rationale breuk কী?

Voorbeeld 9.2 (Polen, ordes en graad aflezen)

Zij $F = \dfrac{X^3 - X}{X^4 - 2X^3 + X^2}$. Ontbind beide lagen: teller $X(X-1)(X+1)$, noemer $X^2(X-1)^2$; schrap de gemeenschappelijke factor $X(X-1)$:

Polen: $0$ en $1$, beide enkelvoudig — de ordes lees je op de onvereenvoudigde noemer af, zodat de schijnbare dubbele wortels van de oorspronkelijke noemer er niet toe doen. Graad: $\deg F = 1 - 2 = -1$, asymptotisch zichtbaar ($xF(x) \to 1$ als $x \to \infty$). De graad gedraagt zich als de graad van een veelterm ($\deg FG = \deg F + \deg G$, $\deg(F + G) \leq \max$), een boekhoudregel die hieronder voortdurend bij de jacht op coëfficiënten gebruikt wordt: elk argument met “de limiet van $xF(x)$” is een vermomde graadtelling.

Voorbeeld 9.4 (Eerst vereenvoudigen, dan delen)

Bepaal het gehele deel van $F = \dfrac{X^3 + 1}{X^2 - 1}$. Blind delen: $X^3 + 1 = (X^2 - 1)X + (X + 1)$, dus $F = X + \frac{X + 1}{X^2 - 1}$. Maar de breuk was niet onvereenvoudigbaar: $X^3 + 1 = (X + 1)(X^2 - X + 1)$ en $X^2 - 1 = (X+1)(X-1)$ delen de factor $X + 1$, en

hetzelfde gehele deel $X$, maar het breukdeel stort in tot één enkele bouwsteen, en de “pool” in $-1$ was nooit een pool. Vereenvoudig altijd eerst tot de onvereenvoudigbare vorm vóór je op polen jaagt: de polen van $F$ zijn de wortels van de onvereenvoudigde noemer. (Het gehele deel is ongevoelig voor die vereenvoudiging, zoals de uniciteit in Propositie 9.3 waarborgt.)

Voorbeeld 9.8

Splits $F = \dfrac{1}{X(X-1)(X-2)}$. Drie enkelvoudige polen; afdekken in elk ervan:

zodat $F = \dfrac{1/2}{X} - \dfrac{1}{X-1} + \dfrac{1/2}{X-2}$. Controle in $X = 3$: rechtstreeks is $F(3) = \frac{1}{3\cdot2\cdot1} = \frac16$; uit de splitsing $\frac{1/2}{3} - \frac{1}{2} + \frac{1/2}{1} = \frac16 - \frac12 + \frac12 = \frac16$.