Wiskunde bovenbouw · Grades 10–12

21Limieten en continuïteit

Dit hoofdstuk breidt het limietbegrip uit van rijen naar functies van een reële variabele, en introduceert continuïteit. Het centrale resultaat is de tussenwaardestelling, die kwalitatieve informatie (“ $f$ is continu en wisselt van teken”) omzet in het bestaan van oplossingen van vergelijkingen.

21.1 Limieten van functies

Doorheen dit hoofdstuk is $f$ een functie gedefinieerd op een interval of een vereniging van intervallen $D \subseteq \R$ .

Definitie 21.1 (Limiet in het oneindige)

Laat $f$ gedefinieerd zijn op een interval $\intco{a}{+\infty}$ en $\ell \in \R$ . We zeggen dat $f$ neigt naar $\ell$ in $+\infty$ , genoteerd $\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = \ell$ , als elk open interval dat $\ell$ bevat alle waarden $f(x)$ bevat voor $x$ groot genoeg: voor elke $\varepsilon > 0$ bestaat er $A$ zodat voor alle $x \geq A$ , $\abs{f(x) - \ell} \leq \varepsilon$ .

We zeggen dat $f$ neigt naar $+\infty$ in $+\infty$ als voor elke $M \in \R$ er een $A$ bestaat zodat $f(x) \geq M$ voor alle $x \geq A$ . Limieten in $-\infty$ en limieten gelijk aan $-\infty$ worden analoog gedefinieerd.

Definitie 21.2 (Limiet in een punt)

Laat $a \in \R$ en laat $f$ gedefinieerd zijn nabij $a$ (behalve eventueel in $a$ ). We zeggen dat $f$ neigt naar $\ell \in \R$ in $a$ , genoteerd $\lim\limits_{x \to a} f(x) = \ell$ , als voor elke $\varepsilon > 0$ er een $\delta > 0$ bestaat zodat voor alle $x \in D$ met $\abs{x - a} \leq \delta$ , $\abs{f(x) - \ell} \leq \varepsilon$ .

We zeggen dat $f$ neigt naar $+\infty$ in $a$ als voor elke $M$ er een $\delta > 0$ is zodat $f(x) \geq M$ wanneer $x \in D$ en $\abs{x - a} \leq \delta$ . Eenzijdige limieten ( $x \to a^+$ , $x \to a^-$ ) beperken $x$ tot $x > a$ of $x < a$ .

Voorbeeld 21.3

$\lim\limits_{x\to+\infty} \frac{1}{x} = 0$ , $\lim\limits_{x\to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty$ , $\lim\limits_{x\to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty$ . De functie $x \mapsto \frac1x$ heeft geen (tweezijdige) limiet in $0$ .

Definitie 21.4 (Asymptoten)

De lijn $y = \ell$ is een horizontale asymptoot van de kromme van $f$ in $+\infty$ (resp. $-\infty$ ) als $\lim_{x\to+\infty} f(x) = \ell$ (resp. in $-\infty$ ). De lijn $x = a$ is een verticale asymptoot als $f$ een oneindige eenzijdige limiet heeft in $a$ .

De kromme van f(x) = 2 + 1/x-1 met haar horizontale asymptoot y = 2 (in ±∈fty) en verticale asymptoot x = 1. — De kromme van $f(x) = 2 + \frac{1}{x-1}$ met haar horizontale asymptoot $y = 2$ (in $\pm\infty$ ) en verticale asymptoot $x = 1$ .

Propositie 21.5 (Bewerkingen op limieten)

De regels van Propositie 20.14 (sommen, producten, quotiënten) gelden letterlijk voor limieten van functies, in een punt of in het oneindige, met dezelfde vier onbepaalde vormen $(+\infty)+(-\infty)$ , $0\times\infty$ , $\frac{\infty}{\infty}$ , $\frac{0}{0}$ .

Bewijs. De bewijzen zijn identiek aan het rij-geval, waarbij “voor $n \geq N$ ” vervangen wordt door “voor $x \geq A$ ” of “voor $\abs{x-a} \leq \delta$ ”. ∎

Stelling 21.6 (Limiet van een samenstelling)

Laat $f, g$ functies zijn en $a, b, c$ reële getallen of $\pm\infty$ . Als $\lim\limits_{x \to a} f(x) = b$ en $\lim\limits_{y \to b} g(y) = c$ , dan

\lim_{x \to a} g\bigl(f(x)\bigr) = c .

Dezelfde uitspraak geldt met een rij in plaats van $f$ : als $u_n \to b$ en $\lim_{y\to b} g(y) = c$ , dan $g(u_n) \to c$ .

Bewijs. Neem $b, c$ eindig (de andere gevallen zijn analoog). Laat $\varepsilon > 0$ . Er is $\delta > 0$ zodat $\abs{y - b} \leq \delta$ impliceert $\abs{g(y) - c} \leq \varepsilon$ ; en er is $\delta' > 0$ zodat $\abs{x - a} \leq \delta'$ impliceert $\abs{f(x) - b} \leq \delta$ . Aaneenschakelen geeft $\abs{g(f(x)) - c} \leq \varepsilon$ voor $\abs{x - a} \leq \delta'$ . ∎

Stelling 21.7 (Vergelijking en insluiting)

Laat $f, g, h$ functies zijn en $a \in \R \cup \{\pm\infty\}$ .

Als $f \leq g$ nabij $a$ en $f(x) \to +\infty$ als $x \to a$ , dan $g(x) \to +\infty$ .
Als $f \leq g \leq h$ nabij $a$ en $f, h$ neigen naar dezelfde eindige limiet $\ell$ in $a$ , dan $g(x) \to \ell$ als $x \to a$ .

Bewijs. Zelfde argument als voor rijen (Stelling 20.16). ∎

Methode 21.8 (Limieten in de praktijk berekenen)

Polynomen en rationale functies in $\pm\infty$ : factoriseer de hoogste macht van $x$ uit; de limiet is die van de verhouding van de leidende termen.
$\frac{0}{0}$ in een punt $a$ : factoriseer $(x-a)$ uit teller en noemer, of herken een afgeleide $\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a} = f'(a)$ (Hoofdstuk 22).
Vierkantswortels: vermenigvuldig met de toegevoegde uitdrukking.
Oscillerende factoren ( $\cos$ , $\sin$ ): gebruik de insluitstelling.

21.2 Continuïteit

Definitie 21.9 (Continuïteit)

Laat $f$ gedefinieerd zijn op een interval $I$ en $a \in I$ . De functie $f$ is continu in $a$ als $\lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a)$ . Ze is continu op $I$ als ze continu is in elk punt van $I$ .

Intuïtief kan de grafiek van een continue functie op een interval getekend worden zonder de pen op te tillen.

Propositie 21.10 (Continuïteit van gebruikelijke functies)

Polynomen, rationale functies, $x \mapsto \sqrt{x}$ , $x \mapsto \abs{x}$ , $\cos$ , $\sin$ , $\exp$ en $\ln$ zijn continu op elk interval bevat in hun domein. Sommen, producten, quotiënten (waar gedefinieerd) en samenstellingen van continue functies zijn continu.

Gedeeltelijk bewijs. Stabiliteit onder sommen, producten, quotiënten en samenstelling volgt uit de bijbehorende limietstellingen. Continuïteit van $x \mapsto x$ en van constante functies is onmiddellijk uit de definitie, dus polynomen en rationale functies zijn continu. Continuïteit van de overige gebruikelijke functies wordt bewezen in de hoofdstukken waar ze geconstrueerd worden, of toegeven. ∎

Voorbeeld 21.11

De entierfunctie $x \mapsto \floor{x}$ (het grootste gehele getal $\leq x$ ) is niet continu in enig geheel getal $n$ : haar linkerlimiet daar is $n - 1$ terwijl $\floor{n} = n$ .

De entierfunctie springt in elk geheel getal: de waarde (gevulde stip) verschilt van de linkerlimiet (holle stip).

Propositie 21.12 (Rijen en continuïteit)

Als $u_n \to \ell$ en $f$ continu is in $\ell$ , dan $f(u_n) \to f(\ell)$ . In het bijzonder, als een rij gedefinieerd door $u_{n+1} = f(u_n)$ convergeert naar $\ell$ en $f$ continu is in $\ell$ , dan $f(\ell) = \ell$ .

Bewijs. De eerste claim is Stelling 21.6 toegepast met de rij $(u_n)$ . Voor de tweede, ga naar de limiet aan beide kanten van $u_{n+1} = f(u_n)$ : de linkerkant neigt naar $\ell$ , de rechterkant naar $f(\ell)$ , en limieten zijn uniek. ∎

21.3 De tussenwaardestelling

Stelling 21.13 (Tussenwaardestelling)

Laat $f$ continu zijn op $\intcc{a}{b}$ en laat $k$ een willekeurig getal zijn tussen $f(a)$ en $f(b)$ . Dan bestaat er $c \in \intcc{a}{b}$ zodat $f(c) = k$ .

De tussenwaardestelling: een continue kromme die (a, f(a)) met (b, f(b)) verbindt, moet elke horizontale lijn y = k tussen f(a) en f(b) kruisen. — De tussenwaardestelling: een continue kromme die $(a, f(a))$ met $(b, f(b))$ verbindt, moet elke horizontale lijn $y = k$ tussen $f(a)$ en $f(b)$ kruisen.

Bewijs. Door $f$ te vervangen door $f - k$ (en door $k - f$ indien nodig), mogen we aannemen dat $f(a) \leq 0 \leq f(b)$ en zoeken naar een nulpunt van $f$ . We construeren twee rijen door dichotomie: stel $a_0 = a$ , $b_0 = b$ ; gegeven $a_n \leq b_n$ met $f(a_n) \leq 0 \leq f(b_n)$ , laat $m = \frac{a_n + b_n}{2}$ en definieer

(a_{n+1}, b_{n+1}) = \begin{cases} (a_n, m) & \text{als } f(m) \geq 0,\\ (m, b_n) & \text{als } f(m) < 0. \end{cases}

In beide gevallen $f(a_{n+1}) \leq 0 \leq f(b_{n+1})$ , de rij $(a_n)$ is stijgend, $(b_n)$ is dalend, en $b_n - a_n = \frac{b-a}{2^n} \to 0$ : de rijen zijn aangrenzend (zie Oefening 20.10) en convergeren naar een gemeenschappelijke limiet $c \in \intcc{a}{b}$ . Door continuïteit, $f(a_n) \to f(c)$ en $f(b_n) \to f(c)$ ; naar de limiet gaan in $f(a_n) \leq 0$ en $f(b_n) \geq 0$ geeft $f(c) \leq 0 \leq f(c)$ , dus $f(c) = 0$ . ∎

Opmerking 21.14

Het dichotomiebewijs is een algoritme: het levert willekeurig precieze benaderingen van een oplossing, met de fout bij elke stap gehalveerd. Zo kan een computer $f(x) = 0$ oplossen met alleen de mogelijkheid om $f$ te evalueren.

Stelling 21.15 (Bijectiestelling)

Laat $f$ continu en strikt monotoon zijn op een interval $I$ . Dan heeft voor elke $k$ strikt tussen de limieten van $f$ in de eindpunten van $I$ de vergelijking $f(x) = k$ een unieke oplossing in $I$ .

Bewijs. Bestaan: kies $a, b \in I$ met $k$ tussen $f(a)$ en $f(b)$ (mogelijk omdat de waarden van $f$ haar eindpuntlimieten naderen), en pas de tussenwaardestelling toe op $\intcc{a}{b}$ . Uniciteit: als $x < y$ , geeft strikte monotonie $f(x) \neq f(y)$ , dus twee verschillende punten kunnen niet beide oplossingen zijn. ∎

Methode 21.16 ( $f(x) = k$ oplossen met de bijectiestelling)

Om te bewijzen dat $f(x) = k$ precies één oplossing heeft in een interval:

stel een veranderingstabel van $f$ op (teken van $f'$ , zie Hoofdstuk 22);
op elk interval waar $f$ continu en strikt monotoon is, vergelijk $k$ met de eindpuntwaarden of limieten;
pas de bijectiestelling toe op elk zulk interval en tel de oplossingen.

Een rekenmachine of dichotomie lokaliseert daarna elke oplossing zo fijn als gewenst.

Voorbeeld 21.17

De vergelijking $x^3 + x = 1$ heeft een unieke reële oplossing. Inderdaad is $f(x) = x^3 + x$ continu en strikt stijgend op $\R$ (als som van strikt stijgende functies), $\lim_{-\infty} f = -\infty$ en $\lim_{+\infty} f = +\infty$ , dus past de bijectiestelling met $k = 1$ . Omdat $f(0.6) = 0.816 < 1$ en $f(0.7) = 1.043 > 1$ , ligt de oplossing in $\intoo{0.6}{0.7}$ .

21.4 Oefeningen

Oefening 21.1 ★

Bereken de volgende limieten:

\lim_{x\to+\infty} \frac{2x^3 - x + 1}{5x^3 + x^2}, \qquad \lim_{x\to-\infty} \bigl(x^2 + 3x - 1\bigr), \qquad \lim_{x\to 2^+} \frac{x+1}{x-2}, \qquad \lim_{x\to+\infty} \frac{\cos x}{x}.

Oplossing

Oplossing van Oefening 21.1.

Delen door $x^3$ : $\dfrac{2x^3 - x + 1}{5x^3 + x^2} = \dfrac{2 - 1/x^2 + 1/x^3}{5 + 1/x} \to \dfrac{2}{5}$ .

$x^2 + 3x - 1 = x^2(1 + 3/x - 1/x^2) \to +\infty$ als $x \to -\infty$ , omdat $x^2 \to +\infty$ en de haak naar $1$ neigt.

Als $x \to 2^+$ , neigt de teller naar $3 > 0$ en de noemer naar $0^+$ , dus $\dfrac{x+1}{x-2} \to +\infty$ .

Voor $x > 0$ , $-\dfrac1x \leq \dfrac{\cos x}{x} \leq \dfrac1x$ , dus de limiet is $0$ door de insluitstelling.

Oefening 21.2 ★

Laat $f(x) = \dfrac{2x^2 - 3x + 1}{x - 1}$ , gedefinieerd voor $x \neq 1$ .

Toon aan dat $f(x) = 2x - 1$ voor alle $x \neq 1$ .
Leid $\lim\limits_{x \to 1} f(x)$ af. Kan $f$ uitgebreid worden tot een functie continu in $1$ ?

Oplossing

Oplossing van Oefening 21.2.

1. $2x^2 - 3x + 1 = (x-1)(2x-1)$ (de wortel $x=1$ is duidelijk uit $2 - 3 + 1 = 0$ ). Voor $x \neq 1$ , schrap $x - 1$ : $f(x) = 2x - 1$ .

2. Dus $\lim_{x\to1} f(x) = 1$ . Stellen $f(1) = 1$ breidt $f$ uit tot de polynoomfunctie $x \mapsto 2x-1$ op $\R$ , die continu is in $1$ .

Oefening 21.3 ★

Bepaal de asymptoten van de kromme van $f(x) = \dfrac{3x - 1}{x + 2}$ en schets de kromme.

Oplossing

Oplossing van Oefening 21.3.

Schrijf $f(x) = \dfrac{3x - 1}{x + 2} = \dfrac{3(x+2) - 7}{x+2} = 3 - \dfrac{7}{x+2}$ . Als $x \to \pm\infty$ , $f(x) \to 3$ : de lijn $y = 3$ is een horizontale asymptoot in beide oneindigheden. Als $x \to (-2)^\pm$ , $f(x) \to \mp\infty$ : de lijn $x = -2$ is een verticale asymptoot. De kromme is een hyperbool, onder $y=3$ voor $x > -2$ en erboven voor $x < -2$ .

Oefening 21.4 ★★

Bereken

\lim_{x\to+\infty} \bigl(\sqrt{x^2 + x} - x\bigr) \qquad\text{en}\qquad \lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{1+x} - 1}{x}.

Oplossing

Oplossing van Oefening 21.4.

Vermenigvuldig met de toegevoegde:

\sqrt{x^2 + x} - x = \frac{x^2 + x - x^2}{\sqrt{x^2+x} + x} = \frac{x}{x\left(\sqrt{1 + 1/x} + 1\right)} = \frac{1}{\sqrt{1 + 1/x} + 1} \xrightarrow[x\to+\infty]{} \frac{1}{2}.

Evenzo,

\frac{\sqrt{1+x} - 1}{x} = \frac{(1+x) - 1}{x\left(\sqrt{1+x} + 1\right)} = \frac{1}{\sqrt{1+x} + 1} \xrightarrow[x\to0]{} \frac{1}{2}.

Oefening 21.5 ★★

Laat $f(x) = x + \sin x$ .

Toon aan dat $f(x) \to +\infty$ als $x \to +\infty$ , hoewel $f$ niet monotoon is op enig interval $\intco{A}{+\infty}$ .
Toon aan dat $g(x) = \dfrac{x + \sin x}{x - \sin x}$ neigt naar $1$ in $+\infty$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 21.5.

1. Omdat $\sin x \geq -1$ , is $f(x) \geq x - 1 \to +\infty$ , en we concluderen door vergelijking. Toch verdwijnt $f'(x) = 1 + \cos x$ in elk oneven veelvoud van $\pi$ , en op elk interval $\intco{A}{+\infty}$ wisselt de functie tussen intervallen van strikte stijging; ze is stijgend maar niet strikt, en belangrijker is haar groei niet nodig: vergelijking volstaat.

2. Voor $x > 1$ , deel door $x$ :

g(x) = \frac{1 + \frac{\sin x}{x}}{1 - \frac{\sin x}{x}},

en $\frac{\sin x}{x} \to 0$ door de insluitstelling ( $\abs{\sin x} \leq 1$ ). Dus $g(x) \to \frac{1+0}{1-0} = 1$ .

Oefening 21.6 ★★

Toon aan dat de vergelijking $x^3 - 3x + 1 = 0$ precies drie reële oplossingen heeft, en geef voor elk een interval van lengte $1$ dat haar bevat. (Hint: bestudeer de variaties van $f(x) = x^3 - 3x + 1$ ; haar afgeleide is $3x^2 - 3$ .)

Oplossing

Oplossing van Oefening 21.6.

$f(x) = x^3 - 3x + 1$ is continu, met $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)$ : $f$ stijgt op $\intoc{-\infty}{-1}$ , daalt op $\intcc{-1}{1}$ , stijgt op $\intco{1}{+\infty}$ , met lokaal maximum $f(-1) = 3 > 0$ en lokaal minimum $f(1) = -1 < 0$ , $\lim_{-\infty} f = -\infty$ , $\lim_{+\infty} f = +\infty$ .

Op elk van de drie monotonie-intervallen is $f$ continu, strikt monotoon, en ligt $0$ strikt tussen de eindpuntwaarden/limieten, dus geeft de bijectiestelling precies één nulpunt per interval: drie nulpunten in totaal. Tekencontroles: $f(-2) = -1 < 0 < f(-1) = 3$ , dus één nulpunt in $\intoo{-2}{-1}$ ; $f(0) = 1 > 0 > f(1) = -1$ , één nulpunt in $\intoo{0}{1}$ ; $f(1) = -1 < 0 < f(2) = 3$ , één nulpunt in $\intoo{1}{2}$ .

Oefening 21.7 ★★

Laat $f \colon \intcc{0}{1} \to \intcc{0}{1}$ continu zijn. Toon aan dat $f$ een vastpunt heeft: er bestaat $c \in \intcc{0}{1}$ met $f(c) = c$ . (Hint: pas de tussenwaardestelling toe op $g(x) = f(x) - x$ .)

Oplossing

Oplossing van Oefening 21.7.

Laat $g(x) = f(x) - x$ , continu op $\intcc{0}{1}$ . Omdat $f(0) \in \intcc{0}{1}$ , is $g(0) = f(0) \geq 0$ ; omdat $f(1) \in \intcc{0}{1}$ , is $g(1) = f(1) - 1 \leq 0$ . Volgens de tussenwaardestelling verdwijnt $g$ in zekere $c \in \intcc{0}{1}$ , d.w.z. $f(c) = c$ .

Oefening 21.8 ★★★

Een wandelaar beklimt een bergpad, start om 8:00 en arriveert om 20:00. De volgende dag daalt ze hetzelfde pad, opnieuw startend om 8:00 en arriverend om 20:00. Toon aan dat er een tijdstip van de dag is waarop ze op precies hetzelfde punt van het pad is op beide dagen. (Hint: introduceer het verschil van de twee positiefuncties.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 21.8.

Laat $u(t)$ en $d(t)$ de posities zijn (gemeten als afstand vanaf de voet van het pad) op tijdstip $t \in \intcc{8}{20}$ op de heenweg en op de terugweg. Beide zijn continu, $u(8) = 0$ , $u(20) = L$ (de lengte van het pad), $d(8) = L$ , $d(20) = 0$ . De functie $g = u - d$ is continu met $g(8) = -L \leq 0$ en $g(20) = L \geq 0$ , dus $g(c) = 0$ voor zekere tijd $c$ volgens de tussenwaardestelling: op tijdstip $c$ vallen de posities van beide dagen samen.

Oefening 21.9 ★★★

Laat $f(x) = x^5 + x^3 + x - 1$ .

Toon aan dat $f$ een uniek reëel nulpunt $\alpha$ heeft, en dat $\alpha \in \intoo{0}{1}$ .
Beschrijf een dichotomieprocedure die $\alpha$ tot op $10^{-6}$ berekent, en geef het aantal iteraties nodig startend van $\intcc{0}{1}$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 21.9.

1. $f'(x) = 5x^4 + 3x^2 + 1 > 0$ , dus $f$ is strikt stijgend op $\R$ ; met $\lim_{\pm\infty} f = \pm\infty$ en continuïteit geeft de bijectiestelling een uniek reëel nulpunt $\alpha$ . Omdat $f(0) = -1 < 0$ en $f(1) = 2 > 0$ , is $\alpha \in \intoo{0}{1}$ .

2. Houd een interval $\intcc{a_n}{b_n}$ bij met $f(a_n) < 0 < f(b_n)$ , startend van $\intcc{0}{1}$ ; evalueer bij elke stap $f$ in het midden $m$ en houd de half waarin de tekenwisseling blijft. Na $n$ stappen heeft het interval lengte $2^{-n}$ , dus benadert het midden $\alpha$ tot op $2^{-(n+1)}$ . We hebben $2^{-(n+1)} \leq 10^{-6}$ nodig, d.w.z. $n + 1 \geq \frac{6}{\log_{10} 2} \approx 19.93$ : $n = 20$ iteraties volstaan.