Wiskunde bovenbouw · Grades 10–12

21Limieten en continuïteit

Dit hoofdstuk breidt het begrip limiet uit van rijen naar functies van een reële veranderlijke, en voert de continuïteit in. Het centrale resultaat is de tussenwaardestelling, die kwalitatieve informatie (“ $f$ is continu en verandert van teken”) omzet in het bestaan van oplossingen van vergelijkingen.

21.1 Limieten van functies

Overal in dit hoofdstuk is $f$ een functie gedefinieerd op een interval of een vereniging van intervallen $D \subseteq \R$ .

Definitie 21.1 (Limiet in oneindig)

Zij $f$ gedefinieerd op een interval $\intco{a}{+\infty}$ en $\ell \in \R$ . We zeggen dat $f$ naar $\ell$ streeft in $+\infty$ , geschreven $\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = \ell$ , wanneer elk open interval dat $\ell$ bevat, alle waarden $f(x)$ bevat voor $x$ groot genoeg: voor elke $\varepsilon > 0$ bestaat er een $A$ zodat $\abs{f(x) - \ell} \leq \varepsilon$ voor alle $x \geq A$ .

We zeggen dat $f$ naar $+\infty$ streeft in $+\infty$ wanneer er voor elke $M \in \R$ een $A$ bestaat zodat $f(x) \geq M$ voor alle $x \geq A$ . Limieten in $-\infty$ en limieten gelijk aan $-\infty$ worden analoog gedefinieerd.

Definitie 21.2 (Limiet in een punt)

Zij $a \in \R$ en zij $f$ gedefinieerd in de buurt van $a$ (behalve eventueel in $a$ zelf). We zeggen dat $f$ in $a$ naar $\ell \in \R$ streeft, geschreven $\lim\limits_{x \to a} f(x) = \ell$ , wanneer er voor elke $\varepsilon > 0$ een $\delta > 0$ bestaat zodat $\abs{f(x) - \ell} \leq \varepsilon$ voor alle $x \in D$ met $\abs{x - a} \leq \delta$ .

We zeggen dat $f$ in $a$ naar $+\infty$ streeft wanneer er voor elke $M$ een $\delta > 0$ bestaat zodat $f(x) \geq M$ zodra $x \in D$ en $\abs{x - a} \leq \delta$ . Eenzijdige limieten ( $x \to a^+$ , $x \to a^-$ ) beperken $x$ tot $x > a$ of $x < a$ .

Voorbeeld 21.3

$\lim\limits_{x\to+\infty} \frac{1}{x} = 0$ , $\lim\limits_{x\to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty$ , $\lim\limits_{x\to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty$ . De functie $x \mapsto \frac1x$ heeft in $0$ geen (tweezijdige) limiet.

Definitie 21.4 (Asymptoten)

De rechte $y = \ell$ is een horizontale asymptoot van de kromme van $f$ in $+\infty$ (respectievelijk $-\infty$ ) wanneer $\lim_{x\to+\infty} f(x) = \ell$ (respectievelijk in $-\infty$ ). De rechte $x = a$ is een verticale asymptoot wanneer $f$ in $a$ een oneindige eenzijdige limiet heeft.

De kromme van f(x) = 2 + 1/x-1 met haar horizontale asymptoot y = 2 (in ±∈fty) en haar verticale asymptoot x = 1. — De kromme van $f(x) = 2 + \frac{1}{x-1}$ met haar horizontale asymptoot $y = 2$ (in $\pm\infty$ ) en haar verticale asymptoot $x = 1$ .

Propositie 21.5 (Bewerkingen met limieten)

De regels van Propositie 20.14 (sommen, producten, quotiënten) gelden woordelijk voor limieten van functies, in een punt of in oneindig, met dezelfde vier onbepaalde vormen $(+\infty)+(-\infty)$ , $0\times\infty$ , $\frac{\infty}{\infty}$ en $\frac{0}{0}$ .

Bewijs. De bewijzen zijn identiek aan het geval van de rijen, met “voor $n \geq N$ ” vervangen door “voor $x \geq A$ ” of “voor $\abs{x-a} \leq \delta$ ”. ∎

Stelling 21.6 (Limiet van een samenstelling)

Zij $f, g$ functies en $a, b, c$ reële getallen of $\pm\infty$ . Is $\lim\limits_{x \to a} f(x) = b$ en $\lim\limits_{y \to b} g(y) = c$ , dan geldt

\lim_{x \to a} g\bigl(f(x)\bigr) = c .

Dezelfde uitspraak geldt met een rij in de plaats van $f$ : is $u_n \to b$ en $\lim_{y\to b} g(y) = c$ , dan is $g(u_n) \to c$ .

Bewijs. Neem $b, c$ eindig (de andere gevallen verlopen analoog). Zij $\varepsilon > 0$ . Er bestaat een $\delta > 0$ zodat uit $\abs{y - b} \leq \delta$ volgt dat $\abs{g(y) - c} \leq \varepsilon$ ; en er bestaat een $\delta' > 0$ zodat uit $\abs{x - a} \leq \delta'$ volgt dat $\abs{f(x) - b} \leq \delta$ . De twee aan elkaar rijgen geeft $\abs{g(f(x)) - c} \leq \varepsilon$ voor $\abs{x - a} \leq \delta'$ . ∎

Stelling 21.7 (Vergelijking en insluiting)

Zij $f, g, h$ functies en $a \in \R \cup \{\pm\infty\}$ .

Is $f \leq g$ in de buurt van $a$ en $f(x) \to +\infty$ voor $x \to a$ , dan is $g(x) \to +\infty$ .
Is $f \leq g \leq h$ in de buurt van $a$ en streven $f$ en $h$ in $a$ naar dezelfde eindige limiet $\ell$ , dan is $g(x) \to \ell$ voor $x \to a$ .

Bewijs. Hetzelfde argument als voor rijen (Stelling 20.16). ∎

Methode 21.8 (Limieten berekenen in de praktijk)

Veeltermen en rationale functies in $\pm\infty$ : haal de hoogste macht van $x$ buiten haakjes; de limiet is die van de verhouding van de hoogstegraadstermen.
$\frac{0}{0}$ in een punt $a$ : haal $(x-a)$ uit teller en noemer, of herken een afgeleide $\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a} = f'(a)$ (Hoofdstuk 22).
Vierkantswortels: vermenigvuldig met de toegevoegde uitdrukking.
Schommelende factoren ( $\cos$ , $\sin$ ): gebruik de insluitstelling.

21.2 Continuïteit

Definitie 21.9 (Continuïteit)

Zij $f$ gedefinieerd op een interval $I$ en $a \in I$ . De functie $f$ is continu in $a$ wanneer $\lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a)$ . Ze is continu op $I$ wanneer ze in elk punt van $I$ continu is.

Intuïtief kun je de grafiek van een continue functie op een interval tekenen zonder de pen op te heffen.

Propositie 21.10 (Continuïteit van de gebruikelijke functies)

Veeltermen, rationale functies, $x \mapsto \sqrt{x}$ , $x \mapsto \abs{x}$ , $\cos$ , $\sin$ , $\exp$ en $\ln$ zijn continu op elk interval binnen hun domein. Sommen, producten, quotiënten (waar ze gedefinieerd zijn) en samenstellingen van continue functies zijn continu.

Gedeeltelijk bewijs. De stabiliteit onder sommen, producten, quotiënten en samenstelling volgt uit de overeenkomstige stellingen over limieten. De continuïteit van $x \mapsto x$ en van de constante functies volgt onmiddellijk uit de definitie, waardoor veeltermen en rationale functies continu zijn. De continuïteit van de overige gebruikelijke functies wordt bewezen in de hoofdstukken waar ze opgebouwd worden, of aangenomen. ∎

Voorbeeld 21.11

De entierfunctie $x \mapsto \floor{x}$ (het grootste gehele getal $\leq x$ ) is in geen enkel geheel getal $n$ continu: haar linkerlimiet daar is $n - 1$ terwijl $\floor{n} = n$ .

De entierfunctie springt in elk geheel getal: de waarde (volle stip) verschilt van de linkerlimiet (open stip).

Propositie 21.12 (Rijen en continuïteit)

Is $u_n \to \ell$ en is $f$ continu in $\ell$ , dan is $f(u_n) \to f(\ell)$ . In het bijzonder geldt: convergeert een rij bepaald door $u_{n+1} = f(u_n)$ naar $\ell$ en is $f$ continu in $\ell$ , dan is $f(\ell) = \ell$ .

Bewijs. De eerste bewering is Stelling 21.6, toegepast met de rij $(u_n)$ . Voor de tweede ga je in beide leden van $u_{n+1} = f(u_n)$ over naar de limiet: het linkerlid streeft naar $\ell$ , het rechterlid naar $f(\ell)$ , en limieten zijn uniek. ∎

21.3 De tussenwaardestelling

Stelling 21.13 (Tussenwaardestelling)

Zij $f$ continu op $\intcc{a}{b}$ en zij $k$ een willekeurig getal tussen $f(a)$ en $f(b)$ . Dan bestaat er een $c \in \intcc{a}{b}$ met $f(c) = k$ .

De tussenwaardestelling: een continue kromme die (a, f(a)) met (b, f(b)) verbindt, moet elke horizontale rechte y = k tussen f(a) en f(b) kruisen. — De tussenwaardestelling: een continue kromme die $(a, f(a))$ met $(b, f(b))$ verbindt, moet elke horizontale rechte $y = k$ tussen $f(a)$ en $f(b)$ kruisen.

Bewijs. Door $f$ door $f - k$ te vervangen (en zo nodig door $k - f$ ) mogen we aannemen dat $f(a) \leq 0 \leq f(b)$ en zoeken we een nulpunt van $f$ . We bouwen twee rijen met bisectie: stel $a_0 = a$ , $b_0 = b$ ; gegeven $a_n \leq b_n$ met $f(a_n) \leq 0 \leq f(b_n)$ , stel $m = \frac{a_n + b_n}{2}$ en definieer

(a_{n+1}, b_{n+1}) = \begin{cases} (a_n, m) & \text{als } f(m) \geq 0,\\ (m, b_n) & \text{als } f(m) < 0. \end{cases}

In beide gevallen is $f(a_{n+1}) \leq 0 \leq f(b_{n+1})$ , is de rij $(a_n)$ stijgend, is $(b_n)$ dalend, en is $b_n - a_n = \frac{b-a}{2^n} \to 0$ : de rijen zijn aangrenzend (zie Oefening 20.10) en convergeren naar een gemeenschappelijke limiet $c \in \intcc{a}{b}$ . Door de continuïteit is $f(a_n) \to f(c)$ en $f(b_n) \to f(c)$ ; overgaan naar de limiet in $f(a_n) \leq 0$ en $f(b_n) \geq 0$ geeft $f(c) \leq 0 \leq f(c)$ , dus $f(c) = 0$ . ∎

Opmerking 21.14

Het bewijs met bisectie is een algoritme: het levert willekeurig nauwkeurige benaderingen van een oplossing, met bij elke stap een halvering van de fout. Zo kan een computer $f(x) = 0$ oplossen terwijl hij alleen $f$ kan evalueren.

Stelling 21.15 (Bijectiestelling)

Zij $f$ continu en strikt monotoon op een interval $I$ . Dan heeft de vergelijking $f(x) = k$ voor elke $k$ die strikt tussen de limieten van $f$ in de uiteinden van $I$ ligt, een unieke oplossing in $I$ .

Bewijs. Bestaan: kies $a, b \in I$ zodat $k$ tussen $f(a)$ en $f(b)$ ligt (dat kan, want de waarden van $f$ naderen haar limieten in de uiteinden), en pas de tussenwaardestelling toe op $\intcc{a}{b}$ . Uniciteit: is $x < y$ , dan geeft de strikte monotonie dat $f(x) \neq f(y)$ , zodat twee verschillende punten niet allebei oplossing kunnen zijn. ∎

Methode 21.16 ( $f(x) = k$ oplossen met de bijectiestelling)

Om te bewijzen dat $f(x) = k$ precies één oplossing heeft in een interval:

stel een verlooptabel van $f$ op (teken van $f'$ , zie Hoofdstuk 22);
vergelijk $k$ op elk interval waar $f$ continu en strikt monotoon is met de waarden of limieten in de uiteinden;
pas de bijectiestelling op elk zulk interval toe en tel de oplossingen.

Een rekenmachine of bisectie lokaliseert daarna elke oplossing zo fijn als je wilt.

Voorbeeld 21.17

De vergelijking $x^3 + x = 1$ heeft precies één reële oplossing. Inderdaad is $f(x) = x^3 + x$ continu en strikt stijgend op $\R$ (als som van strikt stijgende functies), met $\lim_{-\infty} f = -\infty$ en $\lim_{+\infty} f = +\infty$ , zodat de bijectiestelling met $k = 1$ van toepassing is. Omdat $f(0.6) = 0.816 < 1$ en $f(0.7) = 1.043 > 1$ , ligt de oplossing in $\intoo{0.6}{0.7}$ .

21.4 Oefeningen

Oefening 21.1 ★

Bereken de volgende limieten:

\lim_{x\to+\infty} \frac{2x^3 - x + 1}{5x^3 + x^2}, \qquad \lim_{x\to-\infty} \bigl(x^2 + 3x - 1\bigr), \qquad \lim_{x\to 2^+} \frac{x+1}{x-2}, \qquad \lim_{x\to+\infty} \frac{\cos x}{x}.

Oplossing

Oplossing van Oefening 21.1.

Delen door $x^3$ : $\dfrac{2x^3 - x + 1}{5x^3 + x^2} = \dfrac{2 - 1/x^2 + 1/x^3}{5 + 1/x} \to \dfrac{2}{5}$ .

$x^2 + 3x - 1 = x^2(1 + 3/x - 1/x^2) \to +\infty$ voor $x \to -\infty$ , want $x^2 \to +\infty$ en de haak streeft naar $1$ .

Voor $x \to 2^+$ streeft de teller naar $3 > 0$ en de noemer naar $0^+$ , dus $\dfrac{x+1}{x-2} \to +\infty$ .

Voor $x > 0$ is $-\dfrac1x \leq \dfrac{\cos x}{x} \leq \dfrac1x$ , zodat de limiet met de insluitstelling $0$ is.

Oefening 21.2 ★

Zij $f(x) = \dfrac{2x^2 - 3x + 1}{x - 1}$ , gedefinieerd voor $x \neq 1$ .

Toon aan dat $f(x) = 2x - 1$ voor alle $x \neq 1$ .
Leid $\lim\limits_{x \to 1} f(x)$ af. Kan $f$ uitgebreid worden tot een functie die continu is in $1$ ?

Oplossing

Oplossing van Oefening 21.2.

1. $2x^2 - 3x + 1 = (x-1)(2x-1)$ (de wortel $x=1$ springt in het oog uit $2 - 3 + 1 = 0$ ). Voor $x \neq 1$ schrap je $x - 1$ : $f(x) = 2x - 1$ .

2. Bijgevolg is $\lim_{x\to1} f(x) = 1$ . Met $f(1) = 1$ breid je $f$ uit tot de veeltermfunctie $x \mapsto 2x-1$ op $\R$ , die in $1$ continu is.

Oefening 21.3 ★

Bepaal de asymptoten van de kromme van $f(x) = \dfrac{3x - 1}{x + 2}$ en schets de kromme.

Oplossing

Oplossing van Oefening 21.3.

Schrijf $f(x) = \dfrac{3x - 1}{x + 2} = \dfrac{3(x+2) - 7}{x+2} = 3 - \dfrac{7}{x+2}$ . Voor $x \to \pm\infty$ is $f(x) \to 3$ : de rechte $y = 3$ is in beide oneindigheden een horizontale asymptoot. Voor $x \to (-2)^\pm$ is $f(x) \to \mp\infty$ : de rechte $x = -2$ is een verticale asymptoot. De kromme is een hyperbool, onder $y=3$ voor $x > -2$ en erboven voor $x < -2$ .

Oefening 21.4 ★★

Bereken

\lim_{x\to+\infty} \bigl(\sqrt{x^2 + x} - x\bigr) \qquad\text{en}\qquad \lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{1+x} - 1}{x}.

Oplossing

Oplossing van Oefening 21.4.

Vermenigvuldig met de toegevoegde uitdrukking:

\sqrt{x^2 + x} - x = \frac{x^2 + x - x^2}{\sqrt{x^2+x} + x} = \frac{x}{x\left(\sqrt{1 + 1/x} + 1\right)} = \frac{1}{\sqrt{1 + 1/x} + 1} \xrightarrow[x\to+\infty]{} \frac{1}{2}.

Net zo geldt

\frac{\sqrt{1+x} - 1}{x} = \frac{(1+x) - 1}{x\left(\sqrt{1+x} + 1\right)} = \frac{1}{\sqrt{1+x} + 1} \xrightarrow[x\to0]{} \frac{1}{2}.

Oefening 21.5 ★★

Zij $f(x) = x + \sin x$ .

Toon aan dat $f(x) \to +\infty$ voor $x \to +\infty$ , hoewel $f$ op geen enkel interval $\intco{A}{+\infty}$ strikt monotoon is.
Toon aan dat $g(x) = \dfrac{x + \sin x}{x - \sin x}$ in $+\infty$ naar $1$ streeft.

Oplossing

Oplossing van Oefening 21.5.

1. Omdat $\sin x \geq -1$ , is $f(x) \geq x - 1 \to +\infty$ , en besluiten we door vergelijking. En toch verdwijnt $f'(x) = 1 + \cos x$ in elk oneven veelvoud van $\pi$ , en wisselt de functie op elk interval $\intco{A}{+\infty}$ af tussen intervallen van strikte stijging; ze is stijgend maar niet strikt, en vooral: haar groei is niet nodig, want de vergelijking volstaat.

2. Deel voor $x > 1$ door $x$ :

g(x) = \frac{1 + \frac{\sin x}{x}}{1 - \frac{\sin x}{x}},

en $\frac{\sin x}{x} \to 0$ volgens de insluitstelling ( $\abs{\sin x} \leq 1$ ). Bijgevolg is $g(x) \to \frac{1+0}{1-0} = 1$ .

Oefening 21.6 ★★

Toon aan dat de vergelijking $x^3 - 3x + 1 = 0$ precies drie reële oplossingen heeft, en geef voor elk een interval van lengte $1$ dat ze bevat. (Tip: bestudeer het verloop van $f(x) = x^3 - 3x + 1$ ; haar afgeleide is $3x^2 - 3$ .)

Oplossing

Oplossing van Oefening 21.6.

$f(x) = x^3 - 3x + 1$ is continu, met $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)$ : $f$ stijgt op $\intoc{-\infty}{-1}$ , daalt op $\intcc{-1}{1}$ en stijgt op $\intco{1}{+\infty}$ , met lokaal maximum $f(-1) = 3 > 0$ en lokaal minimum $f(1) = -1 < 0$ , en $\lim_{-\infty} f = -\infty$ , $\lim_{+\infty} f = +\infty$ .

Op elk van de drie intervallen van monotonie is $f$ continu en strikt monotoon, en ligt $0$ strikt tussen de waarden of limieten in de uiteinden, zodat de bijectiestelling per interval precies één nulpunt geeft: in totaal drie nulpunten. Tekencontroles: $f(-2) = -1 < 0 < f(-1) = 3$ , dus één nulpunt in $\intoo{-2}{-1}$ ; $f(0) = 1 > 0 > f(1) = -1$ , één nulpunt in $\intoo{0}{1}$ ; $f(1) = -1 < 0 < f(2) = 3$ , één nulpunt in $\intoo{1}{2}$ .

Oefening 21.7 ★★

Zij $f \colon \intcc{0}{1} \to \intcc{0}{1}$ continu. Toon aan dat $f$ een vast punt heeft: er bestaat een $c \in \intcc{0}{1}$ met $f(c) = c$ . (Tip: pas de tussenwaardestelling toe op $g(x) = f(x) - x$ .)

Oplossing

Oplossing van Oefening 21.7.

Zij $g(x) = f(x) - x$ , continu op $\intcc{0}{1}$ . Omdat $f(0) \in \intcc{0}{1}$ , is $g(0) = f(0) \geq 0$ ; omdat $f(1) \in \intcc{0}{1}$ , is $g(1) = f(1) - 1 \leq 0$ . Volgens de tussenwaardestelling verdwijnt $g$ in een zekere $c \in \intcc{0}{1}$ , dus is $f(c) = c$ .

Oefening 21.8 ★★★

Een wandelaar beklimt een bergpad, vertrekt om 8 uur en komt om 20 uur aan. De volgende dag daalt ze hetzelfde pad af, opnieuw met vertrek om 8 uur en aankomst om 20 uur. Toon aan dat er een tijdstip bestaat waarop ze zich op beide dagen op precies hetzelfde punt van het pad bevindt. (Tip: voer het verschil van de twee positiefuncties in.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 21.8.

Zij $u(t)$ en $d(t)$ de posities (gemeten als afstand vanaf de voet van het pad) op tijdstip $t \in \intcc{8}{20}$ tijdens de klim en tijdens de afdaling. Beide zijn continu, met $u(8) = 0$ , $u(20) = L$ (de lengte van het pad), $d(8) = L$ en $d(20) = 0$ . De functie $g = u - d$ is continu met $g(8) = -L \leq 0$ en $g(20) = L \geq 0$ , dus is $g(c) = 0$ voor een zeker tijdstip $c$ volgens de tussenwaardestelling: op tijdstip $c$ vallen de posities van beide dagen samen.

Oefening 21.9 ★★★

Zij $f(x) = x^5 + x^3 + x - 1$ .

Toon aan dat $f$ een uniek reëel nulpunt $\alpha$ heeft, en dat $\alpha \in \intoo{0}{1}$ .
Beschrijf een bisectieprocedure die $\alpha$ op $10^{-6}$ nauwkeurig berekent, en geef het aantal iteraties dat daarvoor nodig is, vertrekkend van $\intcc{0}{1}$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 21.9.

1. $f'(x) = 5x^4 + 3x^2 + 1 > 0$ , dus is $f$ strikt stijgend op $\R$ ; met $\lim_{\pm\infty} f = \pm\infty$ en de continuïteit geeft de bijectiestelling een uniek reëel nulpunt $\alpha$ . Omdat $f(0) = -1 < 0$ en $f(1) = 2 > 0$ , is $\alpha \in \intoo{0}{1}$ .

2. Houd een interval $\intcc{a_n}{b_n}$ bij met $f(a_n) < 0 < f(b_n)$ , vertrekkend van $\intcc{0}{1}$ ; evalueer bij elke stap $f$ in het midden $m$ en houd de helft over waarop de tekenwissel blijft bestaan. Na $n$ stappen heeft het interval lengte $2^{-n}$ , zodat het midden $\alpha$ benadert op $2^{-(n+1)}$ na. We hebben $2^{-(n+1)} \leq 10^{-6}$ nodig, dus $n + 1 \geq \frac{6}{\log_{10} 2} \approx 19.93$ : $n = 20$ iteraties volstaan.

21.5 Opgave: je steekt geen rivier over zonder nat te worden

Probleem 21.1

Weekendopgave — de tussenwaardestelling dwingt vaste punten, antipoden met gelijke temperatuur en stabiele tafels af: drie onmogelijk klinkende stellingen uit één idee

Verfrommel een kaart van Frankrijk en laat ze ergens op Franse bodem vallen: een punt van de kaart ligt precies boven de plek die het voorstelt. Op elk ogenblik hebben twee diametraal tegenoverliggende punten van de evenaar precies dezelfde temperatuur. En een wiebelende vierkante tafel op oneffen grond krijg je altijd stabiel door hem te draaien. Drie salontrucs, één stelling: een continue grootheid kan niet van negatief naar positief gaan zonder onderweg te verdwijnen (Stelling 21.13). Deze opgave oefent limieten, bouwt daarna de drie wonderen — en weet precies wat de stelling niet belooft.

Deel I — Vlot met limieten.

Bereken $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{3x^2 - x}{x^2 + 5}$ , $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{2x + 1}{x^2 + 1}$ en $\lim_{x \to +\infty} (x^3 - x^2)$ (Methode 21.8).
Geef de asymptoten van $f(x) = \dfrac{3x - 1}{x + 2}$ (Definitie 21.4), met berekening van de betreffende limieten.
Bereken $\lim_{x \to 3} \dfrac{x^2 - 9}{x - 3}$ (ontbinden) en $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{x + 1} - 1}{x}$ (toegevoegde uitdrukking).
Met de insluitstelling (Stelling 21.7): bereken $\lim_{x \to 0} x \sin\frac1x$ en $\lim_{x \to +\infty} \frac{\sin x}{x}$ .
Met samenstelling en overheersende termen: $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\sqrt{4x^2 + x}}{x}$ .

Deel II — Wortels, met certificaat.

Toon aan dat de vergelijking $x^3 + x = 5$ minstens één oplossing heeft in $\intcc{1}{2}$ .
Toon aan dat de oplossing uniek is op $\R$ (Stelling 21.15).
Bewijs het klassieke feit: elke veelterm van oneven graad heeft minstens één reële wortel. (Schrijf het argument uit voor $p(x) = x^3 + a x^2 + b x + c$ : bereken de twee oneindige limieten met de overheersende term en pas daarna de tussenwaardestelling toe op een groot interval.)
De wortel van vraag 6 met bisectie lokaliseren: hoeveel halveringen van $\intcc{1}{2}$ waarborgen een fout onder $10^{-6}$ (Oefening 21.9)? Vergelijk met het verdubbelen van de decimalen bij de methode van Newton (Probleem 12.1): hoeveel stappen zou die ruwweg nodig hebben?
Het tegenvoorbeeld dat de stelling bewaakt: $g(x) = \frac1x$ voldoet aan $g(-1) = -1 < 0$ en $g(1) = 1 > 0$ , en verdwijnt toch nooit. Welke hypothese van de tussenwaardestelling faalt — en wat leert het voorbeeld over het nagaan van hypothesen?

Deel III — Drie onmogelijk klinkende stellingen.

De stelling van het vaste punt op het lijnstuk: is $f : \intcc{0}{1} \to \intcc{0}{1}$ continu, bewijs dan dat een zekere $c$ voldoet aan $f(c) = c$ . (Bestudeer $g(x) = f(x) - x$ in de twee uiteinden.)
Vertaal vraag 11 naar de verfrommelde kaart: wat speelt de rol van $f$ , waarom belandt ze in $\intcc{0}{1}$ (figuurlijk: binnen Frankrijk), en welk punt ligt precies boven zijn eigen plek? (Eén dimensie wordt stilzwijgend aangenomen — de eerlijke tweedimensionale uitspraak is de stelling van Brouwer, universitaire volumes.)
De evenaar: zij $T$ een continue temperatuur op een cirkel, opgevat als een $2\pi$ -periodieke functie met $T(0) = T(2\pi)$ . Stel $g(t) = T(t) - T(t + \pi)$ . Bereken $g(0) + g(\pi)$ , leid af dat $g$ ergens op $\intcc{0}{\pi}$ verdwijnt, en formuleer de stelling over antipodale punten.
De wiebelende tafel: een volkomen starre vierkante tafel staat op continue (zonder treden!) oneffen grond; drie poten raken altijd de grond, terwijl één zweeft op een hoogte $h(\theta)$ die continu van de draaihoek $\theta$ van de tafel afhangt. Leg uit waarom een kwartdraai de zwevende opening van teken doet veranderen — en besluit dat een zekere hoek $\theta^*$ alle vier de poten stabiel zet. (Dit argument werd in 2005 als volwaardige stelling gepubliceerd; caféhouders kenden de truc al eerder.)
De wandelaar van Oefening 21.8 gebruikte hetzelfde schema. Formuleer in drie regels het sjabloon dat de vragen 11, 13 en 14 en de wandelaar delen — welke functie bouw je, wat ga je in de uiteinden na, en wat roep je in?
Wat de tussenwaardestelling niet geeft: het bestaan kwam gratis, maar welke twee vragen laat ze open, en welke gereedschappen uit deze opgave beantwoorden ze (vragen 7 en 9)?

Deel IV — Portretten met asymptoten.

Herschrijf $f(x) = \dfrac{3x - 1}{x + 2}$ als $3 - \dfrac{7}{x + 2}$ en beschrijf daarmee de kromme volledig: asymptoten, verloop aan elke kant, schets. (Een verschoven hyperbool — de kromme van de gemiddelde kostprijs uit Probleem 4.1 was er ook een.)
De functie $f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}$ is in $1$ niet gedefinieerd. Welke waarde voor $f(1)$ maakt haar daar continu — en waarom noemen analisten zo’n punt een ophefbare discontinuïteit?
De entierfunctie $x \mapsto \lfloor x \rfloor$ (het grootste gehele getal $\leq x$ ): waar is ze continu, waar springt ze, en waarom faalt het besluit van de tussenwaardestelling voor haar (zoek $a < b$ met $\lfloor a \rfloor < \frac12 < \lfloor b \rfloor$ terwijl $\lfloor x \rfloor = \frac12$ geen oplossing heeft)?
Slotstuk — de twee gezichten van de continuïteit: de plaatselijke belofte (waarde $=$ limiet: geen teleportatie) en de globale kracht (de tussenwaardestelling: elke tussenliggende waarde wordt bezocht). Breng de vier wonderen uit deel III onder bij het juiste gezicht, en geef de leuze over het oversteken van de rivier haar precieze wiskundige naam.

Oplossing

Oplossing van Probleem 21.1.

1. Overheersende termen: $\frac{3x^2}{x^2} \to 3$ ; $\frac{2x}{x^2} = \frac2x \to 0$ ; $x^3 - x^2 = x^3\left(1 - \frac1x\right) \to +\infty$ .

2. $\lim_{x \to \pm\infty} f = 3$ : horizontale asymptoot $y = 3$ ; $\lim_{x \to (-2)^\pm} f = \mp\infty$ : verticale asymptoot $x = -2$ .

3. $\frac{(x-3)(x+3)}{x - 3} = x + 3 \to 6$ . En $\frac{\sqrt{x+1} - 1}{x} = \frac{x}{x(\sqrt{x+1} + 1)} = \frac{1}{\sqrt{x+1} + 1} \to \frac12$ .

4. $\abs{x \sin\frac1x} \leq \abs x \to 0$ , dus is de limiet $0$ . En $\abs{\frac{\sin x}{x}} \leq \frac1x \to 0$ : limiet $0$ .

5. $\frac{\sqrt{4x^2 + x}}{x} = \sqrt{4 + \frac1x} \to \sqrt4 = 2$ (continuïteit van de vierkantswortel, samenstelling).

6. $f(x) = x^3 + x$ is continu met $f(1) = 2 < 5 < 10 = f(2)$ : volgens de tussenwaardestelling is $f(c) = 5$ voor een zekere $c \in \intoo{1}{2}$ .

7. $f'(x) = 3x^2 + 1 > 0$ : strikt stijgend op $\R$ , continu, met limieten $\mp\infty$ : volgens de bijectiestelling wordt elke waarde — en in het bijzonder $5$ — precies één keer aangenomen.

8. $p(x) = x^3\left(1 + \frac ax + \frac{b}{x^2} + \frac{c}{x^3}\right)$ : voor $x \to +\infty$ is $p \to +\infty$ ; voor $x \to -\infty$ is $p \to -\infty$ . Dus geldt op een reusachtig interval $\intcc{-M}{M}$ dat $p(-M) < 0 < p(M)$ : de tussenwaardestelling levert een wortel. Hetzelfde argument met de overheersende term werkt woordelijk voor elke oneven graad — oneven machten houden in de twee oneindigheden tegengestelde tekens.

9. $n$ keer halveren laat een interval van lengte $2^{-n}$ over; en $2^{-20} \approx 9.5 \times 10^{-7} < 10^{-6}$ : twintig stappen. Newton verdubbelt per stap het aantal juiste cijfers: vanaf één juist cijfer volstaan ongeveer $3$ à $4$ stappen voor zes — de schildpad en de windhond van het wortelzoeken.

10. $g$ is niet continu op $\intcc{-1}{1}$ : ze ontploft in $0$ , en dat punt ligt in het interval. Het besluit van de tussenwaardestelling verdampt samen met haar hypothese — ga de continuïteit altijd op het hele interval na, niet alleen in de uiteinden.

11. $g(x) = f(x) - x$ is continu; $g(0) = f(0) \geq 0$ (de waarden liggen in $\intcc{0}{1}$ ) en $g(1) = f(1) - 1 \leq 0$ . Volgens de tussenwaardestelling is $g(c) = 0$ voor een zekere $c$ : $f(c) = c$ .

12. Idealiseer het land als het lijnstuk $\intcc{0}{1}$ : $f$ stuurt elke plek naar de plek die er op de verfrommelde kaart recht onder wordt getoond; verfrommelen houdt de kaart boven het land, dus belandt $f$ in $\intcc{0}{1}$ , en ze is continu (papier scheurt niet). Het vaste punt $c$ is de plek die precies boven haar eigen beeld ligt — de stelling van Brouwer behandelt de eerlijke tweedimensionale kaart.

13. $g(0) + g(\pi) = \left(T(0) - T(\pi)\right) + \left(T(\pi) - T(2\pi)\right) = T(0) - T(2\pi) = 0$ . Dus zijn $g(0)$ en $g(\pi)$ tegengesteld (of allebei nul): hoe dan ook verdwijnt de continue $g$ in een zekere $t^* \in \intcc{0}{\pi}$ , zodat $T(t^*) = T(t^* + \pi)$ — ergens op de evenaar zijn twee antipodale punten het over de temperatuur eens, op elk ogenblik.

14. De tafel een kwartslag draaien verwisselt de rollen van de twee diagonalen: het paar poten dat op de grond drukte en het paar waarvan er één zweefde wisselen van situatie, zodat de zweefhoogte — met haar teken geteld als “opening van de aangewezen diagonaal” — in $\theta$ en $\theta + \frac\pi2$ tegengestelde tekens aanneemt. Continue grond maakt $h$ continu, en de tussenwaardestelling levert een hoek $\theta^*$ met $h(\theta^*) = 0$ : vier poten op de grond. (Bij een rechthoekige tafel of bij grond met treden heb je die kans niet.)

15. Het sjabloon: bouw het verschil van de twee grootheden die je wilt laten samenvallen ( $f(x) - x$ ; $T(t) - T(t + \pi)$ ; de positie omhoog min de positie omlaag bij de wandelaar; de getekende opening bij de tafel); ga na dat het waarden van beide tekens aanneemt (vaak via een symmetrie van de uiteinden); en roep de tussenwaardestelling in op een continue functie. Het samenvallen is afgedwongen.

16. Open vragen: hoeveel oplossingen (beantwoord door de strikte monotonie en de bijectiestelling, vraag 7) en waar ze liggen (beantwoord door bisectie of Newton, vraag 9). De tussenwaardestelling is een zuiver orakel van bestaan.

17. $3 - \frac{7}{x + 2}$ : verticale asymptoot $x = -2$ , horizontale $y = 3$ ; aan elke kant van $-2$ is de functie stijgend ( $-\frac{7}{x+2}$ stijgt waar ze gedefinieerd is); de kromme is de referentiehyperbool $-\frac7x$ , $2$ naar links en $3$ omhoog geschoven — twee takken die zich tegen het kruis van de asymptoten aan vlijen.

18. Voor $x \neq 1$ is $f(x) = x + 1$ , dus $\lim_{x \to 1} f = 2$ : met $f(1) = 2$ herstel je de continuïteit. De discontinuïteit was een gaatje, geen sprong — vul het ene ontbrekende punt op en de kromme geneest: ophefbaar.

19. Continu op elk interval tussen opeenvolgende gehele getallen; in elk geheel getal $n$ springt ze van $n - 1$ naar $n$ . Met $a = 0.9$ en $b = 1.1$ is $\lfloor a \rfloor = 0 < \frac12 < 1 = \lfloor b \rfloor$ , en toch heeft $\lfloor x \rfloor = \frac12$ geen oplossing — de sprong teleporteert over $\frac12$ heen, en precies dat verbiedt de tussenwaardestelling aan continue functies.

20. Plaatselijk gezicht: waarde $=$ limiet in elk punt — het ophefbare gaatje (vraag 18) schond het geneeslijk, de sprongen van de entierfunctie (vraag 19) ongeneeslijk. Globaal gezicht: op een interval worden alle tussenliggende waarden bezocht — de certificaten voor wortels (6–8), het vaste punt, de evenaar, de tafel en de wandelaar wonen hier allemaal. De officiële naam van de leuze: de tussenwaardestelling.

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

Bekijk alle 395 begrippen in de begrippenlijst