什么是 Ring？

Voorbeeld 7.18

$\Z, \Q, \R, \C$ zijn commutatieve ringen; $\Z^\times = \{1, -1\}$ en $\Q^\times = \Q^*$. Later: veeltermringen $K[X]$ (Hoofdstuk 8), matrixringen (niet-commutatief, Hoofdstuk 21), en $\Z/n\Z$ hieronder. In elke ring is $0 \times a = 0$ (uit de distributiviteit: $0a = (0+0)a = 0a + 0a$) en $(-1)a = -a$.

Voorbeeld 7.19 (Idempotenten: nieuwe verschijnselen in nieuwe ringen)

In $\Z$ heeft de vergelijking $x^2 = x$, oftewel $x(x - 1) = 0$, alleen de oplossingen $0$ en $1$. In $\Z/6\Z$ geeft het aflopen van alle klassen: $\overline0^2 = \overline0$, $\overline1^2 = \overline1$, $\overline3^2 = \overline9 = \overline3$ en $\overline4^2 = \overline{16} = \overline4$ — vier idempotenten. De twee exotische komen van nuldelers: $\overline3\,(\overline3 - \overline1) = \overline3 \times \overline2 = \overline6 = \overline0$, terwijl geen van beide factoren nul is. Zulke berekeningen ijken je instinct: vertrouwde feiten over vergelijkingen overleven in integriteitsdomeinen en lichamen, maar een algemene ring kan zich anders gedragen, en doet dat ook — zie ook de booleaanse ringen van Oefening 7.10, waar elk element idempotent is.

Voorbeeld 7.21 (Het binomium in een ongewone ring)

Twee snelle opbrengsten van de algemeenheid. In $\Z/p\Z$ ($p$ priem) verdwijnen de middelste binomiaalcoëfficiënten (de eerste stap van Stelling 6.23), zodat de stelling instort tot de droom van de eerstejaars

daar een echte identiteit, hoe misdadig ze over $\R$ ook oogt. En in elke commutatieve ring met een element $\varepsilon$ waarvoor $\varepsilon^2 = 0$, knot de stelling af: $(a + \varepsilon)^n = a^n + n\,a^{n-1}\varepsilon$, want alle hogere termen dragen een factor $\varepsilon^2 = 0$. De coëfficiënt $n\,a^{n-1}$ van $\varepsilon$ is de afgeleide van $x^n$ — geen toeval, en een eerste aanwijzing dat afgeleiden evenzeer algebra als analyse zijn (vergelijk de formele afgeleide van Hoofdstuk 8).