全部书籍

1 Wiskunde basisschool en onderbouw1–9 年级在线 2 Wiskunde bovenbouw10–12 年级在线 3 Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 1本科一年级在线 4 Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 2本科二年级在线 5 Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 3本科三年级在线

1 Natuurkunde basisschool en onderbouw1–9 年级在线 2 Natuurkunde bovenbouw10–12 年级在线 3 Universitaire natuurkunde — jaar 1本科一年级在线 4 Universitaire natuurkunde — jaar 2本科二年级在线 5 Universitaire natuurkunde — jaar 3本科三年级在线

1 Scheikunde van basisschool tot bovenbouw1–12 年级在线 2 Universitaire scheikunde — jaar 1本科一年级在线 3 Universitaire scheikunde — jaar 2本科二年级在线 4 Universitaire scheikunde — jaar 3本科三年级在线

1 Biologie basisschool en onderbouw1–9 年级在线 2 Biologie bovenbouw10–12 年级在线 3 Universitaire biologie — jaar 1本科一年级在线 4 Universitaire biologie — jaar 2本科二年级在线 5 Universitaire biologie — jaar 3本科三年级在线

1 Aard- en ruimtewetenschappen basisschool en onderbouw1–9 年级在线 2 Aard- en ruimtewetenschappen bovenbouw10–12 年级在线 3 Universitaire aard- en ruimtewetenschappen — jaar 1本科一年级在线 4 Universitaire aard- en ruimtewetenschappen — jaar 2本科二年级在线 5 Universitaire aard- en ruimtewetenschappen — jaar 3本科三年级在线

1 Markets I: The Ecosystem and Exchange-Traded Markets市场在线英文 2 Markets II: Rates, FX and Credit市场在线英文 3 Markets III: Commodities, Energy and Crypto市场在线英文 4 Quantitative Methods方法在线英文 5 Derivatives and Volatility衍生品在线英文 6 Rates, Credit, XVA and Risk利率、信用与风险在线英文 7 Research Craft: Predictors, Backtests, Measurement, Portfolios研究在线英文 8 Strategies I: Equities and Futures策略在线英文 9 Strategies II: Volatility, Relative Value, Macro and the Bank Desks策略在线英文 10 Microstructure and Execution交易执行在线英文 11 Market Making and High-Frequency Trading做市在线英文 12 Machine Learning for Markets机器学习在线英文 13 Low-Latency Software技术在线英文 14 Networks, Hardware and Trading Infrastructure技术在线英文 15 Research, Data and Risk Platforms技术在线英文 16 The Desk and the Firm公司运营在线英文 17 The Industry: Firms, Roles and Careers职业发展在线英文 18 Interviews I: Maths, Probability and Speed职业发展在线英文 19 Interviews II: Markets, Trading Games and the Final Round职业发展在线英文 20 Interviews III: Code职业发展在线英文

全部游戏 Math Fuse Word Reactor Atlas Dash

应用关于

Coach

English Français Español Nederlands Português हिन्दी العربية Bahasa Indonesia 简体中文 বাংলা

登录开始阅读

书籍暂未推出简体中文版——当前显示 Nederlands 版。

Wiskunde · 术语表

什么是 trapfunctie？

Definitie 15.1 Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 1 · 第 15 章 — Integratie op een segment

$\varphi \colon \intcc{a}{b} \to \R$ heet een trapfunctie wanneer er een verdeling $a = x_0 < x_1 < \dots < x_n = b$ bestaat waarvoor $\varphi$ constant is, gelijk aan $c_i$ , op elk open interval $\intoo{x_{i-1}}{x_i}$ (de waarden in de knooppunten zijn vrij). Haar integraal is

\int_a^b \varphi = \sum_{i=1}^{n} c_i\,(x_i - x_{i-1}),

onafhankelijk van de gekozen verdeling (verfijn twee verdelingen tot hun gemeenschappelijke verdeling: elk van beide leden blijft bij verfijning ongewijzigd).

示例

Voorbeeld 15.5 (Stuksgewijs continu, geen drama)

Het gehele deel op $\intcc{0}{3}$ is een vermomde trapfunctie: door in zijn sprongen te splitsen krijgen we

\int_0^3 \lfloor t \rfloor\,\dd t = \int_0^1 0 + \int_1^2 1 + \int_2^3 2 = 0 + 1 + 2 = 3 ,

en de waarden in de sprongpunten $1, 2$ doen er niet toe: een functie in eindig veel punten wijzigen verandert geen enkele integraal (de omsluitende trapfuncties blijven onaangetast). Dat is de hele inhoud van de uitbreiding “stuksgewijs continu”: snijd in de eindig veel discontinuïteiten, integreer elk continu stuk, tel op — Chasles als definitie.

Voorbeeld 15.6 (De definitie rekent, eenmalig)

Zij $f(x) = x$ op $\intcc{0}{1}$ en snijd in $n$ gelijke stukken. De beste trapfuncties die constant zijn op de stukken, zijn $\varphi = \frac{k-1}{n}$ en $\psi = \frac kn$ op het $k$ -de stuk, met

\int_0^1 \varphi = \sum_{k=1}^{n} \frac{k-1}{n}\cdot\frac1n = \frac{n-1}{2n}, \qquad \int_0^1 \psi = \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n}\cdot\frac1n = \frac{n+1}{2n} .

Elke onderste integraal is $\leq I_-(f) \leq I_+(f) \leq$ elke bovenste, dus $\frac{n-1}{2n} \leq I_-(f) \leq I_+(f) \leq \frac{n+1}{2n}$ voor alle $n$ : beide worden op $\frac12$ samengeknepen, en $\int_0^1 x\,\dd x = \frac12$ rechtstreeks uit de definitie. Het afsluitende inzicht: dit is de eerste en de laatste keer dat we uit de definitie integreren — de hoofdstelling hieronder vervangt al zulke berekeningen door het opzoeken van één primitieve, en dat is het hele economische punt van dit hoofdstuk.

在原文中阅读 →