Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 3 · Bachelor Year 3

20Deelvariëteiten van ℝn

Bollen, tori, rotatiegroepen: de natuurlijke habitats van meetkunde en mechanica zijn geen vectorruimten maar gekromde verzamelingen die van dichtbij vlak lijken. Dit hoofdstuk geeft die zin een precieze betekenis — deelvariëteiten van $\R^n$ — en de calculus om erop te werken. De grondslag is de stelling van de inverse functie, hier bewezen via het Banach-vastpunt; al het overige is coördinatenwisseling: de vier equivalente beschrijvingen van een deelvariëteit (lokale rechttrekking, niveaucurven, grafieken, parametriseringen), raakruimten, en geoptimaliseerd onder nevenvoorwaarden via multiplicatoren van Lagrange — die, als afscheidende demonstratie, de spectraalstelling voor symmetrische matrices in drie regels meetkunde herbewezen. Het weekendprobleem bouwt de rotatiegroep $SO(3)$ en haar quaternionische dubbeldekking: algebra ( $Q_8$ van Hoofdstuk 1, volwassen) ontmoet meetkunde.

20.1 De stelling van de inverse functie

Stelling 20.1 (Stelling van de inverse functie)

Zij $U \subseteq \R^n$ open, $f \colon U \to \R^n$ van klasse $\mathcal C^1$ , en $a \in U$ met $Df(a)$ inverteerbaar. Dan bestaan open verzamelingen $V \ni a$ , $W \ni f(a)$ zodat $f \colon V \to W$ een bijectie is met $\mathcal C^1$ -inverse, en

D(f^{-1})(y) = \bigl(Df(f^{-1}(y))\bigr)^{-1} \qquad (y \in W).

Als $f$ van klasse $\mathcal C^k$ is, zo ook $f^{-1}$ .

Bewijs. Normaliseer: vervang $f$ door $x \mapsto Df(a)^{-1}\bigl(f(a + x) - f(a)\bigr)$ , zodat we $a = 0$ , $f(0) = 0$ , $Df(0) = I$ mogen aannemen (de algemene uitspraak volgt door samenstellen met de affiene bijecties). Schrijf $f(x) = x + g(x)$ : $Dg(0) = 0$ , en kies door continuïteit van $Dg$ een $r > 0$ met $\vertiii{Dg(x)} \leq \frac12$ op $\bar B(0, r)$ ; de middelwaardeongelijkheid geeft $\norm{g(x) - g(x')} \leq \frac12 \norm{x - x'}$ daar.

Bijectiviteit op een omgeving. Voor $y \in B(0, \frac r2)$ betekent $f(x) = y$ oplossen het vinden van een vast punt van $\Phi_y(x) = y - g(x)$ ; $\Phi_y$ beeldt $\bar B(0, r)$ in zichzelf af ( $\norm{\Phi_y(x)} \leq \norm y + \frac12\norm x \leq r$ ) en is $\frac12$ -Lipschitz: Banach (Stelling 7.4) levert een unieke oplossing $x = \varphi(y) \in \bar B(0,r)$ . Bovendien is $f$ injectief op $\bar B(0,r)$ :

\norm{f(x) - f(x')} \geq \norm{x - x'} - \norm{g(x) - g(x')} \geq \tfrac12\norm{x - x'} . \tag{$*$}

Stel $W = B(0, \frac r2)$ en $V = f^{-1}(W)\cap B(0, r)$ : open (continuïteit), met $f \colon V \to W$ bijectief.

Continuïteit en differentieerbaarheid van de inverse. $(*)$ zegt dat $\varphi = f^{-1}$ $2$ -Lipschitz is. Fixeer $y_0 = f(x_0) \in W$ ; inverteerbaarheid van $A = Df(x_0)$ (haar afstand tot $I$ is $\leq \frac12$ : Neumann, Propositie 8.4) en differentieerbaarheid van $f$ geven, voor $y = f(x)$ nabij $y_0$ :

\varphi(y) - \varphi(y_0) - A^{-1}(y - y_0) = -A^{-1}\bigl(f(x) - f(x_0) - A(x - x_0)\bigr) = -A^{-1}\,o(\norm{x - x_0}) = o(\norm{y - y_0}),

met $(*)$ om $\norm{x - x_0} \leq 2\norm{y - y_0}$ om te zetten: $\varphi$ is differentieerbaar in $y_0$ met de inverse differentiaal. Continuïteit van $y \mapsto D\varphi(y) = Df(\varphi(y))^{-1}$ : samenstelling van continue afbeeldingen (inversie is continu, Propositie 8.4): $\varphi \in \mathcal C^1$ ; bootstrappen van dezelfde formule geeft $\mathcal C^k$ . ∎

Stelling 20.2 (Stelling van de impliciete functie)

Zij $F \colon U \subseteq \R^p\times\R^q \to \R^q$ van klasse $\mathcal C^1$ nabij $(a, b)$ , $F(a,b) = 0$ , en veronderstel dat de partiële differentiaal $D_yF(a,b) \in \mathcal L(\R^q)$ inverteerbaar is. Dan bestaan omgevingen $A \ni a$ , $B \ni b$ en een $\mathcal C^1$ -afbeelding $\psi \colon A \to B$ met

\bigl\{(x, y)\in A\times B : F(x,y) = 0\bigr\} = \{(x, \psi(x)) : x \in A\},

en $D\psi(x) = -D_yF(x, \psi(x))^{-1}\,D_xF(x, \psi(x))$ .

Bewijs. Pas Stelling 20.1 toe op $\Theta(x, y) = (x, F(x,y))$ : haar differentiaal in $(a,b)$ , blok-driehoekig met inverteerbare diagonale blokken $I$ en $D_yF$ , is inverteerbaar. De lokale inverse heeft de vorm $\Theta^{-1}(x, z) = (x, h(x, z))$ ; stel $\psi(x) = h(x, 0)$ : dan $F(x, y) = 0$ desda $\Theta(x,y) = (x, 0)$ desda $y = \psi(x)$ , lokaal. De formule: differentieer $F(x, \psi(x)) = 0$ met de kettingregel. ∎

20.2 Deelvariëteiten: vier definities

Stelling 20.3 (Equivalente karakteriseringen)

Zij $M \subseteq \R^n$ , $d \in \{0, \dots, n\}$ , en $k \geq 1$ . De volgende zijn equivalent, voor elk punt $a \in M$ (en $M$ is een $d$ -dimensionale deelvariëteit van klasse $\mathcal C^k$ als zij in elke $a \in M$ gelden):

(Rechttrekking) Er bestaat een $\mathcal C^k$ -diffeomorfisme $\Phi$ van een open $\Omega \ni a$ op een open $\Omega' \subseteq \R^n$ met

$\Phi(M\cap\Omega) = \Omega' \cap \bigl(\R^d\times\{0\}\bigr).$
(Niveaucurve) Er bestaat een $\mathcal C^k$ -submersie $F \colon \Omega \to \R^{n-d}$ (d.w.z. $DF(x)$ surjectief) op een open $\Omega \ni a$ met $M\cap\Omega = F^{-1}(0)$ .
(Grafiek) Op permutatie van coördinaten na is $M$ lokaal de grafiek van een $\mathcal C^k$ -afbeelding $\psi \colon A \subseteq \R^d \to \R^{n-d}$ .
(Parametrisering) Er bestaat een $\mathcal C^k$ -immersie $\varphi \colon A \subseteq \R^d \to \R^n$ ( $D\varphi(u)$ injectief) met $A$ open, $\varphi$ een homeomorfisme van $A$ op $M \cap \Omega$ voor enige open $\Omega \ni a$ .

Bewijs. (1) $\Rightarrow$ (2): $F = (\Phi_{d+1}, \dots, \Phi_n)$ (laatste coördinaten van $\Phi$ ): een submersie ( $D\Phi$ inverteerbaar). (2) $\Rightarrow$ (3): $DF(a)$ surjectief: enige $q \times q$ -minor van de Jacobiaan is inverteerbaar ( $q = n - d$ ); na permutatie van coördinaten is $D_yF(a)$ inverteerbaar, en de stelling van de impliciete functie (Stelling 20.2) drukt $M$ lokaal uit als grafiek $y = \psi(x)$ . (3) $\Rightarrow$ (4): $\varphi(x) = (x, \psi(x))$ : een immersie (differentiaal $\bigl(\begin{smallmatrix}I\\ D\psi\end{smallmatrix}\bigr)$ injectief), een homeomorfisme op de grafiek (inverse: de projectie, continu). (4) $\Rightarrow$ (1): zij $\varphi(u_0) = a$ ; vul $\operatorname{im}D\varphi(u_0)$ aan met een supplement $E$ ( $\dim E = n - d$ ) en definieer $\Theta(u, v) = \varphi(u) + v$ op $A\times E$ : $D\Theta(u_0, 0)$ is bijectief (beeld bevat $\operatorname{im}D\varphi(u_0)$ en $E$ ), dus is $\Theta$ een lokaal diffeomorfisme (Stelling 20.1); haar inverse $\Phi$ trekt recht: nabij $a$ zijn punten van $M$ precies de $\varphi(u) = \Theta(u, 0)$ — hiervoor garandeert de homeomorfisme-hypothese in (4) dat $M\cap\Omega$ , voor kleine $\Omega$ , geen andere bladen bevat ( $\varphi(u') + v = m \in M$ dicht bij $a$ met kleine $v \neq 0$ moet worden uitgesloten: $m = \varphi(u'')$ voor enige $u''$ nabij $u_0$ door de homeomorfisme-eigenschap, en lokale injectiviteit van $\Theta$ dwingt $v = 0$ ). Dan $\Phi(M\cap\Omega) = (A\times\{0\}) \cap\Phi(\Omega)$ na inkrimpen. ∎

Voorbeeld 20.4

De sfeer $S^{n-1} = \{\norm x^2 = 1\}$ : niveaucurve van de submersie $F(x) = \norm x_2^2 - 1$ op $\R^n\setminus\{0\}$ ( $DF(x) = 2x^{\mathsf T} \ne 0$ ): een $\mathcal C^\infty$ -deelvariëteit van dimensie $n - 1$ . De torus in $\R^3$ : niveaucurve van $\bigl(\sqrt{x^2 + y^2} - R\bigr)^2 + z^2 - r^2$ ( $0 < r < R$ ). De kegel $\{x^2 + y^2 = z^2\}$ is geen deelvariëteit in $0$ (Oefening 20.1). Matrixgroepen: $SL_n$ en $O_n$ zijn deelvariëteiten van $M_n(\R)$ (Oefeningen 20.5 en 20.6) — het startpunt van de Lie-theorie.

20.3 Raakruimten

Definitie 20.5

Zij $M$ een $d$ -deelvariëteit en $a \in M$ . De raakruimte $T_aM$ is de verzameling snelheidsvectoren $\gamma'(0)$ van $\mathcal C^1$ -krommen $\gamma \colon \intoo{-\varepsilon}\varepsilon \to M$ met $\gamma(0) = a$ .

Propositie 20.6

$T_aM$ is een $d$ -dimensionale vectordeelruimte van $\R^n$ , en:

als $M = F^{-1}(0)$ lokaal met $F$ een submersie: $T_aM = \ker DF(a)$ ;
als $M$ geparametriseerd wordt door de immersie $\varphi$ ( $\varphi(u_0) = a$ ): $T_aM = \operatorname{im}D\varphi(u_0)$ .

Bewijs. Krommen in $M$ voldoen aan $F(\gamma(t)) = 0$ ; de kettingregel in $0$ geeft $DF(a)\gamma'(0) = 0$ : $T_aM \subseteq \ker DF(a)$ . Omgekeerd transporteert rechttrekking (Stelling 20.3(1)) lijnen van $\R^d\times\{0\}$ naar krommen van $M$ : elke vector van een $d$ -dimensionale deelruimte wordt gerealiseerd; dimensies vergelijken ( $\dim\ker DF(a) = n - (n - d) = d$ ) dwingt gelijkheid in (1), en hetzelfde transportargument geeft (2) ( $D\varphi(u_0)$ toegepast op rechte lijnen in $A$ ; dimensies opnieuw). ∎

Stelling 20.7 (Multiplicatoren van Lagrange)

Zij $M = F^{-1}(0)$ met $F = (F_1, \dots, F_q) \colon \Omega \to \R^q$ een $\mathcal C^1$ -submersie, en zij $f \colon \Omega \to \R$ van klasse $\mathcal C^1$ . Als de restrictie $f\restriction_M$ een lokaal extremum heeft in $a \in M$ , dan bestaan unieke reële $\lambda_1, \dots, \lambda_q$ (multiplicatoren van Lagrange) met

\nabla f(a) = \lambda_1\nabla F_1(a) + \dots + \lambda_q\nabla F_q(a) .

Bewijs. Voor elke kromme $\gamma$ in $M$ door $a$ : $t \mapsto f(\gamma(t))$ heeft een lokaal extremum in $0$ , dus $0 = \frac{\dd}{\dd t}f(\gamma(t))\big|_0 = \langle\nabla f(a), \gamma'(0)\rangle$ : $\nabla f(a) \perp T_aM = \ker DF(a)$ (Propositie 20.6). Nu is $\ker DF(a)^\perp = \operatorname{im}DF(a)^{\mathsf T}$ (de rang/orthogonaliteitsidentiteit van Jaar 2, of Oefening 13.8 in eindige dimensie: $(\ker T)^\perp = \operatorname{im}T^*$ ), die wordt opgespannen door de gradiënten $\nabla F_i(a)$ — onafhankelijk, omdat $DF(a)$ surjectief is: de multiplicatoren bestaan en zijn uniek. ∎

Voorbeeld 20.8 (De spectraalstelling, meetkundig)

Zij $A$ een reële symmetrische $n\times n$ -matrix en maximaliseer $f(x) = \langle Ax, x\rangle$ op de sfeer $S^{n-1}$ (compact: het maximum wordt bereikt, in enige $v_1$ ). Lagrange met $F(x) = \norm x^2 - 1$ : $\nabla f = 2Ax$ en $\nabla F = 2x$ geven $Av_1 = \lambda_1v_1$ — een eigenvector, met $\lambda_1 = \max_{S^{n-1}}\langle Ax, x\rangle$ . Restricteer $A$ tot $v_1^\perp$ (invariant: $\langle Av, v_1\rangle = \langle v, Av_1\rangle = \lambda_1\langle v, v_1\rangle = 0$ ) en itereer: een orthonormal basis van eigenvectoren. De spectraalstelling van Jaar 2, herbewezen door pure optimalisatie — en de oneindigdimensionale schaduw van hetzelfde argument bewees Lemma 15.6.

Methode 20.9

Om te bewijzen dat een verzameling een deelvariëteit is: toon haar lokaal als $F^{-1}(0)$ met $DF$ surjectief op de verzameling (de meest voorkomende route), of als grafiek. Om dimensie en raakruimte te berekenen: $d = n - q$ en $T_a = \ker DF(a)$ . Om erop te optimaliseren: Lagrange — controleer altijd eerst compactheid (of coërciviteit), zodat een extremum bestaat waarop de stelling kan worden toegepast, en onthoud dat de multiplicatorvergelijking slechts noodzakelijk is: verzamel alle kritieke punten, vergelijk dan waarden. Voor matrixgroepen, differentieer krommen in de identiteit om raakruimten te identificeren.

20.4 Oefeningen

Oefening 20.1 ★

(a) Verifieer dat de volgende $\mathcal C^\infty$ -deelvariëteiten zijn en geef hun dimensies: $S^{n-1}$ ; de hyperboloïde $\{x^2 + y^2 - z^2 = 1\}$ ; de torus van Voorbeeld 20.4. (b) Toon aan dat de kegel $C = \{x^2 + y^2 = z^2\} \subseteq \R^3$ geen $2$ -deelvariëteit is in $0$ : bepaal het aantal samenhangscomponenten van $\bigl(C\setminus\{0\}\bigr)\cap B(0,\varepsilon)$ , en vergelijk met het aantal dat een rechttrekking (Stelling 20.3(1)) zou dwingen voor een vlak minus een punt.

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.1.

(a) Elk is $F^{-1}(0)$ voor een submersie: $\norm x^2 - 1$ op $\R^n\setminus\{0\}$ (gradiënt $2x \neq 0$ ): dimensie $n-1$ ; $x^2 + y^2 - z^2 - 1$ (gradiënt $(2x, 2y, -2z) \neq 0$ op de hyperboloïde, waar $x^2 + y^2 = 1 + z^2 > 0$ ): dimensie $2$ ; de torusfunctie $G = (\rho - R)^2 + z^2 - r^2$ , $\rho = \sqrt{x^2+y^2}$ , is $\mathcal C^\infty$ nabij de torus ( $\rho \geq R - r > 0$ daar) met $\nabla G \neq 0$ (haar $z$ -component is $2z$ , en waar $z = 0$ is de radiale component $2(\rho - R)\ne0$ want $\abs{\rho - R} = r$ ): dimensie $2$ .

(b) Voor kleine $\varepsilon$ heeft $(C\setminus\{0\})\cap B(0,\varepsilon)$ precies $2$ samenhangscomponenten (bovenste en onderste doorboorde nappen, elk padsamenhangend: verbind via cirkels en stralen). Als $C$ een $2$ -deelvariëteit was in $0$ , zou een rechttrekking een homeomorfisme geven van $C\cap\Omega$ op een open stuk van een vlak dat $0$ naar een punt $p$ stuurt; kleine doorboorde vlakomgevingen van $p$ hebben één component, en homeomorfismen bewaren het aantal componenten van doorboorde omgevingen: tegenspraak.

Oefening 20.2 ★

Bereken de raakruimten: (a) $T_aS^{n-1}$ voor willekeurige $a$ (antwoord: $a^\perp$ ); (b) het raakvlak aan de torus van Voorbeeld 20.4 in een willekeurig punt van de buitenste evenaar $\{z = 0,\ x^2 + y^2 = (R + r)^2\}$ ; (c) de raaklijn aan de helix $\varphi(t) = (\cos t, \sin t, t)$ in $\varphi(t_0)$ , met controle van Propositie 20.6(2).

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.2.

(a) $T_aS^{n-1} = \ker\bigl(2a^{\mathsf T}\bigr) = a^\perp$ . (b) In $p = ((R+r)\cos\theta, (R+r)\sin\theta, 0)$ : $\nabla G = (2r\cos\theta, 2r\sin\theta, 0)$ , dus is het raakvlak $\operatorname{Vect}\bigl((-\sin\theta, \cos\theta, 0),\ (0, 0, 1)\bigr)$ : het verticale vlak raak aan de buitenste evenaar. (c) De helix is een ingebedde kromme met $\varphi'(t_0) = (-\sin t_0, \cos t_0, 1) \neq 0$ : de raaklijn in $\varphi(t_0)$ is $\varphi(t_0) + \R\,\varphi'(t_0)$ , zoals Propositie 20.6(2) voorschrijft.

Oefening 20.3 ★★

Zij $f(x, y) = (x^2 - y^2,\ 2xy)$ (d.w.z. $z \mapsto z^2$ ). (a) In welke punten past Stelling 20.1 toe? (b) Toon aan dat $f$ lokaal maar niet globaal inverteerbaar is op $\R^2\setminus\{0\}$ , en geef expliciet de twee lokale inversen gedefinieerd op een omgeving van $(1, 0)$ (de twee vierkantsworteltakken). (c) Zelfde discussie voor de poolcoördinatenafbeelding $(r, \theta) \mapsto (r\cos\theta, r\sin\theta)$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.3.

(a) $Df(x,y) = \bigl(\begin{smallmatrix}2x & -2y\\ 2y & 2x\end{smallmatrix}\bigr)$ , $\det = 4(x^2 + y^2)$ : de stelling past toe in elk punt behalve de oorsprong. (b) $f(-z) = f(z)$ : nooit injectief op een verzameling symmetrisch om $0$ ; op $\R^2\setminus\{0\}$ is zij overal een lokaal diffeomorfisme maar globaal $2$ -op- $1$ . Nabij $(1, 0) = f(\pm(1, 0))$ zijn de twee inversen de twee vierkantsworteltakken: in complexe notatie $w \mapsto \pm\sqrt w$ (principale tak), d.w.z.

(u, v) \longmapsto \pm\Bigl(\sqrt{\tfrac{u + \sqrt{u^2+v^2}}{2}},\ \frac{v}{2\sqrt{(u + \sqrt{u^2+v^2})/2}}\Bigr).

(c) Jacobiaan $r > 0$ : lokaal diffeomorfisme op $\intoo0\infty\times\R$ , maar $\theta \mapsto \theta + 2\pi$ geeft hetzelfde punt: lokaal inverteerbaar (hoek bepaald tot op $2\pi$ op een halfvlak), nooit globaal.

Oefening 20.4 ★★

(Folium) Zij $F(x,y) = x^3 + y^3 - 3xy$ en $\mathcal C = F^{-1}(0)$ . (a) Toon aan dat nabij elk punt van $\mathcal C$ behalve de oorsprong $\mathcal C$ een $1$ -deelvariëteit is, lokaal een grafiek in $x$ of in $y$ (welke, waar?). (b) Bereken de raaklijn in $(\frac32, \frac32)$ . (c) Wat gebeurt er in de oorsprong? (Twee takken kruisen: toon twee $\mathcal C^1$ -krommen in $\mathcal C$ door $0$ met onafhankelijke snelheden, en concludeer dat geen rechttrekking bestaat.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.4.

(a) $\nabla F = 3(x^2 - y,\ y^2 - x)$ verdwijnt desda $y = x^2$ en $x = y^2$ , d.w.z. $x^4 = x$ : in $(0,0)$ en $(1,1)$ ; alleen $(0,0)$ ligt op $\mathcal C$ ( $F(1,1) = -1$ ). Dus is $F$ op $\mathcal C\setminus\{0\}$ een submersie: een $1$ -deelvariëteit, lokaal een grafiek $y = \psi(x)$ waar $F_y = 3(y^2 - x) \neq 0$ en $x = \chi(y)$ waar $F_x = 3(x^2 - y) \neq 0$ (minstens één geldt buiten de oorsprong).

(b) In $(\frac32, \frac32)$ : $\nabla F = 3(\frac94 - \frac32)(1, 1) = \frac94(1,1)$ : raaklijn $x + y = 3$ .

(c) De rationale parametrisering $x = \frac{3t}{1 + t^3}$ , $y = \frac{3t^2}{1+t^3}$ gaat door $0$ in $t = 0$ met snelheid $(3, 0)$ ; $x \leftrightarrow y$ omwisselen (de curve is symmetrisch, of herparametriseer met $1/t$ ) geeft een tweede $\mathcal C^1$ -kromme door $0$ met snelheid $(0, 3)$ . Twee onafhankelijke raakrichtingen zijn onmogelijk voor een $1$ -deelvariëteit (haar raakruimte is een lijn, Propositie 20.6): $\mathcal C$ is geen deelvariëteit in de oorsprong — een transversale zelfkruising.

Oefening 20.5 ★★

Zij $F(M) = M^{\mathsf T}M$ van $M_n(\R)$ naar de ruimte $S_n$ van symmetrische matrices. (a) Toon aan $DF(M)(H) = M^{\mathsf T}H + H^{\mathsf T}M$ en dat $DF(M)$ surjectief is op $S_n$ in elke $M \in O_n$ (gegeven $S \in S_n$ , probeer $H = \frac12MS$ ). (b) Concludeer dat $O_n = F^{-1}(I)$ een compacte $\mathcal C^\infty$ -deelvariëteit is van dimensie $\frac{n(n-1)}2$ , met $T_IO_n = \{H : H^{\mathsf T} = -H\}$ , de antisymmetrische matrices. (c) Toon aan dat $\eu^{tH} \in O_n$ voor elke antisymmetrische $H$ : de raakrichtingen integreren tot krommen in de groep.

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.5.

(a) $F(M + H) = M^{\mathsf T}M + M^{\mathsf T}H + H^{\mathsf T}M + H^{\mathsf T}H$ : $DF(M)(H) = M^{\mathsf T}H + H^{\mathsf T}M$ . Voor $M \in O_n$ en $S$ symmetrisch geeft $H = \frac12MS$ $DF(M)(H) = \frac12(S + S^{\mathsf T}) = S$ : surjectief op $S_n$ .

(b) $O_n = F^{-1}(I)$ met $F$ een submersie (op $S_n$ , van dimensie $\frac{n(n+1)}2$ ) in elk van haar punten: een deelvariëteit van dimensie $n^2 - \frac{n(n+1)}2 = \frac{n(n-1)}2$ . Compact: gesloten ( $F$ continu) en begrensd (kolommen zijn eenheidsvectoren). Raakruimte in $I$ : $\ker DF(I) = \{H : H + H^{\mathsf T} = 0\}$ .

(c) $\bigl(\eu^{tH}\bigr)^{\mathsf T}\eu^{tH} = \eu^{tH^{\mathsf T}}\eu^{tH} = \eu^{-tH}\eu^{tH} = I$ (transponeren gaat door de reeks; de exponentialen van commuterende matrices vermenigvuldigen, Stelling 19.8).

Oefening 20.6 ★★

(a) Toon aan dat $\det \colon M_n(\R) \to \R$ differentiaal $D\det(M)(H) = \operatorname{tr}\bigl(\operatorname{com}(M) ^{\mathsf T}H\bigr)$ heeft, niet-nul in elke $M \in SL_n$ . (b) Concludeer dat $SL_n(\R)$ een deelvariëteit is van dimensie $n^2 - 1$ met $T_ISL_n = \{H : \operatorname{tr}H = 0\}$ . (c) Is $GL_n(\R)$ een deelvariëteit? Van welke dimensie?

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.6.

(a) $\det(M + H) = \det M\,\det(I + M^{-1}H) = \det M\bigl(1 + \operatorname{tr}(M^{-1}H) + O(\norm H^2)\bigr)$ voor inverteerbare $M$ (ontwikkeling van $\det$ nabij $I$ : de lineaire term van $\prod(1 + \lambda_i)$ ); met $\det M\cdot M^{-1} = \operatorname{com}(M)^{\mathsf T}$ : $D\det(M)(H) = \operatorname{tr}\bigl(\operatorname{com} (M)^{\mathsf T}H\bigr)$ , en de formule strekt zich tot alle $M$ uit door densiteit en continuïteit. Op $SL_n$ , $\det M = 1$ : $D\det(M) \ne 0$ (haar waarde op $H = M$ is $\operatorname{tr}(I)\cdot\dots = n\det M = n$ ).

(b) $SL_n = \det^{-1}(1)$ met $\det$ daar een submersie (waarden in $\R$ ): dimensie $n^2 - 1$ ; $T_ISL_n = \ker D\det(I) = \{H : \operatorname{tr}H = 0\}$ .

(c) $GL_n$ is een open deelverzameling van $M_n(\R)$ (Oefening 6.8): een deelvariëteit van volle dimensie $n^2$ (rechttrekking: de identiteitskaart).

Oefening 20.7 ★★

Via multiplicatoren van Lagrange: (a) vind de extrema van $f(x,y) = xy$ op de cirkel $x^2 + y^2 = 1$ ; (b) toon aan dat onder alle kansvectoren $(p_1, \dots, p_n)$ (positief, sommerend tot $1$ ) de entropie $-\sum p_i\ln p_i$ precies in de uniforme verdeling wordt gemaximaliseerd; (c) vind het punt van de ellips $\{x^2/4 + y^2 = 1\}$ dichtst bij $(1, 0)$ , en controleer de multiplicatorvergelijking meetkundig (normaal-uitlijning).

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.7.

(a) $(y, x) = \lambda(2x, 2y)$ en $x^2 + y^2 = 1$ : $y = 2\lambda x$ , $x = 2\lambda y$ geven $x^2 = y^2 = \frac12$ . Waarden van $xy$ : $\pm\frac12$ : maximum $\frac12$ in $\pm\frac1{\sqrt2}(1,1)$ , minimum $-\frac12$ in $\pm\frac1{\sqrt2}(1,-1)$ (de constrainteverzameling is compact: extrema bestaan).

(b) Op het inwendige van de simplex ( $p_i > 0$ ), Lagrange voor $H(p) = -\sum p_i\ln p_i$ met constrainte $\sum p_i = 1$ : $-\ln p_i - 1 = \lambda$ voor alle $i$ : alle $p_i$ gelijk, $p_i = \frac1n$ , met $H = \ln n$ . Het maximum over de compacte simplex wordt bereikt; als het op de rand werd bereikt (enige $p_i = 0$ ), leeft de verdeling op $\leq n - 1$ punten en door inductie $H \leq \ln(n-1) < \ln n$ : het inwendige kritieke punt is het globale maximum — uniforme onwetendheid maximaliseert entropie.

(c) Minimaliseer $(x-1)^2 + y^2$ op de compacte ellips: $(2(x{-}1), 2y) = \lambda(\frac x2, 2y)$ . Als $y \neq 0$ : $\lambda = 1$ , dan $2(x - 1) = \frac x2$ geeft $x = \frac43$ , $y^2 = 1 - \frac49 = \frac59$ : afstand $^2$ $= \frac19 + \frac59 = \frac23$ . Als $y = 0$ : $x = \pm2$ , afstanden $1$ en $3$ . Dichtstbijzijnde punten: $\bigl(\frac43, \pm\frac{\sqrt5}3\bigr)$ , op afstand $\sqrt{2/3} < 1$ . De multiplicatorvergelijking zegt dat het segment van $(1,0)$ naar het dichtstbijzijnde punt parallel is aan $\nabla$ (ellips): het snijdt de ellips orthogonaal, zoals de meetkunde eist.

Oefening 20.8 ★★★

Schrijf Voorbeeld 20.8 volledig uit: bewijs door inductie dat een reële symmetrische matrix een orthonormal basis van eigenvectoren toelaat, met $\lambda_1 \geq \dots \geq \lambda_n$ de opeenvolgende geconstrueerde maxima van het Rayleigh-quotiënt. Leid dan de formules van Courant–Fischer van Oefening 15.8 in eindige dimensie rechtstreeks uit deze constructie af.

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.8.

Inductie op $n$ ; $n = 1$ triviaal. De Rayleigh-functie $f(x) = \langle Ax, x\rangle$ bereikt haar maximum $\lambda_1$ op de compacte $S^{n-1}$ in enige $v_1$ ; Lagrange (Stelling 20.7, sfeer als niveaucurve) geeft $2Av_1 = 2\lambda v_1$ , en $\lambda = \langle Av_1, v_1\rangle = \lambda_1$ . Het hypervlak $v_1^\perp$ is $A$ -invariant (symmetrie: $\langle Av, v_1\rangle = \langle v, Av_1\rangle = 0$ ); de restrictie is symmetrisch, en inductie levert een orthonormale eigenbasis $v_2, \dots, v_n$ van $v_1^\perp$ met eigenwaarden $\lambda_2 \geq \dots \geq \lambda_n$ , elk het maximum van $f$ op de sfeer van het resterende orthocomplement. Courant–Fischer volgt precies zoals in Oefening 15.8: ontwikkel $x = \sum c_iv_i$ ; op een $k$ -dimensionale testruimte snijd met $\operatorname{Vect}(v_k, \dots, v_n)$ (dimensietelling in $\R^n$ ) om $\min \leq \lambda_k$ te krijgen, en $\operatorname{Vect}(v_1, \dots, v_k)$ bereikt $\min = \lambda_k$ .

Oefening 20.9 ★★★

(Ongelijkheid van Hadamard) Voor $M \in GL_n(\R)$ met kolommen $c_1, \dots, c_n$ :

\abs{\det M} \;\leq\; \prod_{i=1}^n\norm{c_i}_2 ,

met gelijkheid desda de kolommen orthogonaal zijn. (Reduceer tot kolommen van norm $1$ door schaling; maximaliseer $\det$ op het compacte product van bollen $(S^{n-1})^n$ ; in een maximizer geeft Lagrange in elke kolom apart $\nabla_{c_i}\det = \lambda_ic_i$ , en $\nabla_{c_i}\det$ is de $i$ -de kolom van $\operatorname{com}(M)$ : leid af dat $M^{\mathsf T}M$ diagonaal is, dus $= I$ , dus $\det = \pm1$ .) Meetkundige lezing: het volume van een parallellepipedum is hoogstens het product van zijn randlengten.

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.9.

Schalen van elke kolom naar eenheidsnorm deelt $\abs{\det}$ door $\prod\norm{c_i}$ : het volstaat $\abs{\det M} \leq 1$ te bewijzen wanneer alle kolommen eenheid zijn, met gelijkheid desda $M \in O_n$ . De functie $\det$ is continu op de compacte $(S^{n-1})^n$ : zij bereikt een maximum $m \geq \det I = 1 > 0$ in enige $M$ . Alle kolommen behalve de $i$ -de fixeren, is $\det$ lineair in $c_i$ met gradiënt de $i$ -de kolom van $\operatorname{com}(M)$ ; Lagrange op de $i$ -de sfeer: $\operatorname{com}(M)_{\cdot i} = \lambda_i c_i$ . De identiteit $M^{\mathsf T}\operatorname{com}(M) = \det(M)\,I$ leest $\langle c_j, \operatorname{com}(M)_{\cdot i}\rangle = \det(M)\,\delta_{ij}$ , d.w.z. $\lambda_i\langle c_j, c_i\rangle = \det(M)\delta_{ij}$ ; met $j = i$ : $\lambda_i = \det M = m \neq 0$ , en dan $j \neq i$ geeft $\langle c_i, c_j\rangle = 0$ : de kolommen zijn orthonormaal, $M \in O_n$ , $m = \abs{\det M} = 1$ . Dus $\abs{\det} \leq \prod\norm{c_i}$ altijd, met gelijkheid precies voor orthogonale kolommen (herschaal terug): het volume van een parallellepipedum is, bij gegeven randlengten, het grootst wanneer de randen loodrecht staan.

Oefening 20.10 ★★

Nabij welke van haar punten is de cirkel $S^1$ een grafiek $y = \psi(x)$ ? Een grafiek $x = \chi(y)$ ? Verifieer de grafiekkarakterisering (Stelling 20.3(3)) expliciet in $(1, 0)$ , en leg in één zin uit waarom enige coördinatenpermutatie altijd volstaat maar geen enkele altijd werkt.

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.10.

$y = \pm\sqrt{1 - x^2}$ werkt nabij elk punt met $y \neq 0$ ; $x = \pm\sqrt{1 - y^2}$ nabij elk punt met $x \neq 0$ ; in $(1, 0)$ : de grafiek $x = \sqrt{1 - y^2}$ over $y \in \intoo{-1}1$ , wat Stelling 20.3(3) is met de coördinaten omgewisseld. Enige permutatie werkt altijd omdat de raaklijn, eendimensionaal, niet tegelijk verticaal en horizontaal kan zijn — maar wel een van beide, dus dient geen vaste keuze van “afhankelijke” coördinaat in elk punt.

Oefening 20.11 ★★

(De orthogonale groep als deelvariëteit, kwantitatief) (a) Toon aan dat $O_n = \{M : M^{\mathsf T}M = I\}$ compact is: begrensd (elke kolom is een eenheidsvector, dus $\norm M \leq \sqrt n$ voor de Euclidische matrixnorm) en gesloten. (b) Toon aan dat haar raakruimte in $I$ de ruimte van antisymmetrische matrices is, van dimensie $\frac{n(n-1)}2$ , en in een algemene $A \in O_n$ : $T_AO_n = \{AK : K^{\mathsf T} = -K\}$ . (c) Leid af dat de afbeelding $t \mapsto A\exp(tK)$ voor elke antisymmetrische $K$ een kromme is in $O_n$ door $A$ met snelheid $AK$ (verifieer $\exp(tK) \in O_n$ met $\exp(X)^{\mathsf T} = \exp(X^{\mathsf T})$ en $\exp(-X)\exp(X) = I$ ): elke raakvector wordt gerealiseerd door een expliciete kromme, zonder de stelling van de impliciete functie.

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.11.

(a) De definiërende afbeelding $F(M) = M^{\mathsf T}M - I$ is continu: $O_n = F^{-1}(0)$ is gesloten; kolommen van een orthogonale matrix zijn eenheidsvectoren, dus is de Euclidische (Frobenius-)norm precies $\sqrt n$ : begrensd. Compact door Heine–Borel in $M_n(\R) \cong \R^{n^2}$ .

(b) $O_n$ is de niveaucurve $F = 0$ bestudeerd in het hoofdstuk: $DF(A)H = A^{\mathsf T}H + H^{\mathsf T}A$ , surjectief op symmetrische matrices in elke $A \in O_n$ (gegeven symmetrische $S$ , neem $H = \frac12AS$ ), dus is $O_n$ een deelvariëteit van dimensie $n^2 - \frac{n(n+1)}2 = \frac{n(n-1)}2$ met

T_AO_n = \ker DF(A) = \{H : A^{\mathsf T}H \text{ antisymmetrisch}\} = \{AK : K^{\mathsf T} = -K\} ;

in $A = I$ zijn dit de antisymmetrische matrices.

(c) $\exp(tK)^{\mathsf T}\exp(tK) = \exp(tK^{\mathsf T}) \exp(tK) = \exp(-tK)\exp(tK) = I$ (de twee matrices $\pm tK$ commuteren, dus is het product van exponentialen de exponentiaal van de som): $\exp(tK) \in O_n$ , en $\gamma(t) = A\exp(tK)$ is een kromme in $O_n$ met $\gamma(0) = A$ , $\gamma'(0) = AK$ . Als $K$ over de antisymmetrische matrices loopt, veegt $AK$ $T_AO_n$ : de exponentiaal realiseert de hele raakruimte door expliciete krommen — de Lie-groep-snelweg die Probleem 20.1 voor $SO(3)$ uitbuit.

Oefening 20.12 ★★

(Kritieke punten van de afstand) Zij $M \subseteq \R^n$ een deelvariëteit en $p \notin M$ . Toon aan dat als $x_0 \in M$ de afstand tot $p$ minimaliseert (zo’n punt bestaat wanneer $M$ gesloten en niet-leeg is — waarom?), dan

p - x_0 \;\perp\; T_{x_0}M

(differentieer $t \mapsto \norm{\gamma(t) - p}^2$ langs krommen in $M$ ). Leid af: het dichtstbijzijnde punt op een sfeer ligt op de straal door het middelpunt; en gebruik de voorwaarde om de afstand van $p = (2, 0)$ tot de parabool $y = x^2$ te berekenen (reduceer tot een derdegraads en los die numeriek op tot drie cijfers).

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.12.

Bestaan: snijd $M$ met een grote gesloten bal rond $p$ om een niet-lege compacte te krijgen; de continue afstand bereikt daar haar minimum, en punten buiten de bal zijn verder. Eerste-orde-voorwaarde: voor een kromme $\gamma$ in $M$ met $\gamma(0) = x_0$ is de functie $h(t) = \norm{\gamma(t) - p}^2$ differentieerbaar met een minimum in $0$ :

0 = h'(0) = 2\,\langle\gamma'(0),\ x_0 - p\rangle,

en $\gamma'(0)$ veegt $T_{x_0}M$ : $p - x_0 \perp T_{x_0}M$ . Sfeer $S(c, r)$ : de raakruimte in $x_0$ is $(x_0 - c)^\perp$ , dus $p - x_0 \parallel x_0 - c$ : $x_0$ ligt op de lijn door $c$ en $p$ , op afstand $r$ van $c$ — het straalpunt, zoals de meetkunde eist. Parabool: in $x_0 = (x, x^2)$ wordt de raaklijn opgespannen door $(1, 2x)$ ; orthogonaliteit op $p - x_0 = (2 - x, -x^2)$ leest

(2 - x) - 2x^3 = 0, \qquad\text{d.w.z.}\qquad 2x^3 + x - 2 = 0,

met unieke reële wortel ( $x \mapsto 2x^3 + x$ is strikt stijgend) $x \approx 0{,}835$ ; dan $x_0 \approx (0{,}835, 0{,}698)$ en $d(p, M) = \sqrt{(2 - 0{,}835)^2 + 0{,}698^2} \approx 1{,}358$ .

20.5 Probleem: $SO(3)$ en de quaternionen

Probleem 20.1

Weekendprobleem — rotaties, de groep $S^3$ , en de dubbeldekking

De quaternionen $\mathbb H = \{t + x\mathrm i + y\mathrm j + z\mathrm k\}$ — de algebra waarvan de eenheidsgroep $Q_8$ van Probleem 1.1 bevat — parametriseren driedimensionale rotaties tweevoudig: de afbeelding “conjugeren met een eenheidsquaternion” is een surjectief morfisme $S^3 \to SO(3)$ met kern $\{\pm1\}$ . We bouwen alles. Herinner/definieer: vermenigvuldiging is $\R$ -bilineair met $\mathrm i^2 = \mathrm j^2 = \mathrm k^2 = \mathrm{ijk} = -1$ ; de geconjugeerde van $q = t + x\mathrm i + y\mathrm j + z\mathrm k$ is $\bar q = t - x\mathrm i - y\mathrm j - z\mathrm k$ ; $N(q) = q\bar q = t^2 + x^2 + y^2 + z^2$ .

Deel I — De algebra $\mathbb H$ en de groep $S^3$ .

Verifieer dat $\mathbb H$ een associatieve $\R$ -algebra is met centrum $\R$ , dat $\overline{pq} = \bar q\,\bar p$ , en dat $N(pq) = N(p)N(q)$ (één schone route: representeer $q$ als de $2\times2$ complexe matrix $\bigl(\begin{smallmatrix}\alpha & \beta\\ -\bar\beta & \bar\alpha\end{smallmatrix}\bigr)$ , $q = \alpha + \beta\mathrm j$ , en gebruik $\det$ ).
Leid af dat elke $q \neq 0$ inverteerbaar is ( $q^{-1} = \bar q/N(q)$ ): $\mathbb H$ is een (niet-commutatief) lichaam, en $S^3 = \{N(q) = 1\}$ is een groep — en een compacte $3$ -deelvariëteit van $\R^4$ (Voorbeeld 20.4).

Deel II — Het rotatiemorfisme. Identificeer $\R^3$ met de pure quaternionen $P = \{x\mathrm i + y\mathrm j + z\mathrm k\}$ , en voor $q \in S^3$ definieer $\rho_q(v) = q\,v\,\bar q$ .

Toon aan dat $\rho_q$ $P$ naar $P$ stuurt (pure quaternionen zijn die met $\bar v = -v$ ), $\R$ -lineair is, de norm bewaart, en dat $\rho \colon q \mapsto \rho_q$ een groeps-morfisme $S^3 \to O(3)$ is.
Bereken de kern: $\rho_q = \mathrm{id}$ desda $q$ commuteert met $\mathrm i, \mathrm j, \mathrm k$ desda $q \in \R\cap S^3 = \{\pm1\}$ .
Schrijf $q = \cos\frac\theta2 + \sin\frac\theta2\,u$ met $u \in P$ , $N(u) = 1$ (waarom is dit altijd mogelijk voor $q \in S^3$ ?). Toon aan dat $\rho_q$ $u$ vastzet en, op het vlak $u^\perp\cap P$ , werkt als de rotatie over hoek $\theta$ (bereken $\rho_q(w)$ voor $w \perp u$ met $uw = -wu$ voor orthogonale pure eenheden — bewijs deze identiteit uit de vermenigvuldigingstafel, of uit $uw + wu = -2\langle u, w\rangle$ ).
Concludeer: $\operatorname{im}\rho \subseteq SO(3)$ (elke $\rho_q$ is een rotatie met as en hoek zoals berekend — determinant $+1$ door continuïteit van $q \mapsto \det\rho_q$ op de samenhangende $S^3$ , of rechtstreeks), en $\rho$ is op $SO(3)$ : elke rotatie van $\R^3$ heeft een as (bewijs: een reële $3\times3$ orthogonale matrix met $\det = 1$ heeft eigenwaarde $1$ — beschouw het karakteristieke polynoom) en is dus enige $\rho_q$ . Samenvatting:

$SO(3) \;\cong\; S^3/\{\pm 1\} .$

Deel III — $SO(3)$ als deelvariëteit; Rodrigues.

Toon aan dat $SO(3)$ een compacte $3$ -dimensionale deelvariëteit is van $M_3(\R)$ met $T_ISO(3) =$ antisymmetrische matrices (Oefening 20.5; de determinantvoorwaarde selecteert een unie van componenten).
Voor de antisymmetrische matrix $A_u$ geassocieerd met $u \in \R^3$ ( $A_uv = u\wedge v$ , het kruisproduct), bewijs de formule van Rodrigues:

$\eu^{\theta A_u} = I + \sin\theta\,A_u + (1 - \cos\theta)\,A_u^2 \qquad (\norm u = 1)$

(uit $A_u^3 = -A_u$ : splits de exponentiaalreeks langs de machten van $A_u$ ), en identificeer haar als de rotatie om as $u$ over hoek $\theta$ . Leid af dat $\exp$ de antisymmetrische matrices op $SO(3)$ afbeeldt.
Relateer de twee parametriseringen: toon aan dat $t \mapsto \rho_{q(t)}$ met $q(t) = \cos\frac t2 + \sin\frac t2\,u$ een éénparameter-groep van rotaties is waarvan de afgeleide in $t = 0$ $A_u$ is — de quaternionische en matrix-exponentialen vertellen hetzelfde verhaal op half en vol tempo respectievelijk.

Deel IV — De dubbeldekking, gevoeld.

Toon aan dat het pad $q(t) = \cos\frac t2 + \sin\frac t2\,\mathrm k$ , $t \in \intcc0{2\pi}$ , een lus is in $SO(3)$ (haar beeld $\rho_{q(t)}$ keert terug naar de identiteit) waarvan de quaternionische lift geen lus is: $q(2\pi) = -q(0)$ . Doorgaan tot $t = 4\pi$ sluit de lift. Leg in een korte alinea uit wat dit zegt: een $2\pi$ -rotatie is niet continu ongedaan te maken terwijl een $4\pi$ -rotatie dat wel is (de riemtruc), omdat lussen van $SO(3)$ worden gedetecteerd in haar dubbeldekking $S^3$ .
Leid ook het praktische dividend af: samenstelling van rotaties $=$ vermenigvuldiging van quaternionen ( $4$ vermenigvuldigingen aan data in plaats van $9$ , geen drift van orthogonaliteit) — verifieer op de samenstelling van twee kwartdraaien om $\mathrm i$ en $\mathrm j$ : bereken as en hoek van het product.

Deel V — De expliciete matrix: Euler–Rodrigues. Schrijf $q = a + b\mathrm i + c\mathrm j + d\mathrm k \in S^3$ , zodat $a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 1$ .

Bereken $\rho_q(\mathrm i)$ volledig uit de vermenigvuldigingstafel; verkrijg dan $\rho_q(\mathrm j)$ en $\rho_q(\mathrm k)$ door de cyclische substitutie $\mathrm i \to \mathrm j \to \mathrm k \to \mathrm i$ , $(b, c, d) \to (c, d, b)$ (rechtvaardig: cycleren van $\mathrm i, \mathrm j, \mathrm k$ zet zich voort tot een automorfisme van $\mathbb H$ , omdat de definiërende relaties cyclisch symmetrisch zijn). Concludeer dat de matrix van $\rho_q$ in de basis $(\mathrm i, \mathrm j, \mathrm k)$ de Euler–Rodrigues-matrix is

$R_q = \begin{pmatrix} a^2 + b^2 - c^2 - d^2 & 2(bc - ad) & 2(bd + ac)\\ 2(bc + ad) & a^2 - b^2 + c^2 - d^2 & 2(cd - ab)\\ 2(bd - ac) & 2(cd + ab) & a^2 - b^2 - c^2 + d^2 \end{pmatrix}.$
(Een rotatie achterstevoren lezen) Toon aan dat

$\operatorname{tr}R_q = 4a^2 - 1 = 1 + 2\cos\theta, \qquad \tfrac12\bigl(R_q - R_q^{\mathsf T}\bigr) = \sin\theta\,A_u,$

in de notatie van vragen 5 en 8. Leid een algoritme af dat $\pm q$ uit een rotatiematrix $R$ terugwint: de hoek uit het spoor; de as uit het antisymmetrische deel wanneer $0 < \theta < \pi$ ; en, wanneer $\theta = \pi$ , bewijs en gebruik de identiteit $R + I = 2\,uu^{\mathsf T}$ .
Evalueer $R_q$ voor het product $q = \frac12(1 + \mathrm i + \mathrm j + \mathrm k)$ van vraag 11: een permutatiematrix verschijnt. Identificeer de rotatie en verenig met de as en hoek gevonden in vraag 11.

Deel VI — Binnen $S^3$ : $SU(2)$ , conjugatieklassen, exponentialen.

Toon aan dat de matrixrepresentatie van vraag 1 (noem haar $\Phi$ ) restrictie tot een groepsisomorfisme van $S^3$ op de speciale unitaire groep

$SU(2) = \bigl\{U \in M_2(\C) : U^*U = I,\ \det U = 1\bigr\}$

(voor surjectiviteit, schrijf de vergelijkingen $U^{-1} = U^*$ en $\det U = 1$ uit voor een algemene $2\times2$ complexe matrix).
Toon aan dat het reële deel conjugatie-invariant is op $S^3$ — $\operatorname{Re}(pq\bar p) = \operatorname{Re}q$ voor alle $p \in S^3$ — en, omgekeerd, dat twee eenheidsquaternionen met hetzelfde reële deel geconjugeerd zijn in $S^3$ (reduceer tot het verplaatsen van één pure eenheidsas op een andere, wat Deel II levert). Beschrijf de conjugatieklassen van $S^3$ meetkundig; vertaal naar $SU(2)$ (niveaucurven van het spoor); en projecteer door $\rho$ : twee rotaties zijn geconjugeerd in $SO(3)$ dan en slechts dan als zij dezelfde hoek $\theta \in \intcc0\pi$ hebben.
Definieer $\exp$ op $\mathbb H$ via de exponentiaalreeks; controleer absolute convergentie, met $\abs{pq} = \abs p\,\abs q$ voor $\abs q = \sqrt{N(q)}$ . Toon, voor een pure eenheid $u$ en $\theta \in \R$ ,

$\exp(\theta u) = \cos\theta + \sin\theta\,u ,$

leid af dat $\exp$ het hypervlak $P$ op $S^3$ afbeeldt, en controleer dat $\rho_{\exp(su)} = \eu^{2sA_u}$ : het halfhoek-fenomeen van vraag 9 opnieuw.
Voor pure quaternionen $v, w$ bewijs de productregel $vw = -\langle v, w\rangle + v\wedge w$ , dus de commutatoridentiteit $vw - wv = 2\,v\wedge w$ ; bewijs ook $[A_v, A_w] = A_{v\wedge w}$ voor de matrices van vraag 8. Concludeer dat de afgeleide van $\rho$ in $1$ langs de krommen $t \mapsto \exp(tv)$ het lineaire isomorfisme $v \mapsto 2A_v$ is van $P$ op de antisymmetrische matrices, en dat het de quaternioncommutator naar de matrixcommutator transporteert.

Deel VII — Globale structuur.

(Geen continue sectie) Stel $s \colon SO(3) \to S^3$ is continu met $\rho \circ s = \operatorname{id}$ . Voor de lus $R(t) = \rho_{q(t)}$ van vraag 10, stel $\varepsilon(t) = s(R(t))\,q(t)^{-1}$ voor $t \in \intcc0{2\pi}$ . Toon aan dat $\varepsilon$ continu is met waarden in $\{\pm1\}$ , en leid een tegenspraak af: er is geen continue globale keuze van een eenheidsquaternion die elke rotatie voorstelt.
(Het balmodel) Zij $\bar B \subseteq \R^3$ de gesloten bal van straal $\pi$ en $E(v) = \eu^{A_v}$ , met $E(0) = I$ . Toon aan dat $E$ $\bar B$ op $SO(3)$ afbeeldt, injectief is op de open bal, en op de randbol precies antipoden identificeert: $E(\pi u) = E(-\pi u) = 2uu^{\mathsf T} - I$ , zonder andere samenvallen. Dus is $SO(3)$ de bal met antipodale randpunten gelijmd — de projectieve ruimte $\mathbb{RP}^3$ — en een diameter wordt de niet-contractiele lus van vraag 10.
Toon aan dat $\rho_p\rho_q\rho_p^{-1} = \rho_{pq\bar p}$ ; dat de involuties van $SO(3)$ (de $R \neq I$ met $R^2 = I$ ) precies de halve-draaien $\rho_w$ zijn met $w$ een pure eenheidsquaternion; en dat het centrum van $SO(3)$ triviaal is.
Toon aan dat elke rotatie een product is van twee halfdraaien: voor $q = \cos\frac\theta2 + \sin\frac\theta2\,u$ , kies een pure eenheid $w \perp u$ , controleer dat $w' = qw$ opnieuw een pure eenheidsquaternion is, en verifieer $\rho_q = \rho_{w'}\rho_w$ . Waar liggen de twee assen, en welke hoek maken zij?
Concludeer de topologische samenvatting: $SO(3)$ is compact en padsamenhangend (geef twee bewijzen: continu beeld van $S^3$ onder $\rho$ ; beeld van $\exp$ ), terwijl $O(3)$ precies twee samenhangscomponenten heeft, elk homeomorf met $SO(3)$ .
(Een samenstelling, drie manieren) Zij $R_1$ de rotatie over $\frac\pi2$ om de $z$ -as en $R_2$ de rotatie over $\frac\pi2$ om de $x$ -as. Bereken as en hoek van $R_2R_1$ : (i) door de twee $3\times3$ -matrices te vermenigvuldigen en spoor/antisymmetrisch deel te gebruiken (Deel V); (ii) door de bijbehorende eenheidsquaternionen $q_2q_1$ te vermenigvuldigen. Controleer dat de twee antwoorden overeenkomen: hoek $\frac{2\pi}3$ , as $\frac1{\sqrt3}(1, -1, 1)$ .
(De Cayley-transformatie) Voor $K$ antisymmetrisch, toon aan dat $I + K$ inverteerbaar is en

$C(K) = (I - K)(I + K)^{-1} \in SO(n),$

met $-1$ nooit een eigenwaarde van $C(K)$ ; toon aan dat $K \mapsto C(K)$ een bijectie is van antisymmetrische matrices op $\{R \in SO(n) : -1 \notin \operatorname{Sp}R\}$ , met inverse $R \mapsto (I - R)(I + R)^{-1}$ . (Een rationale kaart van $SO(n)$ , metgezel van de transcendentale $\exp$ van Oefening 20.11.)

Oplossing

Oplossing van Probleem 20.1.

1. Beeld $q = t + x\mathrm i + y\mathrm j + z\mathrm k \mapsto \bigl(\begin{smallmatrix}\alpha & \beta\\ -\bar\beta & \bar\alpha\end{smallmatrix}\bigr)$ met $\alpha = t + \iu x$ , $\beta = y + \iu z$ : men controleert dat $1, \mathrm i, \mathrm j, \mathrm k$ naar $I$ , $\bigl(\begin{smallmatrix}\iu & 0\\ 0 & -\iu\end{smallmatrix}\bigr)$ , $\bigl(\begin{smallmatrix}0 & 1\\ -1 & 0\end{smallmatrix}\bigr)$ , $\bigl(\begin{smallmatrix}0 & \iu\\ \iu & 0\end{smallmatrix}\bigr)$ gaan, waarvan de producten de quaternionentafel reproduceren: de afbeelding is een injectief algebramorfisme, dus erft $\mathbb H$ associativiteit; $N(q) = \abs\alpha^2 + \abs\beta^2 = \det$ is multiplicatief, en conjugatie correspondeert met de adjunct-transpose, wat $\overline{pq} = \bar q\bar p$ geeft. Centrum: commuteren met $\mathrm i$ dwingt $y = z = 0$ , met $\mathrm j$ dwingt $x = 0$ : $\R$ .

2. $q\bar q = N(q)$ : voor $q \neq 0$ , $q^{-1} = \bar q/N(q)$ : een delingsalgebra. Op $S^3$ : $N(pq) = 1$ en $N(q^{-1}) = 1$ : een groep; en $S^3 \subseteq \R^4$ is de eenheidssfeer: een compacte $3$ -deelvariëteit.

3. $v$ is puur desda $\bar v = -v$ ; dan $\overline{qv\bar q} = q\bar v\bar q = -qv\bar q$ : $\rho_q$ bewaart $P$ . Lineariteit is duidelijk; $N(qv\bar q) = N(q)N(v)N(q) = N(v)$ : een isometrie van $(P, N) \cong (\R^3, \norm\cdot^2)$ : $\rho_q \in O(3)$ . En $\rho_{pq}(v) = pqv\overline{pq} = p(qv\bar q)\bar p = \rho_p(\rho_q(v))$ : een morfisme.

4. $\rho_q = \mathrm{id}$ desda $qv = vq$ voor alle pure $v$ , desda $q$ commuteert met $\mathrm i, \mathrm j, \mathrm k$ , desda $q$ centraal is (vraag 1): $q \in \R\cap S^3 = \{\pm1\}$ .

5. Schrijf $q = t + p$ ( $t \in \R$ , $p$ puur): $1 = N(q) = t^2 + N(p)$ , dus $t = \cos\frac\theta2$ en $p = \sin\frac\theta2\,u$ met $N(u) = 1$ voor enige $\theta$ (als $p = 0$ , werkt $q = \pm1$ triviaal). Omdat $u^2 = -N(u) = -1$ , commuteren $q$ en $u$ , en $\rho_q(u) = qu\bar q = uq\bar q = u$ : de as. Voor pure eenheden $w \perp u$ : de productregel $vw = -\langle v, w\rangle + v\wedge w$ (coördinaatsgewijs uit de tafel) geeft $uw = u\wedge w = -wu$ . Dan

\rho_q(w) = \bigl(\cos\tfrac\theta2 + \sin\tfrac\theta2u\bigr)\,w\,\bigl(\cos\tfrac\theta2 - \sin\tfrac\theta2u\bigr) = \cos\theta\,w + \sin\theta\,(u\wedge w),

met $uwu = -u^2w = w$ en de dubbele-hoekformules: de rotatie over hoek $\theta$ in het georiënteerde vlak $(w, u\wedge w)$ .

6. Elke $\rho_q$ is een rotatie om $u$ over $\theta$ : in de orthonormale basis $(u, w, u\wedge w)$ heeft haar matrix determinant $+1$ : $\operatorname{im}\rho \subseteq SO(3)$ . Surjectiviteit: een matrix $R \in SO(3)$ heeft $1$ als eigenwaarde, want

\det(R - I) = \det R\,\det(I - R^{\mathsf T}) = \det(I - R) = (-1)^3\det(R - I),

dus $\det(R - I) = 0$ . Neem een eenheidseigenvector $u$ ; $R$ bewaart $u^\perp$ en restrictie daar is een rotatie over enige hoek $\theta$ (vlak orthogonaal, determinant $1$ ): $R = \rho_q$ voor $q = \cos\frac\theta2 + \sin\frac\theta2\,u$ . Met vraag 4 en de eerste isomorfismestelling (Stelling 1.3): $SO(3) \cong S^3/\{\pm1\}$ .

7. $O_3$ is een compacte $3$ -dimensionale deelvariëteit (Oefening 20.5); $\det$ is continu erop met waarden in $\{\pm1\}$ , dus is $SO(3) = O_3\cap\{\det = 1\}$ open en gesloten in $O_3$ : een unie van samenhangscomponenten, dus zelf een compacte $3$ -deelvariëteit, met dezelfde raakruimte in $I$ : de antisymmetrische matrices.

8. $A_u^2v = u\wedge(u\wedge v) = \langle u, v\rangle u - v$ (eenheid $u$ ), dus $A_u^3v = u\wedge(\langle u,v\rangle u - v) = -u\wedge v$ : $A_u^3 = -A_u$ . Splits de exponentiaalreeks naar resten van machten mod de relatie $A^3 = -A$ :

\eu^{\theta A_u} = I + \Bigl(\theta - \frac{\theta^3}{3!} + \cdots\Bigr)A_u + \Bigl(\frac{\theta^2}{2!} - \frac{\theta^4}{4!} + \cdots\Bigr)A_u^2 = I + \sin\theta\,A_u + (1 - \cos\theta)\,A_u^2 .

Op $u$ : $A_uu = 0$ : vast. Op $w \perp u$ : $\eu^{\theta A_u}w = w + \sin\theta\,u\wedge w + (1 - \cos\theta)(-w) = \cos\theta\,w + \sin\theta\,u\wedge w$ : de rotatie om as $u$ , hoek $\theta$ — Rodrigues. Elke rotatie heeft deze vorm (vraag 6): $\exp$ is op $SO(3)$ vanaf de antisymmetrische matrices.

9. Met $q(t) = \cos\frac t2 + \sin\frac t2\,u$ : vraag 5 toont dat $\rho_{q(t)}$ de rotatie is om as $u$ over hoek $t$ , d.w.z. $\rho_{q(t)} = \eu^{tA_u}$ , waarvan de afgeleide in $t = 0$ $A_u$ is. Het quaternion loopt op halve hoek — het analytische spoor van de dubbeldekking.

10. $\rho_{q(t)}$ is de rotatie om $\mathrm k$ over hoek $t$ : in $t = 2\pi$ keert zij terug naar de identiteit — een lus in $SO(3)$ . Haar lift voldoet aan $q(2\pi) = \cos\pi = -1 = -q(0)$ : het gelifte pad is niet gesloten; pas in $t = 4\pi$ keert $q$ terug naar $1$ . Interpretatie: de lus van volle rotaties is niet contractiel in $SO(3)$ — haar lift eindigt op het andere blad van de dekking — terwijl de dubbele lus dat wel is; een lichaam verbonden met zijn omgeving door riemen (de riemtruc) keert terug naar een onverdraaide toestand na $4\pi$ maar niet na $2\pi$ . Rotatiegroepen onthouden de pariteit van volle slagen; $S^3$ , enkelvoudig samenhangend, is waar dat geheugen leeft.

11. Kwartdraaien: $q_{\mathrm i} = \cos\frac\pi4 + \sin\frac\pi4\,\mathrm i$ , $q_{\mathrm j} = \cos\frac\pi4 + \sin\frac\pi4\,\mathrm j$ . Product (eerst de $\mathrm j$ -draai):

q_{\mathrm i}q_{\mathrm j} = \tfrac12(1 + \mathrm i)(1 + \mathrm j) = \tfrac12\bigl(1 + \mathrm i + \mathrm j + \mathrm k\bigr),

van norm $1$ , met $\cos\frac\theta2 = \frac12$ : $\theta = \frac{2\pi}3$ , en as $u = \frac{\mathrm i + \mathrm j + \mathrm k}{\sqrt3}$ (het pure deel genormaliseerd). Twee opeenvolgende kwartdraaien om orthogonale assen maken een $120^\circ$ -rotatie om de hoofddiagonaal van de kubus — vier reële vermenigvuldigingen aan boekhouding, orthogonaliteit exact bewaard: waarom vluchtsoftware en grafische engines rotaties via quaternionen samenstellen.

12. Uit de tafel, $\mathrm{ji} = -\mathrm k$ en $\mathrm{ki} = \mathrm j$ , dus

q\,\mathrm i = a\mathrm i - b + c(\mathrm{ji}) + d(\mathrm{ki}) = -b + a\mathrm i + d\mathrm j - c\mathrm k .

Vermenigvuldigen met $\bar q = a - b\mathrm i - c\mathrm j - d\mathrm k$ met de scalaire–vectorregel $(t_1 + p_1)(t_2 + p_2) = t_1t_2 - \langle p_1, p_2\rangle + t_1p_2 + t_2p_1 + p_1\wedge p_2$ , waar $p_1 = (a, d, -c)$ en $p_2 = (-b, -c, -d)$ : het scalaire deel is $-ab - (-ab) = 0$ (puur, zoals het moet), en het vectordeel is

b(b, c, d) + a(a, d, -c) + (-c^2 - d^2,\ bc + ad,\ bd - ac) = \bigl(a^2 + b^2 - c^2 - d^2,\ 2(bc + ad),\ 2(bd - ac)\bigr):

de eerste kolom van $R_q$ . De cyclische afbeelding $\sigma(\mathrm i) = \mathrm j$ , $\sigma(\mathrm j) = \mathrm k$ , $\sigma(\mathrm k) = \mathrm i$ bewaart de relaties $\mathrm i^2 = \mathrm j^2 = \mathrm k^2 = \mathrm{ijk} = -1$ (het woord $\mathrm{ijk}$ is cyclisch invariant op de relatie $\mathrm{ijk} = \mathrm{jki}$ , die in elke ring geldt: conjugeren van $\mathrm{ijk} = -1$ met de inverteerbare $\mathrm i$ ), dus zet $\sigma$ zich voort tot een $\R$ -algebra-automorfisme, en $\sigma(\rho_q(v)) = \rho_{\sigma(q)}(\sigma(v))$ . Ontwikkelend is het beeld van $\mathrm j$ de eerste-kolom-formule na de substitutie $(b, c, d) \to (c, d, b)$ met de basis herlabeld $\mathrm i \to \mathrm j \to \mathrm k \to \mathrm i$ , precies de getoonde tweede kolom; één slag meer geeft de derde.

13. Het spoor sommerend, $\operatorname{tr}R_q = 3a^2 - (b^2 + c^2 + d^2) = 4a^2 - 1$ (eenheidsnorm), en met $a = \cos\frac\theta2$ : $4\cos^2\frac\theta2 - 1 = 1 + 2\cos\theta$ . Antisymmetrisch deel: de drie onafhankelijke entries van $R_q - R_q^{\mathsf T}$ zijn $4ab, 4ac, 4ad$ (in posities $(3,2), (1,3), (2,1)$ ), dus $\frac12(R_q - R_q^{\mathsf T}) = A_m$ met $m = 2a\,(b, c, d) = 2\cos\frac\theta2\sin\frac\theta2\,u = \sin\theta\,u$ . Algoritme: $\theta = \arccos\frac{\operatorname{tr}R - 1}{2} \in \intcc0\pi$ ; als $0 < \theta < \pi$ , lees $u$ af uit $\frac{R - R^{\mathsf T}}{2\sin\theta}$ en stel $q = \pm(\cos\frac\theta2 + \sin\frac\theta2 u)$ ; als $\theta = 0$ , $q = \pm1$ . Voor $\theta = \pi$ : $a = 0$ , en Rodrigues (vraag 8) geeft $R = I + 2A_u^2 = I + 2(uu^{\mathsf T} - I) = 2uu^{\mathsf T} - I$ , d.w.z. $R + I = 2uu^{\mathsf T}$ ; elke niet-nul kolom van $R + I$ , genormaliseerd, is $\pm u$ , en $q = \pm u$ .

14. Met $a = b = c = d = \frac12$ : alle diagonale entries verdwijnen, $2(bc - ad) = 0$ , $2(bd + ac) = 1$ , $2(bc + ad) = 1$ , $2(cd - ab) = 0$ , $2(bd - ac) = 0$ , $2(cd + ab) = 1$ :

R_q = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix},

de cyclische permutatie $e_1 \to e_2 \to e_3 \to e_1$ . Haar spoor is $0 = 1 + 2\cos\theta$ , dus $\theta = \frac{2\pi}3$ , en zij fixeert $(1,1,1)$ : de rotatie over $120^\circ$ om de hoofddiagonaal — precies het antwoord van vraag 11, nu zichtbaar als de matrix die de coördinaatassen cyclisch verwisselt.

15. Op de basis controleert men $\Phi(\bar q) = \Phi(q)^*$ (de matrix van $\bar q$ heeft $\alpha' = \bar\alpha$ , $\beta' = -\beta$ , wat de geconjugeerde transpose is van $\bigl(\begin{smallmatrix}\alpha & \beta\\ -\bar\beta & \bar\alpha\end{smallmatrix}\bigr)$ ). Dus $\Phi(q)^*\Phi(q) = \Phi(\bar qq) = N(q)I$ en $\det\Phi(q) = \abs\alpha^2 + \abs\beta^2 = N(q)$ : voor $q \in S^3$ , $\Phi(q) \in SU(2)$ , en $\Phi$ is een injectief morfisme (vraag 1). Surjectiviteit: zij $U = \bigl(\begin{smallmatrix}\alpha & \beta\\ \gamma & \delta\end{smallmatrix}\bigr)$ met $\det U = 1$ ; dan $U^{-1} = \bigl(\begin{smallmatrix}\delta & -\beta\\ -\gamma & \alpha\end{smallmatrix}\bigr)$ , en $U^{-1} = U^* = \bigl(\begin{smallmatrix}\bar\alpha & \bar\gamma\\ \bar\beta & \bar\delta\end{smallmatrix}\bigr)$ dwingt $\delta = \bar\alpha$ , $\gamma = -\bar\beta$ , en dan $1 = \det U = \abs\alpha^2 + \abs\beta^2$ : $U = \Phi(q)$ voor het eenheidsquaternion $q$ met coördinaten $\alpha = a + \iu b$ , $\beta = c + \iu d$ . Dus $S^3 \cong SU(2)$ .

16. Reële scalaren zijn centraal en $N(p) = 1$ geeft $\overline{pq\bar p} = p\bar q\bar p$ , dus $pq\bar p + \overline{pq\bar p} = p(q + \bar q)\bar p = q + \bar q$ : het reële deel is invariant. Omgekeerd, zij $\operatorname{Re}q = \operatorname{Re}q' = a$ ; dan hebben de pure delen dezelfde norm $\sqrt{1 - a^2} = s$ . Als $s = 0$ , $q = q' = \pm1$ . Als $s > 0$ , schrijf $q = a + su$ , $q' = a + su'$ met $u, u'$ pure eenheden; vraag 6 levert een rotatie die $u'$ naar $u$ draagt, d.w.z. $p \in S^3$ met $\rho_p(u') = u$ , en dan $pq'\bar p = a + s\rho_p(u') = q$ . De klassen van $S^3$ zijn dus $\{1\}$ , $\{-1\}$ , en voor elke $a \in \intoo{-1}1$ de $2$ -sfeer $\{a + su : u \text{ pure eenheid}\}$ van straal $s$ . Onder $\Phi$ , $\operatorname{tr}\Phi(q) = \alpha + \bar\alpha = 2\operatorname{Re}q$ : de klassen van $SU(2)$ zijn de niveaucurven van het spoor. Projecterend: als $q' = pq\bar p$ dan $\rho_{q'} = \rho_p\rho_q\rho_p^{-1}$ ; omgekeerd dwingt $\rho_{q'} = \rho_p\rho_q\rho_p^{-1} = \rho_{pq\bar p}$ $q' = \pm pq\bar p$ (kern), dus $\operatorname{Re}q' = \pm\operatorname{Re}q$ , d.w.z. $\cos\frac{\theta'}2 = \abs{\operatorname{Re}q'} = \abs{\operatorname{Re}q} = \cos\frac\theta2$ voor de hoeken in $\intcc0\pi$ : geconjugeerde rotaties hebben gelijke hoeken. Omgekeerd laten gelijke hoeken representanten toe met hetzelfde niet-negatieve reële deel, geconjugeerd door het bovenstaande: in $SO(3)$ is de conjugatieklasse van een rotatie precies haar hoek.

17. $N$ is multiplicatief, dus is $\abs\cdot$ een multiplicatieve norm op $\mathbb H \cong \R^4$ en $\abs{q^k} = \abs q^k$ : de reeks $\sum q^k/k!$ convergeert absoluut in de eindigdimensionale (dus volledige) ruimte, gedomineerd door $\sum\abs q^k/k! = \eu^{\abs q}$ . Voor een pure eenheid $u$ : $u^2 = -1$ , dus $(\theta u)^{2m} = (-1)^m\theta^{2m}$ en $(\theta u)^{2m+1} = (-1)^m\theta^{2m+1}u$ ; de reeks splitsend,

\exp(\theta u) = \sum_m\frac{(-1)^m\theta^{2m}}{(2m)!} + u\sum_m\frac{(-1)^m\theta^{2m+1}}{(2m+1)!} = \cos\theta + \sin\theta\,u .

Elke $q \in S^3$ is $\cos\alpha + \sin\alpha\,u$ met $\alpha \in \intcc0\pi$ (vraag 5): $q = \exp(\alpha u)$ , dus $\exp(P) = S^3$ . Ten slotte $\exp(su) = \cos s + \sin s\,u = q(2s)$ in de notatie van vraag 9, en $\rho_{q(t)} = \eu^{tA_u}$ daar: $\rho_{\exp(su)} = \eu^{2sA_u}$ .

18. $vw$ coördinaatsgewijs ontwikkelen met de tafel: de producten $\mathrm i\cdot\mathrm i = -1$ , … geven de scalaire $-(v_1w_1 + v_2w_2 + v_3w_3)$ , en de gemengde producten ( $\mathrm{ij} = \mathrm k$ , $\mathrm{ji} = -\mathrm k$ , …) geven de vector $(v_2w_3 - v_3w_2,\ v_3w_1 - v_1w_3,\ v_1w_2 - v_2w_1)$ : $vw = -\langle v, w\rangle + v\wedge w$ . Het omgekeerde product aftrekken: $vw - wv = 2\,v\wedge w$ (de scalaire delen heffen elkaar op, de kruisproducten tellen op). Voor de matrices, met $a\wedge(b\wedge c) = b\langle a, c\rangle - c\langle a, b\rangle$ :

[A_v, A_w]x = v\wedge(w\wedge x) - w\wedge(v\wedge x) = w\langle v, x\rangle - v\langle w, x\rangle = (v\wedge w)\wedge x = A_{v\wedge w}x .

Afgeleide: $\overline{\exp(tv)} = \exp(-tv)$ (conjugatie is continu en negeert pure quaternionen), dus

\frac{\dd}{\dd t}\Bigr|_{t=0}\exp(tv)\,x\,\exp(-tv) = vx - xv = 2\,v\wedge x = 2A_vx :

de differentiaal is $v \mapsto 2A_v$ , een lineaire bijectie van $P$ op de antisymmetrische matrices, en $[2A_v, 2A_w] = 4A_{v\wedge w} = 2A_{2v\wedge w} = 2A_{[v,w]}$ toont dat zij de quaternioncommutator naar de matrixcommutator draagt.

19. $\rho$ toepassend: $\rho(\varepsilon(t)) = \rho(s(R(t)))\,\rho(q(t))^{-1} = R(t)R(t)^{-1} = \operatorname{id}$ , dus $\varepsilon(t) \in \ker\rho = \{\pm1\}$ (vraag 4). Als product van de continue afbeeldingen $t \mapsto s(R(t))$ en $t \mapsto q(t)^{-1} = \bar{q(t)}$ is $\varepsilon$ continu op het samenhangende interval $\intcc0{2\pi}$ met waarden in het discrete paar $\{\pm1\}$ : zij is constant, zeg $\varepsilon(t) \equiv \varepsilon$ . Maar $R(0) = R(2\pi) = I$ , dus $s(R(0)) = s(R(2\pi))$ , terwijl $s(R(0)) = \varepsilon\,q(0) = \varepsilon$ en $s(R(2\pi)) = \varepsilon\,q(2\pi) = -\varepsilon$ : tegenspraak. Geen continue sectie bestaat: de tekenambigüiteit $\pm q$ is globaal, geen gebrek van een bepaalde formule.

20. Op: elke $R \in SO(3)$ is $\eu^{\theta A_u}$ voor enige eenheid $u$ en $\theta \in \intcc0{2\pi}$ (vragen 6 en 8); als $\theta > \pi$ , geeft Rodrigues $\eu^{\theta A_u} = \eu^{(2\pi - \theta)A_{-u}}$ (beide gelijk $I + \sin\theta A_u + (1 - \cos\theta)A_u^2$ , en $A_{-u} = -A_u$ met $\sin(2\pi - \theta) = -\sin\theta$ , $\cos(2\pi - \theta) = \cos\theta$ ), dus $R = E(v)$ met $\norm v \leq \pi$ . Injectief binnenin: als $E(v) = E(v') \neq I$ met $\norm v, \norm{v'} < \pi$ , wint vraag 13 dezelfde hoek $\theta = \norm v = \norm{v'} \in \intoo0\pi$ uit het spoor en, omdat $\sin\theta \neq 0$ , dezelfde as uit het antisymmetrische deel: $v = v'$ ; en $E(v) = I$ dwingt $\theta \in \{0\}$ op de open bal. Rand: $E(\pi u) = I + 2A_u^2 = 2uu^{\mathsf T} - I$ hangt van $u$ alleen af via $uu^{\mathsf T}$ , vandaar $E(\pi u) = E(-\pi u)$ ; omgekeerd geeft $2uu^{\mathsf T} - I = 2u'u'^{\mathsf T} - I$ toegepast op $u$ $u = \langle u', u\rangle u'$ , dus $u' = \pm u$ . Inwendig en rand botsen nooit (spoor $> -1$ versus $= -1$ ). Dus induceert $E$ een continue bijectie van de bal-met-antipodale-lijming — compact — op $SO(3)$ : een homeomorfisme, en $SO(3) \cong \mathbb{RP}^3$ . Een diameter van $\pi u$ naar $-\pi u$ heeft gelijmde eindpunten: het is een lus in $SO(3)$ , en haar $E$ -beschrijving past bij de familie rotaties om $u$ van vraag 10 die een volle slag vegen.

21. $\rho$ is een morfisme en $\rho_p^{-1} = \rho_{p^{-1}} = \rho_{\bar p}$ , dus $\rho_p\rho_q\rho_p^{-1} = \rho_{pq\bar p}$ ; volgens vraag 16 bewaart conjugeren van een rotatie haar hoek en draait haar as door $\rho_p$ . Involuties: $\rho_q^2 = \rho_{q^2} = \operatorname{id}$ desda $q^2 = \pm1$ . Als $q^2 = 1$ dan $(q - 1)(q + 1) = q^2 - 1 = 0$ (centrale scalaren, dus is deze factorisatie geldig) en $q = \pm1$ in het delingslichaam $\mathbb H$ , wat $\rho_q = I$ geeft, uitgesloten; $q^2 = -1$ met $q = a + su$ geeft $a^2 - s^2 + 2as\,u = -1$ , dus $a = 0$ , $s = 1$ : $q$ is een pure eenheid $w$ , en $\rho_w$ is de halfdraai om $w$ (hoek $\pi$ , vraag 5). Centrum: als $\rho_q$ commuteert met elke $\rho_p$ , dan $\rho_{pq\bar p} = \rho_q$ , dus $pq\bar p = \varepsilon(p)\,q$ met $\varepsilon(p) \in \{\pm1\}$ ; $p \mapsto \varepsilon(p) = (pq\bar p)q^{-1}$ is continu op de samenhangende $S^3$ en gelijk aan $1$ in $p = 1$ , dus $\equiv 1$ : $q$ commuteert met heel $S^3$ , dus met heel $\mathbb H$ (herschaal), dus $q \in \R \cap S^3 = \{\pm1\}$ (vraag 1) en $\rho_q = I$ : het centrum is triviaal.

22. Omdat $u \perp w$ pure eenheden zijn, is $uw = u\wedge w$ puur (vraag 18), dus

w' = qw = \cos\tfrac\theta2\,w + \sin\tfrac\theta2\,u\wedge w

is puur, van norm $\abs q\abs w = 1$ . Dan $w'w = qw\cdot w = qw^2 = -q$ , en

\rho_{w'}\rho_w = \rho_{w'w} = \rho_{-q} = \rho_q .

Beide assen $w$ en $w' = \cos\frac\theta2 w + \sin\frac\theta2(u\wedge w)$ liggen in het vlak $u^\perp$ orthogonaal op de rotatieas, en $\langle w', w\rangle = \cos\frac\theta2$ : zij maken de halfhoek $\frac\theta2$ . Dit is de klassieke generatie: twee halfdraaien om assen die hoek $\frac\theta2$ maken, stellen samen tot de rotatie over hoek $\theta$ om hun gemeenschappelijke loodlijn.

23. Compactheid is vraag 7. Padsamenhang: $SO(3) = \rho(S^3)$ is het continue beeld van de padsamenhangende sfeer; alternatief, voor $R = \eu^{A}$ met $A$ antisymmetrisch (vraag 8), is $t \mapsto \eu^{tA}$ een pad in $SO(3)$ van $I$ naar $R$ (orthogonaal want $(\eu^{tA})^{\mathsf T} = \eu^{-tA}$ , determinant $1$ door continuïteit vanaf $t = 0$ ). Voor $O(3)$ : $\det$ is continu op $\{\pm1\}$ , dus is $O(3)$ onsamenhangend, $O(3) = SO(3) \sqcup D\,SO(3)$ voor vaste $D$ met $\det D = -1$ (b.v. $D = -I$ ), en linkse vermenigvuldiging met $D$ is een homeomorfisme: precies twee componenten, elk een kopie van $SO(3)$ . De twee-op-één $\rho$ , sectie-vrij door vraag 19, is dus een eerlijke dubbeldekking van een samenhangende compacte groep door de enkelvoudig samenhangende $S^3$ — de meetkunde achter de riemtruc.

24. (i) Matrices:

R_1 = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad R_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1\\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad R_2R_1 = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & -1\\ 1 & 0 & 0\end{pmatrix}.

Spoor $0 = 1 + 2\cos\theta$ geeft $\cos\theta = -\frac12$ : $\theta = \frac{2\pi}3$ . Antisymmetrisch deel $\frac{R - R^{\mathsf T}}2$ heeft entries die $\sin\theta\,(v_3, -v_2, v_1)$ -gewijs de as coderen: hier $\frac{R - R^{\mathsf T}}2 = \frac12\bigl(\begin{smallmatrix}0 & -1 & -1\\ 1 & 0 & -1\\ 1 & 1 & 0\end{smallmatrix}\bigr)$ , wat (woordenboek van Deel V voor $A_v$ ) $v\sin\theta = \frac12(1, -1, 1)$ leest; met $\sin\frac{2\pi}3 = \frac{\sqrt3}2$ : $v = \frac1{\sqrt3}(1, -1, 1)$ . (ii) Quaternionen: $q_1 = \cos\frac\pi4 + \sin\frac\pi4\,k = \frac{\sqrt2}2(1 + k)$ , $q_2 = \frac{\sqrt2}2(1 + i)$ , en

q_2q_1 = \tfrac12(1 + i)(1 + k) = \tfrac12(1 + k + i + ik) = \tfrac12\bigl(1 + i - j + k\bigr)

( $ik = -j$ ). Dus $\cos\frac\theta2 = \frac12$ : $\theta = \frac{2\pi}3$ , en het vectordeel $\frac12(i - j + k)$ heeft richting $\frac1{\sqrt3}(1, -1, 1)$ — hetzelfde antwoord, met de quaternionroute die één regel vermenigvuldiging vraagt in plaats van een matrixproduct: de praktische reden waarom vluchtsoftware attitudes in $S^3$ samenstelt.

25. $I + K$ inverteerbaar: $(I + K)v = 0$ geeft $0 = \langle v, v\rangle + \langle v, Kv\rangle = \norm v^2$ (antisymmetrie doodt de tweede term): $v = 0$ . Orthogonaliteit van $C = C(K)$ : met $(I \pm K)^{\mathsf T} = I \mp K$ en het feit dat alle vier matrices $I \pm K$ , $(I \pm K)^{-1}$ commuteren (polynomiale uitdrukkingen in $K$ , plus limieten):

C^{\mathsf T}C = (I + K)^{-\mathsf T}(I - K)^{\mathsf T} (I - K)(I + K)^{-1} = (I - K)^{-1}(I + K)(I - K)(I + K)^{-1} = I .

Determinant: $\det(I - K) = \det\bigl((I - K)^{\mathsf T}\bigr) = \det(I + K)$ , dus $\det C = 1$ : $C \in SO(n)$ . Geen eigenwaarde $-1$ : $Cv = -v$ betekent $(I - K)w = -(I + K)w$ voor $w = (I + K)^{-1}v$ , d.w.z. $2w = 0$ : $v = 0$ . Inversie: uit $C(I + K) = I - K$ , los $K(I + C) = I - C$ op; omdat $-1 \notin \operatorname{Sp}C$ , is $I + C$ inverteerbaar en $K = (I - C)(I + C)^{-1}$ , wat antisymmetrisch is wanneer $C$ orthogonaal is zonder eigenwaarde $-1$ (transponeer de uitdrukking en gebruik $C^{\mathsf T} = C^{-1}$ : $K^{\mathsf T} = (I - C^{-1})(I + C^{-1})^{-1} = (C - I)(C + I)^{-1} = -K$ ). De twee afbeeldingen zijn elkaars inverse per constructie: een globale rationale parametrisering van het dichte open stuk van $SO(n)$ dat eigenwaarde $-1$ vermijdt — geen reeks, geen trigonometrie, en in dimensie $3$ is het de halfhoek-substitutie $K = \tan\frac\theta2\,A_v$ in vermomming.

20.1 De stelling van de inverse functie

20.2 Deelvariëteiten: vier definities

20.3 Raakruimten

20.4 Oefeningen

20.5 Probleem: SO(3)SO(3)SO(3) en de quaternionen

20.5 Probleem: $SO(3)$ en de quaternionen