Fouriercoëfficiënten কী?

Voorbeeld 14.3 (Beste benadering, gemeten)

Hoe goed benaderen trigonometrische veeltermen van lage graad de zaagtand $f(t) = t$ (op $\intoo{-\pi}{\pi}$) in kwadratisch gemiddelde? Volgens Propositie 14.2 is de beste benadering van graad $N$ juist $S_N(f)$, met kwadratische fout

Hier is $\norm f_2^2 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi t^2\dd t = \frac{\pi^2}{3}$, en uit $b_n = \frac{2(-1)^{n+1}}{n}$ (Voorbeeld 14.12) volgt $\abs{c_n}^2 + \abs{c_{-n}}^2 = \frac{b_n^2}{2} = \frac{2}{n^2}$. Dus

voor $N = 1, 2, 3, 4$ — dalend, maar traag: de staart $\sum_{n>N}\frac2{n^2} \sim \frac2N$ wordt bestuurd door het trage verval $\frac1n$ van de coëfficiënten, dat zelf het handschrift van de sprong is (Oefening 14.6 achterstevoren gelezen). Het inzicht om te onthouden: Parseval maakt van de kwaliteit van een benadering de staart van een numerieke reeks — en voorspelt, nog vóór enige tekening, dat sprongen Fourierreeksen met tegenzin doen convergeren.