Wat is trapfunctie? — Wiskunde

বইগুলো এখনো বাংলা ভাষায় পাওয়া যায় না — Nederlands সংস্করণ দেখানো হচ্ছে।

Definitie 15.1 Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 1 · অধ্যায় 15 — Integratie op een segment

$\varphi \colon \intcc{a}{b} \to \R$ heet een trapfunctie wanneer er een verdeling $a = x_0 < x_1 < \dots < x_n = b$ bestaat waarvoor $\varphi$ constant is, gelijk aan $c_i$ , op elk open interval $\intoo{x_{i-1}}{x_i}$ (de waarden in de knooppunten zijn vrij). Haar integraal is

\int_a^b \varphi = \sum_{i=1}^{n} c_i\,(x_i - x_{i-1}),

onafhankelijk van de gekozen verdeling (verfijn twee verdelingen tot hun gemeenschappelijke verdeling: elk van beide leden blijft bij verfijning ongewijzigd).

উদাহরণ

Voorbeeld 15.5 (Stuksgewijs continu, geen drama)

Het gehele deel op $\intcc{0}{3}$ is een vermomde trapfunctie: door in zijn sprongen te splitsen krijgen we

\int_0^3 \lfloor t \rfloor\,\dd t = \int_0^1 0 + \int_1^2 1 + \int_2^3 2 = 0 + 1 + 2 = 3 ,

en de waarden in de sprongpunten $1, 2$ doen er niet toe: een functie in eindig veel punten wijzigen verandert geen enkele integraal (de omsluitende trapfuncties blijven onaangetast). Dat is de hele inhoud van de uitbreiding “stuksgewijs continu”: snijd in de eindig veel discontinuïteiten, integreer elk continu stuk, tel op — Chasles als definitie.

Voorbeeld 15.6 (De definitie rekent, eenmalig)

Zij $f(x) = x$ op $\intcc{0}{1}$ en snijd in $n$ gelijke stukken. De beste trapfuncties die constant zijn op de stukken, zijn $\varphi = \frac{k-1}{n}$ en $\psi = \frac kn$ op het $k$ -de stuk, met

\int_0^1 \varphi = \sum_{k=1}^{n} \frac{k-1}{n}\cdot\frac1n = \frac{n-1}{2n}, \qquad \int_0^1 \psi = \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n}\cdot\frac1n = \frac{n+1}{2n} .

Elke onderste integraal is $\leq I_-(f) \leq I_+(f) \leq$ elke bovenste, dus $\frac{n-1}{2n} \leq I_-(f) \leq I_+(f) \leq \frac{n+1}{2n}$ voor alle $n$ : beide worden op $\frac12$ samengeknepen, en $\int_0^1 x\,\dd x = \frac12$ rechtstreeks uit de definitie. Het afsluitende inzicht: dit is de eerste en de laatste keer dat we uit de definitie integreren — de hoofdstelling hieronder vervangt al zulke berekeningen door het opzoeken van één primitieve, en dat is het hele economische punt van dit hoofdstuk.

প্রসঙ্গসহ পড়ো →

উদাহরণ

সম্পর্কিত পরিভাষা-শব্দ