + \dfrac32\iu.

i2027\iu^{2027}: omdat i4=1\iu^4 = 1 en 2027=4×506+32027 = 4 \times 506 + 3, i2027=i3=−i\iu^{2027} = \iu^3 = -\iu.

Oefening 28.2 ★

Los op in C\C: (a) z2−4z+13=0z^2 - 4z + 13 = 0; (b) z2+z+1=0z^2 + z + 1 = 0. Controleer in elk geval dat de twee oplossingen geconjugeerd zijn en bereken hun product.

Oplossing

Oplossing van Oefening 28.2.

(a) Δ=16−52=−36\Delta = 16 - 52 = -36: z=4±6i2=2±3iz = \dfrac{4 \pm 6\iu}{2} = 2 \pm 3\iu. Geconjugeerd paar; product =4+9=13=ca= 4 + 9 = 13 = \frac ca. (b) Δ=1−4=−3\Delta = 1 - 4 = -3: z=−1±i32z = \dfrac{-1 \pm \iu\sqrt3}{2} (de derdemachtswortels van de eenheid jj en j‾\conj j); product =1+34=1= \frac{1 + 3}{4} = 1.

Oefening 28.3 ★

Zet in exponentiële vorm: z1=−1+iz_1 = -1 + \iu, z2=3−iz_2 = \sqrt3 - \iu, en bereken z1z2\dfrac{z_1}{z_2} eerst in exponentiële, daarna in algebraïsche vorm. Leid de exacte waarde van cos⁡11π12\cos\dfrac{11\pi}{12} af.

Oplossing

Oplossing van Oefening 28.3.

∣z1∣=2\abs{z_1} = \sqrt2, argument 3π4\frac{3\pi}{4} (tweede kwadrant): z1=2 e3iπ/4z_1 = \sqrt2\,\eu^{3\iu\pi/4}. ∣z2∣=2\abs{z_2} = 2, argument −π6-\frac\pi6: z2=2 e−iπ/6z_2 = 2\,\eu^{-\iu\pi/6}. Dus

z1z2=22 ei(3π4+π6)=22 e11iπ/12.\frac{z_1}{z_2} = \frac{\sqrt2}{2}\,\eu^{\iu\left(\frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{6}\right)} = \frac{\sqrt2}{2}\,\eu^{11\iu\pi/12}.

Algebraïsch,

z1z2=−1+i3−i=(−1+i)(3+i)4=−3−1+i(3−1)4.\frac{z_1}{z_2} = \frac{-1+\iu}{\sqrt3 - \iu} = \frac{(-1+\iu)(\sqrt3+\iu)}{4} = \frac{-\sqrt3 - 1 + \iu(\sqrt3 - 1)}{4}.

Identificeren van reële delen: 22cos⁡11π12=−3−14\frac{\sqrt2}{2}\cos\frac{11\pi}{12} = \frac{-\sqrt3-1}{4}, dus

cos⁡11π12=−6+24.\cos\frac{11\pi}{12} = -\frac{\sqrt6 + \sqrt2}{4}.

Oefening 28.4 ★★

Beschrijf meetkundig de verzameling van punten MM met affix zz zodat: (a) ∣z−2∣=∣z+i∣\abs{z - 2} = \abs{z + \iu}; (b) ∣z−1−i∣=3\abs{z - 1 - \iu} = 3; (c) z−1z+1\dfrac{z - 1}{z + 1} zuiver imaginair is.

Oplossing

Oplossing van Oefening 28.4.

(a) ∣z−2∣=∣z−(−i)∣\abs{z - 2} = \abs{z - (-\iu)} betekent dat MM equidistant is van A(2,0)A(2, 0) en B(0,−1)B(0, -1): de middelloodlijn van [AB][AB].

(b) Afstand 33 tot het punt (1,1)(1,1): de cirkel met middelpunt 1+i1 + \iu en straal 33.

(c) Volgens Propositie 28.17(4) betekent z−1z+1\frac{z-1}{z+1} zuiver imaginair dat de vectoren van A(1,0)A(1,0) naar MM en van B(−1,0)B(-1,0) naar MM loodrecht zijn: MM ziet het segment [AB][AB] onder een rechte hoek. De verzameling is de cirkel met diameter [AB][AB] (de eenheidscirkel) minus de punten AA en BB zelf.

Oefening 28.5 ★★

Met de formule van de Moivre en de binomiaalstelling, druk cos⁡3θ\cos 3\theta uit als een polynoom in cos⁡θ\cos\theta, en sin⁡3θ\sin 3\theta in termen van sin⁡θ\sin\theta.

Oplossing

Oplossing van Oefening 28.5.

De Moivre: cos⁡3θ+isin⁡3θ=(cos⁡θ+isin⁡θ)3\cos3\theta + \iu\sin3\theta = (\cos\theta + \iu\sin\theta)^3. Ontwikkelen met de binomiaalstelling met c=cos⁡θc = \cos\theta, s=sin⁡θs = \sin\theta:

(c+is)3=c3+3ic2s−3cs2−is3=(c3−3cs2)+i(3c2s−s3).(c + \iu s)^3 = c^3 + 3\iu c^2 s - 3 c s^2 - \iu s^3 = (c^3 - 3cs^2) + \iu(3c^2 s - s^3).

Delen identificeren en s2=1−c2s^2 = 1 - c^2, c2=1−s2c^2 = 1 - s^2 gebruiken:

cos⁡3θ=4cos⁡3θ−3cos⁡θ,sin⁡3θ=3sin⁡θ−4sin⁡3θ.\cos3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta, \qquad \sin3\theta = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta .

Oefening 28.6 ★★

(Linearisatie.) Met cos⁡θ=eiθ+e−iθ2\cos\theta = \frac{\eu^{\iu\theta} + \eu^{-\iu\theta}}{2}, lineariseer cos⁡3θ\cos^3\theta (schrijf het als combinatie van cos⁡kθ\cos k\theta), en leid af ∫0π/2cos⁡3θ  ⁣dθ\displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos^3\theta\,\dd\theta.

Oplossing

Oplossing van Oefening 28.6.

cos⁡3θ=(eiθ+e−iθ2) ⁣3=e3iθ+3eiθ+3e−iθ+e−3iθ8=cos⁡3θ+3cos⁡θ4.\cos^3\theta = \left(\frac{\eu^{\iu\theta} + \eu^{-\iu\theta}}{2}\right)^{\!3} = \frac{\eu^{3\iu\theta} + 3\eu^{\iu\theta} + 3\eu^{-\iu\theta} + \eu^{-3\iu\theta}}{8} = \frac{\cos3\theta + 3\cos\theta}{4}.

Dus

∫0π/2cos⁡3θ  ⁣dθ=14[sin⁡3θ3+3sin⁡θ]0π/2=14(−13+3)=23.\int_0^{\pi/2}\cos^3\theta\,\dd\theta = \frac14\left[\frac{\sin3\theta}{3} + 3\sin\theta\right]_0^{\pi/2} = \frac14\left(-\frac13 + 3\right) = \frac{2}{3}.

(Consistent met W3=23W_3 = \frac23 in Oefening 25.9, omdat ∫0π/2cos⁡3=∫0π/2sin⁡3\int_0^{\pi/2}\cos^3 = \int_0^{\pi/2}\sin^3 door de symmetrie θ↦π2−θ\theta \mapsto \frac\pi2 - \theta.)

Oefening 28.7 ★★

Laat AA en BB affixen a=1+ia = 1 + \iu en b=3+2ib = 3 + 2\iu hebben. Bepaal de twee punten CC die de driehoek ABCABC gelijkzijdig maken, als de beelden van BB onder de rotaties met middelpunt AA en hoeken ±π3\pm\frac{\pi}{3}.

Oplossing

Oplossing van Oefening 28.7.

c=a+e±iπ/3(b−a)c = a + \eu^{\pm\iu\pi/3}(b - a) met b−a=2+ib - a = 2 + \iu en e±iπ/3=12±i32\eu^{\pm\iu\pi/3} = \frac12 \pm \iu\frac{\sqrt3}{2}:

eiπ/3(2+i)=(12+i32)(2+i)=(1−32)+i(12+3),\eu^{\iu\pi/3}(2+\iu) = \left(\tfrac12 + \iu\tfrac{\sqrt3}{2}\right)(2+\iu) = \left(1 - \tfrac{\sqrt3}{2}\right) + \iu\left(\tfrac12 + \sqrt3\right),

dus c1=(2−32)+i(32+3)c_1 = \left(2 - \frac{\sqrt3}{2}\right) + \iu\left(\frac32 + \sqrt3\right), en evenzo met de hoek −π3-\frac\pi3: c2=(2+32)+i(32−3)c_2 = \left(2 + \frac{\sqrt3}{2}\right) + \iu\left(\frac32 - \sqrt3\right).

Oefening 28.8 ★★★

Los z4=−4z^4 = -4 op in C\C en teken de oplossingen. Factoriseer z4+4z^4 + 4 in twee kwadratische polynomen met reële coëfficiënten.

Oplossing

Oplossing van Oefening 28.8.

−4=4 eiπ-4 = 4\,\eu^{\iu\pi}, dus de oplossingen van z4=−4z^4 = -4 zijn

zk=2 ei(π4+kπ2),k=0,1,2,3,z_k = \sqrt2\,\eu^{\iu\left(\frac\pi4 + \frac{k\pi}{2}\right)}, \quad k = 0, 1, 2, 3,

d.w.z. 1+i1 + \iu, −1+i-1 + \iu, −1−i-1 - \iu, 1−i1 - \iu: de hoekpunten van een vierkant met omgeschreven straal 2\sqrt 2. Geconjugeerde wortels groeperen:

z4+4=(z−(1+i))(z−(1−i))(z+(1−i))(z+(1+i))=(z2−2z+2)(z2+2z+2).z^4 + 4 = \bigl(z - (1{+}\iu)\bigr)\bigl(z - (1{-}\iu)\bigr) \bigl(z + (1{-}\iu)\bigr)\bigl(z + (1{+}\iu)\bigr) = (z^2 - 2z + 2)(z^2 + 2z + 2).

Oefening 28.9 ★★★

Voor θ∈(0, 2π)\theta \in \intoo{0}{2\pi} en n∈Nn \in \N, bereken

S=1+cos⁡θ+cos⁡2θ+⋯+cos⁡nθS = 1 + \cos\theta + \cos 2\theta + \dots + \cos n\theta

door de geometrische reeks ∑k=0neikθ\sum_{k=0}^n \eu^{\iu k\theta} te sommeren en reële delen te nemen. (Antwoord: S=sin⁡(n+1)θ2sin⁡θ2cos⁡nθ2S = \dfrac{\sin\frac{(n+1)\theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}} \cos\frac{n\theta}{2}.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 28.9.

Met q=eiθ≠1q = \eu^{\iu\theta} \neq 1:

∑k=0neikθ=ei(n+1)θ−1eiθ−1=ei(n+1)θ/2eiθ/2⋅ei(n+1)θ/2−e−i(n+1)θ/2eiθ/2−e−iθ/2=einθ/2 sin⁡(n+1)θ2sin⁡θ2,\sum_{k=0}^{n} \eu^{\iu k\theta} = \frac{\eu^{\iu(n+1)\theta} - 1}{\eu^{\iu\theta} - 1} = \frac{\eu^{\iu(n+1)\theta/2}}{\eu^{\iu\theta/2}} \cdot\frac{\eu^{\iu(n+1)\theta/2} - \eu^{-\iu(n+1)\theta/2}}{\eu^{\iu\theta/2} - \eu^{-\iu\theta/2}} = \eu^{\iu n\theta/2}\, \frac{\sin\frac{(n+1)\theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}},

met eiα−e−iα=2isin⁡α\eu^{\iu\alpha} - \eu^{-\iu\alpha} = 2\iu\sin\alpha (de halve-hoekfactorisatie). Reële delen nemen:

S=sin⁡(n+1)θ2sin⁡θ2 cos⁡nθ2.S = \frac{\sin\frac{(n+1)\theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}}\, \cos\frac{n\theta}{2}.

Oefening 28.10 ★★★

Laat ω=e2iπ/5\omega = \eu^{2\iu\pi/5}.

  1. Rechtvaardig dat 1+ω+ω2+ω3+ω4=01 + \omega + \omega^2 + \omega^3 + \omega^4 = 0.
  2. Laat u=ω+ω4u = \omega + \omega^4 en v=ω2+ω3v = \omega^2 + \omega^3. Toon dat u+v=−1u + v = -1 en uv=−1uv = -1, en leid af dat u=−1+52u = \frac{-1+\sqrt5}{2}.
  3. Concludeer dat cos⁡2π5=5−14\cos\dfrac{2\pi}{5} = \dfrac{\sqrt5 - 1}{4}.
Oplossing

Oplossing van Oefening 28.10.

1. ω\omega is een 55-de eenheidswortel verschillend van 11, dus de som van alle vijf wortels verdwijnt (Stelling 28.15), wat 1+ω+ω2+ω3+ω4=01 + \omega + \omega^2 + \omega^3 + \omega^4 = 0 luidt.

2. u+v=ω+ω2+ω3+ω4=−1u + v = \omega + \omega^2 + \omega^3 + \omega^4 = -1 door punt 1. Voor het product, met ω5=1\omega^5 = 1:

uv=(ω+ω4)(ω2+ω3)=ω3+ω4+ω6+ω7=ω3+ω4+ω+ω2=−1.uv = (\omega + \omega^4)(\omega^2 + \omega^3) = \omega^3 + \omega^4 + \omega^6 + \omega^7 = \omega^3 + \omega^4 + \omega + \omega^2 = -1 .

Dus u,vu, v zijn de wortels van X2+X−1=0X^2 + X - 1 = 0: {−1+52,−1−52}\left\{\frac{-1+\sqrt5}{2}, \frac{-1-\sqrt5}{2}\right\}. Nu u=ω+ω‾=2cos⁡2π5>0u = \omega + \conj\omega = 2\cos\frac{2\pi}{5} > 0 (omdat 2π5<π2\frac{2\pi}{5} < \frac{\pi}{2}), dus u=−1+52u = \frac{-1 + \sqrt5}{2}.

3. cos⁡2π5=u2=5−14\cos\frac{2\pi}{5} = \frac u2 = \frac{\sqrt5 - 1}{4}.