Rang van een familie কী?

Voorbeeld 19.16 (Een rang berekenen met eliminatie)

Rang van $\bigl((1,2,3), (2,3,4), (3,4,5), (1,1,1)\bigr)$ in $\R^3$. Het opspansel verandert niet wanneer men van een vector een combinatie van de andere aftrekt (beide families spannen dezelfde combinaties op): vervang $(2,3,4)$ door $(2,3,4) - (1,2,3) = (1,1,1)$ en $(3,4,5)$ door $(3,4,5) - (1,2,3) = (2,2,2)$. Het opspansel is nu $\operatorname{Vect}\bigl((1,2,3), (1,1,1), (2,2,2), (1,1,1)\bigr) = \operatorname{Vect}\bigl((1,2,3), (1,1,1)\bigr)$, en die twee vectoren zijn niet evenredig: de rang is $2$. Deze procedure van aftrekken en weggooien wordt in Hoofdstuk 22 tot Gauss-eliminatie gesystematiseerd.

Voorbeeld 19.17 (Sommeren door aaneenschakelen)

Neem in $\R^3$

De som $F + G$ wordt opgespannen door de aaneengeschakelde familie van alle drie de voortbrengers, en

laat zien dat de derde overbodig is: $F + G = F$, van dimensie $2$ — equivalent $G \subseteq F$, wat de betrekking toont. Grassmann bevestigt: $\dim(F \cap G) = 2 + 1 - 2 = 1 = \dim G$. Sommen berekent men door voortbrengers aaneen te schakelen en de stapel daarna met het rangalgoritme te reduceren; een nieuwe techniek is nooit nodig.