Exacte en gesloten vormen কী?

Voorbeeld 20.7 (Een potentiaal reconstrueren)

Zij $\omega = y\,\eu^{xy}\,\dd x + (x\,\eu^{xy} + 2y)\,\dd y$ op $\R^2$. Zij is gesloten: beide gemengde afgeleiden zijn gelijk aan $\eu^{xy}(1 + xy)$. Om een potentiaal te vinden, integreer je $P$ naar $x$ bij vaste $y$:

en pas je $c$ aan door $f_y$ te laten kloppen: $x\,\eu^{xy} + c'(y) = x\,\eu^{xy} + 2y$ geeft $c(y) = y^2$. Dus $f(x,y) = \eu^{xy} + y^2$, en voor elke stuksgewijs $\mathcal C^1$-boog van $(0,0)$ naar $(1,1)$ is

onafhankelijk van het pad — het recept in twee stappen (integreren naar $x$, corrigeren in $y$) is de praktische omkering van Stelling 20.6 op gebieden waar gesloten vormen exact zijn.

Voorbeeld 20.8 (Gesloten impliceert niet exact)

Op $U = \R^2 \setminus \{0\}$ is de hoekvorm

gesloten (rechtstreekse berekening: zowel $P_y$ als $Q_x$ is gelijk aan $\frac{y^2 - x^2}{(x^2+y^2)^2}$), maar haar integraal langs de eenheidscirkel is $2\pi \neq 0$ (dezelfde berekening als in Voorbeeld 20.3, gedeeld door $1$): $\omega$ is niet exact op $U$. Lokaal is $\omega = \dd\theta$ voor een bepaling $\theta$ van de poolhoek; het falen is globaal — de hoek kan niet continu rond het gat worden gedefinieerd. Op gebieden zonder gaten verdwijnt de pathologie: op een stervormige open verzameling is elke gesloten $\mathcal{C}^1$-vorm exact (het lemma van Poincaré, Oefening 20.8).