Wat is Som, directe som? — Wiskunde

বইগুলো এখনো বাংলা ভাষায় পাওয়া যায় না — Nederlands সংস্করণ দেখানো হচ্ছে।

Definitie 18.7 Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 1 · অধ্যায় 18 — Vectorruimten

Voor deelruimten $F, G$ van $E$ is

F + G = \{\,u + v : u \in F,\ v \in G\,\}

een deelruimte (de kleinste die $F \cup G$ bevat). De som is direct, genoteerd $F \oplus G$ , wanneer elk element van $F + G$ zich op precies één manier als $u + v$ laat schrijven; equivalent (zie hieronder) wanneer $F \cap G = \{0\}$ . Geldt $E = F \oplus G$ , dan heten de deelruimten complementair in $E$ .

Twee ontbindingen van hetzelfde punt van ℝ2 langs F (de x-as): met complementaire G (verticale val) en met complementaire G' (schuine val). De F-componenten verschillen: een projectie hangt af van de richting van de afdaling. — Twee ontbindingen van hetzelfde punt van $\R^2$ langs $F$ (de $x$ -as): met complementaire $G$ (verticale val) en met complementaire $G'$ (schuine val). De $F$ -componenten verschillen: een projectie hangt af van de richting van de afdaling.

উদাহরণ

Voorbeeld 18.8 (Een som van twee rechten)

Zij in $\R^3$ $F = \operatorname{Vect}\bigl((1,0,1)\bigr)$ en $G = \operatorname{Vect}\bigl((0,1,1)\bigr)$ . Hun som is

F + G = \{\,a(1,0,1) + b(0,1,1)\,\} = \{(a,\ b,\ a + b)\} = \{(x, y, z) : z = x + y\},

het vlak door de oorsprong dat beide rechten bevat. Het is strikt groter dan de vereniging $F \cup G$ (het loutere kruis van de twee rechten): de vector $(1, 1, 2) = (1,0,1) + (0,1,1)$ ligt in de som maar op geen van beide rechten. En $F \cap G = \{0\}$ (een gemeenschappelijke vector vereist $a(1,0,1) = b(0,1,1)$ , waarvan de eerste twee coördinaten $a = b = 0$ afdwingen): de som is direct, en $F \oplus G$ is precies dat vlak.

Voorbeeld 18.11

In $\mathcal{F}(\R, \R)$ zijn de even functies $\mathcal{P}$ en de oneven functies $\mathcal{I}$ complementair: elke $f$ schrijft zich als

f(x) = \underbrace{\frac{f(x) + f(-x)}{2}}_{\text{even}} + \underbrace{\frac{f(x) - f(-x)}{2}}_{\text{oneven}},

en een functie die zowel even als oneven is, is nul. (Toegepast op $\exp$ is dit het paar $(\cosh, \sinh)$ van Hoofdstuk 4.)

Voorbeeld 18.12 (Een complementair paar in $K_n[X]$ )

Leg $a \in K$ vast en stel $F = \{P \in K_n[X] : P(a) = 0\}$ en $G = \operatorname{Vect}(1)$ (de constanten). Dan is $K_n[X] = F \oplus G$ . Inderdaad bestaat $F \cap G$ uit de constanten die in $a$ nul worden, dus uit $\{0\}$ ; en elke $P$ ontbindt als

P = \underbrace{\bigl(P - P(a)\bigr)}_{\in F} + \underbrace{P(a)}_{\in G} .

De ontbinding is het onthouden waard: de waarde in een punt aftrekken is de standaardmanier om op “functies die in $a$ nul worden” te projecteren. Merk op dat $F$ een grote deelruimte is en $G$ een kleine; een complementair paar hoeft in geen enkele zin in evenwicht te zijn.

প্রসঙ্গসহ পড়ো →

উদাহরণ

সম্পর্কিত পরিভাষা-শব্দ