Parameterverandering কী?

Voorbeeld 18.4 (Snelheid verandert niets meetkundigs)

Parametriseer de eenheidscirkel met

De snelheid $\norm{\gamma'(t)} = 2t$ groeit lineair, en toch is

dezelfde lengte als bij constante snelheid — zoals Stelling 18.7 belooft, via de parameterverandering $t \mapsto t^2$. De raaklijn, de kromming berekend met Propositie 18.17 en elke andere meetkundige grootheid stemmen eveneens overeen; alleen $t = 0$ verdient een blik, waar $\gamma'(0) = 0$ deze parametrisering irregulier maakt hoewel de baan een volmaakte cirkel is. Meetkundige uitspraken verdragen slechte parametriseringen slecht: parametriseer eerst opnieuw, besluit daarna.

Voorbeeld 18.5

De boog $\gamma(t) = (t^2, t^3)$ is $\mathcal{C}^\infty$ maar niet regulier: $\gamma'(0) = (0, 0)$. Haar baan, de semikubische parabool $y^2 = x^3$, heeft een keerpunt in de oorsprong: de gladheid van de parametrisering verhindert geen meetkundige singulariteit waar de snelheid verdwijnt. Daarom is de regulariteitshypothese $\gamma' \neq 0$ geen opsmuk.