Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 3 · Bachelor Year 3

20Deelvariëteiten van ℝn

Sferen, tori, rotatiegroepen: de natuurlijke leefomgevingen van de meetkunde en de mechanica zijn geen vectorruimten maar gekromde verzamelingen die van dichtbij vlak lijken. Dit hoofdstuk geeft die uitdrukking een precieze betekenis — deelvariëteiten van $\R^n$ — en de calculus om erop te werken. Het fundament is de inverse-functiestelling, hier bewezen met het vaste punt van Banach; al de rest is coördinaten verwisselen: de vier gelijkwaardige beschrijvingen van een deelvariëteit (lokaal rechttrekken, niveauverzamelingen, grafieken, parametriseringen), raakruimten, en optimaliseren onder nevenvoorwaarden met de multiplicatoren van Lagrange — die, als afscheidsdemonstratie, de spectraalstelling voor symmetrische matrices in drie regels meetkunde herbewijst. De weekendopgave bouwt de rotatiegroep $SO(3)$ en haar quaternionische dubbele overdekking: algebra (de $Q_8$ van Hoofdstuk 1, volwassen geworden) die de meetkunde ontmoet.

20.1 De inverse-functiestelling

Stelling 20.1 (Inverse-functiestelling)

Zij $U \subseteq \R^n$ open, $f \colon U \to \R^n$ van klasse $\mathcal C^1$ , en $a \in U$ met $Df(a)$ inverteerbaar. Dan zijn er open verzamelingen $V \ni a$ en $W \ni f(a)$ zodanig dat $f \colon V \to W$ een bijectie is met een $\mathcal C^1$ -inverse, en

D(f^{-1})(y) = \bigl(Df(f^{-1}(y))\bigr)^{-1} \qquad (y \in W).

Is $f$ $\mathcal C^k$ , dan is $f^{-1}$ dat ook.

Bewijs. Normeer: door $f$ te vervangen door $x \mapsto Df(a)^{-1}\bigl(f(a + x) - f(a)\bigr)$ mogen we aannemen dat $a = 0$ , $f(0) = 0$ en $Df(0) = I$ (de algemene uitspraak volgt door met de affiene bijecties samen te stellen). Schrijf $f(x) = x + g(x)$ : dan is $Dg(0) = 0$ , en kies wegens de continuïteit van $Dg$ een $r > 0$ met $\vertiii{Dg(x)} \leq \frac12$ op $\bar B(0, r)$ ; de middelwaardeongelijkheid geeft daar $\norm{g(x) - g(x')} \leq \frac12 \norm{x - x'}$ .

Bijectiviteit op een omgeving. Voor $y \in B(0, \frac r2)$ betekent $f(x) = y$ oplossen dat je een vast punt van $\Phi_y(x) = y - g(x)$ zoekt; $\Phi_y$ beeldt $\bar B(0, r)$ in zichzelf af ( $\norm{\Phi_y(x)} \leq \norm y + \frac12\norm x \leq r$ ) en is $\frac12$ -lipschitz: Banach (Stelling 7.4) geeft een unieke oplossing $x = \varphi(y) \in \bar B(0,r)$ . Bovendien is $f$ injectief op $\bar B(0,r)$ :

\norm{f(x) - f(x')} \geq \norm{x - x'} - \norm{g(x) - g(x')} \geq \tfrac12\norm{x - x'} . \tag{$*$}

Stel $W = B(0, \frac r2)$ en $V = f^{-1}(W)\cap B(0, r)$ : open (continuïteit), met $f \colon V \to W$ bijectief.

Continuïteit en differentieerbaarheid van de inverse. $(*)$ zegt dat $\varphi = f^{-1}$ $2$ -lipschitz is. Leg $y_0 = f(x_0) \in W$ vast; de inverteerbaarheid van $A = Df(x_0)$ (haar afstand tot $I$ is $\leq \frac12$ : Neumann, Propositie 8.4) en de differentieerbaarheid van $f$ geven voor $y = f(x)$ nabij $y_0$

\varphi(y) - \varphi(y_0) - A^{-1}(y - y_0) = -A^{-1}\bigl(f(x) - f(x_0) - A(x - x_0)\bigr) = -A^{-1}\,o(\norm{x - x_0}) = o(\norm{y - y_0}),

met $(*)$ om $\norm{x - x_0} \leq 2\norm{y - y_0}$ om te zetten: dus is $\varphi$ differentieerbaar in $y_0$ met de inverse differentiaal. Continuïteit van $y \mapsto D\varphi(y) = Df(\varphi(y))^{-1}$ : een samenstelling van continue afbeeldingen (het inverteren is continu, Propositie 8.4): dus $\varphi \in \mathcal C^1$ ; en dezelfde formule als hefboom geeft $\mathcal C^k$ . ∎

Stelling 20.2 (Impliciete-functiestelling)

Zij $F \colon U \subseteq \R^p\times\R^q \to \R^q$ $\mathcal C^1$ nabij $(a, b)$ , met $F(a,b) = 0$ , en neem aan dat de partiële differentiaal $D_yF(a,b) \in \mathcal L(\R^q)$ inverteerbaar is. Dan zijn er omgevingen $A \ni a$ en $B \ni b$ en een $\mathcal C^1$ -afbeelding $\psi \colon A \to B$ met

\bigl\{(x, y)\in A\times B : F(x,y) = 0\bigr\} = \{(x, \psi(x)) : x \in A\},

en $D\psi(x) = -D_yF(x, \psi(x))^{-1}\,D_xF(x, \psi(x))$ .

Bewijs. Pas Stelling 20.1 toe op $\Theta(x, y) = (x, F(x,y))$ : haar differentiaal in $(a,b)$ , blokdriehoekig met inverteerbare diagonaalblokken $I$ en $D_yF$ , is inverteerbaar. De lokale inverse heeft de vorm $\Theta^{-1}(x, z) = (x, h(x, z))$ ; stel $\psi(x) = h(x, 0)$ : dan is lokaal $F(x, y) = 0$ dan en slechts dan als $\Theta(x,y) = (x, 0)$ , dat wil zeggen als $y = \psi(x)$ . De formule: differentieer $F(x, \psi(x)) = 0$ met de kettingregel. ∎

20.2 Deelvariëteiten: vier definities

Stelling 20.3 (Gelijkwaardige karakteriseringen)

Zij $M \subseteq \R^n$ , $d \in \{0, \dots, n\}$ en $k \geq 1$ . De volgende uitspraken zijn gelijkwaardig, voor elk punt $a \in M$ (en $M$ is een $d$ -dimensionale deelvariëteit van klasse $\mathcal C^k$ als ze in elke $a \in M$ gelden):

(Rechttrekken) Er is een $\mathcal C^k$ -diffeomorfisme $\Phi$ van een open $\Omega \ni a$ op een open $\Omega' \subseteq \R^n$ met

$\Phi(M\cap\Omega) = \Omega' \cap \bigl(\R^d\times\{0\}\bigr).$
(Niveauverzameling) Er is een $\mathcal C^k$ -submersie $F \colon \Omega \to \R^{n-d}$ (dat wil zeggen $DF(x)$ surjectief) op een open $\Omega \ni a$ met $M\cap\Omega = F^{-1}(0)$ .
(Grafiek) Op een permutatie van de coördinaten na is $M$ lokaal de grafiek van een $\mathcal C^k$ -afbeelding $\psi \colon A \subseteq \R^d \to \R^{n-d}$ .
(Parametrisering) Er is een $\mathcal C^k$ -immersie $\varphi \colon A \subseteq \R^d \to \R^n$ ( $D\varphi(u)$ injectief) met $A$ open, waarbij $\varphi$ een homeomorfisme is van $A$ op $M \cap \Omega$ voor een open $\Omega \ni a$ .

Bewijs. (1) $\Rightarrow$ (2): $F = (\Phi_{d+1}, \dots, \Phi_n)$ (de laatste coördinaten van $\Phi$ ): een submersie ( $D\Phi$ is inverteerbaar). (2) $\Rightarrow$ (3): $DF(a)$ is surjectief, dus is een $q\times q$ -minor van de jacobiaan inverteerbaar ( $q = n - d$ ); na permutatie van de coördinaten is $D_yF(a)$ inverteerbaar, en de impliciete-functiestelling (Stelling 20.2) drukt $M$ lokaal uit als grafiek $y = \psi(x)$ . (3) $\Rightarrow$ (4): $\varphi(x) = (x, \psi(x))$ : een immersie (de differentiaal $\bigl(\begin{smallmatrix}I\\ D\psi\end{smallmatrix}\bigr)$ is injectief), en een homeomorfisme op de grafiek (de inverse is de projectie, continu). (4) $\Rightarrow$ (1): zij $\varphi(u_0) = a$ ; vul $\operatorname{im}D\varphi(u_0)$ aan met een complement $E$ ( $\dim E = n - d$ ) en definieer $\Theta(u, v) = \varphi(u) + v$ op $A\times E$ : $D\Theta(u_0, 0)$ is bijectief (het beeld bevat $\operatorname{im}D\varphi(u_0)$ en $E$ ), dus is $\Theta$ een lokaal diffeomorfisme (Stelling 20.1); haar inverse $\Phi$ trekt recht: nabij $a$ zijn de punten van $M$ precies de $\varphi(u) = \Theta(u, 0)$ — daarvoor waarborgt de hypothese van het homeomorfisme in (4) dat $M\cap\Omega$ voor kleine $\Omega$ geen andere bladen bevat ( $\varphi(u') + v = m \in M$ dicht bij $a$ met kleine $v \neq 0$ moet worden uitgesloten: $m = \varphi(u'')$ voor een $u''$ nabij $u_0$ wegens de homeomorfismeeigenschap, en de lokale injectiviteit van $\Theta$ dwingt $v = 0$ af). Dan is $\Phi(M\cap\Omega) = (A\times\{0\})\cap\Phi(\Omega)$ , na eventueel te verkleinen. ∎

Voorbeeld 20.4

De sfeer $S^{n-1} = \{\norm x^2 = 1\}$ : de niveauverzameling van de submersie $F(x) = \norm x_2^2 - 1$ op $\R^n\setminus\{0\}$ ( $DF(x) = 2x^{\mathsf T} \ne 0$ ): een $\mathcal C^\infty$ -deelvariëteit van dimensie $n - 1$ . De torus in $\R^3$ : de niveauverzameling van $\bigl(\sqrt{x^2 + y^2} - R\bigr)^2 + z^2 - r^2$ ( $0 < r < R$ ). De kegel $\{x^2 + y^2 = z^2\}$ is in $0$ geen deelvariëteit (Oefening 20.1). Matrixgroepen: $SL_n$ en $O_n$ zijn deelvariëteiten van $M_n(\R)$ (Oefeningen 20.5 en 20.6) — het startpunt van de lietheorie.

20.3 Raakruimten

Definitie 20.5

Zij $M$ een $d$ -deelvariëteit en $a \in M$ . De raakruimte $T_aM$ is de verzameling snelheidsvectoren $\gamma'(0)$ van $\mathcal C^1$ -krommen $\gamma \colon \intoo{-\varepsilon}\varepsilon \to M$ met $\gamma(0) = a$ .

Propositie 20.6

$T_aM$ is een $d$ -dimensionale deelvectorruimte van $\R^n$ , en:

is $M = F^{-1}(0)$ lokaal met $F$ een submersie, dan is $T_aM = \ker DF(a)$ ;
is $M$ geparametriseerd door de immersie $\varphi$ (met $\varphi(u_0) = a$ ), dan is $T_aM = \operatorname{im}D\varphi(u_0)$ .

Bewijs. Krommen in $M$ voldoen aan $F(\gamma(t)) = 0$ ; de kettingregel in $0$ geeft $DF(a)\gamma'(0) = 0$ : dus $T_aM \subseteq \ker DF(a)$ . Omgekeerd vervoert het rechttrekken (Stelling 20.3(1)) rechten van $\R^d\times\{0\}$ naar krommen van $M$ : elke vector van een $d$ -dimensionale deelruimte wordt verwezenlijkt; de dimensies vergelijken ( $\dim\ker DF(a) = n - (n - d) = d$ ) dwingt de gelijkheid in (1) af, en hetzelfde transportargument geeft (2) ( $D\varphi(u_0)$ toegepast op rechten in $A$ ; opnieuw de dimensies). ∎

Stelling 20.7 (Multiplicatoren van Lagrange)

Zij $M = F^{-1}(0)$ met $F = (F_1, \dots, F_q) \colon \Omega \to \R^q$ een $\mathcal C^1$ -submersie, en zij $f \colon \Omega \to \R$ $\mathcal C^1$ . Heeft de beperking $f\restriction_M$ een lokaal extremum in $a \in M$ , dan zijn er unieke reële getallen $\lambda_1, \dots, \lambda_q$ (de multiplicatoren van Lagrange) met

\nabla f(a) = \lambda_1\nabla F_1(a) + \dots + \lambda_q\nabla F_q(a) .

Bewijs. Voor elke kromme $\gamma$ in $M$ door $a$ heeft $t \mapsto f(\gamma(t))$ een lokaal extremum in $0$ , dus is $0 = \frac{\dd}{\dd t}f(\gamma(t))\big|_0 = \langle\nabla f(a), \gamma'(0)\rangle$ : dus $\nabla f(a) \perp T_aM = \ker DF(a)$ (Propositie 20.6). Nu is $\ker DF(a)^\perp = \operatorname{im}DF(a)^{\mathsf T}$ (de identiteit tussen rang en orthogonaliteit uit het volume van bachelorjaar 2, of Oefening 13.8 in eindige dimensie: $(\ker T)^\perp = \operatorname{im}T^*$ ), die door de gradiënten $\nabla F_i(a)$ wordt opgespannen — onafhankelijk, want $DF(a)$ is surjectief: de multiplicatoren bestaan en zijn uniek. ∎

Voorbeeld 20.8 (De spectraalstelling, meetkundig)

Zij $A$ een reële symmetrische $n\times n$ -matrix, en maximaliseer $f(x) = \langle Ax, x\rangle$ op de sfeer $S^{n-1}$ (compact: het maximum wordt bereikt, in een $v_1$ ). Lagrange met $F(x) = \norm x^2 - 1$ : $\nabla f = 2Ax$ en $\nabla F = 2x$ geven $Av_1 = \lambda_1v_1$ — een eigenvector, met $\lambda_1 = \max_{S^{n-1}}\langle Ax, x\rangle$ . Beperk $A$ tot $v_1^\perp$ (invariant: $\langle Av, v_1\rangle = \langle v, Av_1\rangle = \lambda_1\langle v, v_1\rangle = 0$ ) en itereer: een orthonormale basis van eigenvectoren. De spectraalstelling uit het volume van bachelorjaar 2, herbewezen met pure optimalisatie — en de oneindigdimensionale schaduw van hetzelfde argument bewees Lemma 15.6.

Methode 20.9

Om aan te tonen dat een verzameling een deelvariëteit is: geef haar lokaal als $F^{-1}(0)$ met $DF$ surjectief op de verzameling (de gebruikelijkste weg), of als grafiek. Om haar dimensie en raakruimte te berekenen: $d = n - q$ en $T_a = \ker DF(a)$ . Om erop te optimaliseren: Lagrange — ga altijd eerst de compactheid (of de coërciviteit) na, zodat er een extremum bestaat waarop de stelling kan slaan, en onthoud dat de vergelijking met de multiplicatoren enkel noodzakelijk is: verzamel alle kritieke punten en vergelijk daarna de waarden. Voor matrixgroepen differentieer je krommen in de eenheid om de raakruimten te bepalen.

20.4 Oefeningen

Oefening 20.1 ★

(a) Ga na dat de volgende $\mathcal C^\infty$ -deelvariëteiten zijn en geef hun dimensies: $S^{n-1}$ ; de hyperboloïde $\{x^2 + y^2 - z^2 = 1\}$ ; de torus van Voorbeeld 20.4. (b) Toon aan dat de kegel $C = \{x^2 + y^2 = z^2\} \subseteq \R^3$ in $0$ geen $2$ -deelvariëteit is: bepaal het aantal samenhangscomponenten van $\bigl(C\setminus\{0\}\bigr)\cap B(0,\varepsilon)$ , en vergelijk met het aantal dat een rechttrekking (Stelling 20.3(1)) voor een vlak min een punt zou afdwingen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.1.

(a) Elk is $F^{-1}(0)$ voor een submersie: $\norm x^2 - 1$ op $\R^n\setminus\{0\}$ (gradiënt $2x \neq 0$ ): dimensie $n-1$ ; $x^2 + y^2 - z^2 - 1$ (gradiënt $(2x, 2y, -2z) \neq 0$ op de hyperboloïde, waar $x^2 + y^2 = 1 + z^2 > 0$ ): dimensie $2$ ; de torusfunctie $G = (\rho - R)^2 + z^2 - r^2$ met $\rho = \sqrt{x^2+y^2}$ is $\mathcal C^\infty$ nabij de torus (daar is $\rho \geq R - r > 0$ ) met $\nabla G \neq 0$ (haar $z$ -component is $2z$ , en waar $z = 0$ is de radiale component $2(\rho - R)\ne0$ , want $\abs{\rho - R} = r$ ): dimensie $2$ .

(b) Voor kleine $\varepsilon$ heeft $(C\setminus\{0\})\cap B(0,\varepsilon)$ precies $2$ samenhangscomponenten (de bovenste en de onderste geperforeerde mantel, elk wegsamenhangend: verbind via cirkels en stralen). Was $C$ in $0$ een $2$ -deelvariëteit, dan zou een rechttrekking een homeomorfisme van $C\cap\Omega$ op een open stuk van een vlak geven dat $0$ naar een punt $p$ stuurt; kleine geperforeerde vlakomgevingen van $p$ hebben één component, en homeomorfismen behouden het aantal componenten van geperforeerde omgevingen: tegenspraak.

Oefening 20.2 ★

Bereken de raakruimten: (a) $T_aS^{n-1}$ voor willekeurige $a$ (antwoord: $a^\perp$ ); (b) het raakvlak aan de torus van Voorbeeld 20.4 in een willekeurig punt van de buitenevenaar $\{z = 0,\ x^2 + y^2 = (R + r)^2\}$ ; (c) de raaklijn aan de schroeflijn $\varphi(t) = (\cos t, \sin t, t)$ in $\varphi(t_0)$ , met een controle van Propositie 20.6(2).

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.2.

(a) $T_aS^{n-1} = \ker\bigl(2a^{\mathsf T}\bigr) = a^\perp$ . (b) In $p = ((R+r)\cos\theta, (R+r)\sin\theta, 0)$ is $\nabla G = (2r\cos\theta, 2r\sin\theta, 0)$ , dus is het raakvlak $\operatorname{Vect}\bigl((-\sin\theta, \cos\theta, 0),\ (0, 0, 1)\bigr)$ : het verticale vlak dat aan de buitenevenaar raakt. (c) De schroeflijn is een ingebedde kromme met $\varphi'(t_0) = (-\sin t_0, \cos t_0, 1) \neq 0$ : de raaklijn in $\varphi(t_0)$ is $\varphi(t_0) + \R\,\varphi'(t_0)$ , zoals Propositie 20.6(2) voorschrijft.

Oefening 20.3 ★★

Zij $f(x, y) = (x^2 - y^2,\ 2xy)$ (dat wil zeggen $z \mapsto z^2$ ). (a) In welke punten is Stelling 20.1 van toepassing? (b) Toon aan dat $f$ op $\R^2\setminus\{0\}$ lokaal maar niet globaal inverteerbaar is, en geef expliciet de twee lokale inversen die op een omgeving van $(1, 0)$ gedefinieerd zijn (de twee takken van de vierkantswortel). (c) Dezelfde bespreking voor de afbeelding van de poolcoördinaten $(r, \theta) \mapsto (r\cos\theta, r\sin\theta)$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.3.

(a) $Df(x,y) = \bigl(\begin{smallmatrix}2x & -2y\\ 2y & 2x\end{smallmatrix}\bigr)$ met $\det = 4(x^2 + y^2)$ : de stelling is in elk punt behalve de oorsprong van toepassing. (b) $f(-z) = f(z)$ : nooit injectief op een verzameling die symmetrisch is om $0$ ; op $\R^2\setminus\{0\}$ is ze overal een lokaal diffeomorfisme en toch globaal twee-op-één. Nabij $(1, 0) = f(\pm(1, 0))$ zijn de twee inversen de twee takken van de vierkantswortel: in complexe notatie $w \mapsto \pm\sqrt w$ (de hoofdtak), dat wil zeggen

(u, v) \longmapsto \pm\Bigl(\sqrt{\tfrac{u + \sqrt{u^2+v^2}}{2}},\ \frac{v}{2\sqrt{(u + \sqrt{u^2+v^2})/2}}\Bigr).

(c) Jacobiaan $r > 0$ : een lokaal diffeomorfisme op $\intoo0\infty\times\R$ , maar $\theta \mapsto \theta + 2\pi$ geeft hetzelfde punt: lokaal inverteerbaar (de hoek ligt op een halfvlak op $2\pi$ na vast), nooit globaal.

Oefening 20.4 ★★

(Folium) Zij $F(x,y) = x^3 + y^3 - 3xy$ en $\mathcal C = F^{-1}(0)$ . (a) Toon aan dat $\mathcal C$ nabij elk punt van $\mathcal C$ behalve de oorsprong een $1$ -deelvariëteit is, lokaal een grafiek in $x$ of in $y$ (welke, waar?). (b) Bereken de raaklijn in $(\frac32, \frac32)$ . (c) Wat gebeurt er in de oorsprong? (Twee takken kruisen elkaar: geef twee $\mathcal C^1$ -krommen in $\mathcal C$ door $0$ met onafhankelijke snelheden, en besluit dat er geen rechttrekking bestaat.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.4.

(a) $\nabla F = 3(x^2 - y,\ y^2 - x)$ verdwijnt dan en slechts dan als $y = x^2$ en $x = y^2$ , dat wil zeggen $x^4 = x$ : in $(0,0)$ en $(1,1)$ ; enkel $(0,0)$ ligt op $\mathcal C$ (want $F(1,1) = -1$ ). Op $\mathcal C\setminus\{0\}$ is $F$ dus een submersie: een $1$ -deelvariëteit, lokaal een grafiek $y = \psi(x)$ waar $F_y = 3(y^2 - x) \neq 0$ en $x = \chi(y)$ waar $F_x = 3(x^2 - y) \neq 0$ (buiten de oorsprong geldt er minstens één van beide).

(b) In $(\frac32, \frac32)$ : $\nabla F = 3(\frac94 - \frac32)(1, 1) = \frac94(1,1)$ : raaklijn $x + y = 3$ .

(c) De rationale parametrisering $x = \frac{3t}{1 + t^3}$ , $y = \frac{3t^2}{1+t^3}$ gaat in $t = 0$ door $0$ met snelheid $(3, 0)$ ; $x \leftrightarrow y$ verwisselen (de kromme is symmetrisch, of herparametriseer met $1/t$ ) geeft een tweede $\mathcal C^1$ -kromme door $0$ met snelheid $(0, 3)$ . Twee onafhankelijke raakrichtingen zijn onmogelijk voor een $1$ -deelvariëteit (haar raakruimte is een rechte, Propositie 20.6): $\mathcal C$ is in de oorsprong geen deelvariëteit — een transversale zelfkruising.

Oefening 20.5 ★★

Zij $F(M) = M^{\mathsf T}M$ van $M_n(\R)$ naar de ruimte $S_n$ van de symmetrische matrices. (a) Toon aan dat $DF(M)(H) = M^{\mathsf T}H + H^{\mathsf T}M$ en dat $DF(M)$ in elke $M \in O_n$ surjectief is op $S_n$ (probeer bij gegeven $S \in S_n$ $H = \frac12MS$ ). (b) Besluit dat $O_n = F^{-1}(I)$ een compacte $\mathcal C^\infty$ -deelvariëteit van dimensie $\frac{n(n-1)}2$ is, met $T_IO_n = \{H : H^{\mathsf T} = -H\}$ , de antisymmetrische matrices. (c) Toon aan dat $\eu^{tH} \in O_n$ voor elke antisymmetrische $H$ : de raakrichtingen integreren tot krommen in de groep.

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.5.

(a) $F(M + H) = M^{\mathsf T}M + M^{\mathsf T}H + H^{\mathsf T}M + H^{\mathsf T}H$ : dus $DF(M)(H) = M^{\mathsf T}H + H^{\mathsf T}M$ . Voor $M \in O_n$ en symmetrische $S$ geeft $H = \frac12MS$ dat $DF(M)(H) = \frac12(S + S^{\mathsf T}) = S$ : surjectief op $S_n$ .

(b) $O_n = F^{-1}(I)$ met $F$ in elk van haar punten een submersie (op $S_n$ , van dimensie $\frac{n(n+1)}2$ ): dus een deelvariëteit van dimensie $n^2 - \frac{n(n+1)}2 = \frac{n(n-1)}2$ . Compact: gesloten ( $F$ is continu) en begrensd (de kolommen zijn eenheidsvectoren). Raakruimte in $I$ : $\ker DF(I) = \{H : H + H^{\mathsf T} = 0\}$ .

(c) $\bigl(\eu^{tH}\bigr)^{\mathsf T}\eu^{tH} = \eu^{tH^{\mathsf T}}\eu^{tH} = \eu^{-tH}\eu^{tH} = I$ (het transponeren gaat door de reeks heen; de exponentiëlen van commuterende matrices vermenigvuldigen, Stelling 19.8).

Oefening 20.6 ★★

(a) Toon aan dat $\det \colon M_n(\R) \to \R$ de differentiaal $D\det(M)(H) = \operatorname{tr}\bigl(\operatorname{com}(M) ^{\mathsf T}H\bigr)$ heeft, die in elke $M \in SL_n$ niet nul is. (b) Besluit dat $SL_n(\R)$ een deelvariëteit van dimensie $n^2 - 1$ is met $T_ISL_n = \{H : \operatorname{tr}H = 0\}$ . (c) Is $GL_n(\R)$ een deelvariëteit? Van welke dimensie?

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.6.

(a) $\det(M + H) = \det M\,\det(I + M^{-1}H) = \det M\bigl(1 + \operatorname{tr}(M^{-1}H) + O(\norm H^2)\bigr)$ voor inverteerbare $M$ (de ontwikkeling van $\det$ nabij $I$ : de lineaire term van $\prod(1 + \lambda_i)$ ); en met $\det M\cdot M^{-1} = \operatorname{com}(M)^{\mathsf T}$ : $D\det(M)(H) = \operatorname{tr}\bigl(\operatorname{com}(M)^{\mathsf T}H\bigr)$ , en de formule breidt zich met dichtheid en continuïteit uit tot alle $M$ . Op $SL_n$ is $\det M = 1$ : $D\det(M) \ne 0$ (haar waarde op $H = M$ is $\operatorname{tr}(I)\cdot\dots = n\det M = n$ ).

(b) $SL_n = \det^{-1}(1)$ met $\det$ daar een submersie (met waarden in $\R$ ): dimensie $n^2 - 1$ ; en $T_ISL_n = \ker D\det(I) = \{H : \operatorname{tr}H = 0\}$ .

(c) $GL_n$ is een open deelverzameling van $M_n(\R)$ (Oefening 6.8): een deelvariëteit van volle dimensie $n^2$ (rechttrekking: de identieke kaart).

Oefening 20.7 ★★

Met de multiplicatoren van Lagrange: (a) zoek de extrema van $f(x,y) = xy$ op de cirkel $x^2 + y^2 = 1$ ; (b) toon aan dat onder alle kansvectoren $(p_1, \dots, p_n)$ (positief, met som $1$ ) de entropie $-\sum p_i\ln p_i$ precies in de uniforme verdeling wordt gemaximaliseerd; (c) zoek het punt van de ellips $\{x^2/4 + y^2 = 1\}$ dat het dichtst bij $(1, 0)$ ligt, en controleer de vergelijking met de multiplicator meetkundig (uitlijning van de normalen).

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.7.

(a) $(y, x) = \lambda(2x, 2y)$ en $x^2 + y^2 = 1$ : uit $y = 2\lambda x$ en $x = 2\lambda y$ volgt $x^2 = y^2 = \frac12$ . Waarden van $xy$ : $\pm\frac12$ : maximum $\frac12$ in $\pm\frac1{\sqrt2}(1,1)$ , minimum $-\frac12$ in $\pm\frac1{\sqrt2}(1,-1)$ (de nevenvoorwaarde geeft een compacte verzameling: de extrema bestaan).

(b) Op het inwendige van de simplex ( $p_i > 0$ ) geeft Lagrange voor $H(p) = -\sum p_i\ln p_i$ met nevenvoorwaarde $\sum p_i = 1$ dat $-\ln p_i - 1 = \lambda$ voor alle $i$ : alle $p_i$ gelijk, dus $p_i = \frac1n$ , met $H = \ln n$ . Het maximum over de compacte simplex wordt bereikt; werd het op de rand bereikt (een $p_i = 0$ ), dan leeft de verdeling op $\leq n - 1$ punten en is met inductie $H \leq \ln(n-1) < \ln n$ : het inwendige kritieke punt is dus het globale maximum — uniforme onwetendheid maximaliseert de entropie.

(c) Minimaliseer $(x-1)^2 + y^2$ op de compacte ellips: $(2(x{-}1), 2y) = \lambda(\frac x2, 2y)$ . Is $y \neq 0$ , dan is $\lambda = 1$ , en geeft $2(x - 1) = \frac x2$ dat $x = \frac43$ en $y^2 = 1 - \frac49 = \frac59$ : afstand $^2$ $= \frac19 + \frac59 = \frac23$ . Is $y = 0$ , dan is $x = \pm2$ , met afstanden $1$ en $3$ . Dichtstbijzijnde punten: $\bigl(\frac43, \pm\frac{\sqrt5}3\bigr)$ , op afstand $\sqrt{2/3} < 1$ . De vergelijking met de multiplicator zegt dat het lijnstuk van $(1,0)$ naar het dichtstbijzijnde punt evenwijdig is met $\nabla$ (ellips): het snijdt de ellips loodrecht, zoals de meetkunde eist.

Oefening 20.8 ★★★

Schrijf Voorbeeld 20.8 voluit uit: bewijs met inductie dat een reële symmetrische matrix een orthonormale basis van eigenvectoren toelaat, waarbij $\lambda_1 \geq \dots \geq \lambda_n$ de opeenvolgende maxima onder nevenvoorwaarden van het quotiënt van Rayleigh zijn. Leid daarna de formules van Courant–Fischer uit Oefening 15.8 in eindige dimensie rechtstreeks uit deze constructie af.

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.8.

Inductie naar $n$ ; $n = 1$ is triviaal. De functie van Rayleigh $f(x) = \langle Ax, x\rangle$ bereikt haar maximum $\lambda_1$ op de compacte $S^{n-1}$ in een $v_1$ ; Lagrange (Stelling 20.7, de sfeer als niveauverzameling) geeft $2Av_1 = 2\lambda v_1$ , en $\lambda = \langle Av_1, v_1\rangle = \lambda_1$ . Het hypervlak $v_1^\perp$ is $A$ -invariant (symmetrie: $\langle Av, v_1\rangle = \langle v, Av_1\rangle = 0$ ); de beperking is symmetrisch, en inductie levert een orthonormale eigenbasis $v_2, \dots, v_n$ van $v_1^\perp$ met eigenwaarden $\lambda_2 \geq \dots \geq \lambda_n$ , elk het maximum van $f$ op de sfeer van het resterende orthogonaal complement. Courant–Fischer volgt precies als in Oefening 15.8: ontwikkel $x = \sum c_iv_i$ ; snijd op een $k$ -dimensionale testruimte met $\operatorname{Vect}(v_k, \dots, v_n)$ (het tellen van dimensies in $\R^n$ ) om $\min \leq \lambda_k$ te krijgen, en $\operatorname{Vect}(v_1, \dots, v_k)$ verwezenlijkt $\min = \lambda_k$ .

Oefening 20.9 ★★★

(Ongelijkheid van Hadamard) Voor $M \in GL_n(\R)$ met kolommen $c_1, \dots, c_n$ geldt

\abs{\det M} \;\leq\; \prod_{i=1}^n\norm{c_i}_2 ,

met gelijkheid dan en slechts dan als de kolommen orthogonaal zijn. (Herleid door te schalen tot kolommen met norm $1$ ; maximaliseer $\det$ op het compacte product van sferen $(S^{n-1})^n$ ; in een maximalisator geeft Lagrange in elke kolom afzonderlijk $\nabla_{c_i}\det = \lambda_ic_i$ , en $\nabla_{c_i}\det$ is de $i$ -de kolom van $\operatorname{com}(M)$ : leid af dat $M^{\mathsf T}M$ diagonaal is, dus $= I$ , dus $\det = \pm1$ .) Meetkundige lezing: het volume van een parallellepipedum is hoogstens het product van zijn ribbelengten.

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.9.

Elke kolom tot eenheidsnorm schalen deelt $\abs{\det}$ door $\prod\norm{c_i}$ : het volstaat dus $\abs{\det M} \leq 1$ te bewijzen als alle kolommen eenheidsvectoren zijn, met gelijkheid dan en slechts dan als $M \in O_n$ . De functie $\det$ is continu op de compacte $(S^{n-1})^n$ : ze bereikt een maximum $m \geq \det I = 1 > 0$ in een $M$ . Houd alle kolommen op de $i$ -de na vast: dan is $\det$ lineair in $c_i$ met als gradiënt de $i$ -de kolom van $\operatorname{com}(M)$ ; Lagrange op de $i$ -de sfeer geeft $\operatorname{com}(M)_{\cdot i} = \lambda_i c_i$ . De identiteit $M^{\mathsf T}\operatorname{com}(M) = \det(M)\,I$ luidt $\langle c_j, \operatorname{com}(M)_{\cdot i}\rangle = \det(M)\, \delta_{ij}$ , dat wil zeggen $\lambda_i\langle c_j, c_i\rangle = \det(M)\delta_{ij}$ ; met $j = i$ : $\lambda_i = \det M = m \neq 0$ , en dan geeft $j \neq i$ dat $\langle c_i, c_j\rangle = 0$ : de kolommen zijn orthonormaal, dus $M \in O_n$ en $m = \abs{\det M} = 1$ . Bijgevolg is altijd $\abs{\det} \leq \prod\norm{c_i}$ , met gelijkheid precies voor orthogonale kolommen (schaal terug): het volume van een parallellepipedum is bij gegeven ribbelengten het grootst wanneer de ribben loodrecht staan.

Oefening 20.10 ★★

Nabij welke van haar punten is de cirkel $S^1$ een grafiek $y = \psi(x)$ ? En een grafiek $x = \chi(y)$ ? Ga de karakterisering met grafieken (Stelling 20.3(3)) expliciet na in $(1, 0)$ , en leg in één zin uit waarom een permutatie van de coördinaten altijd volstaat maar geen enkele vaste permutatie altijd werkt.

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.10.

$y = \pm\sqrt{1 - x^2}$ voldoet nabij elk punt met $y \neq 0$ ; $x = \pm\sqrt{1 - y^2}$ nabij elk punt met $x \neq 0$ ; in $(1, 0)$ : de grafiek $x = \sqrt{1 - y^2}$ boven $y \in \intoo{-1}1$ , wat Stelling 20.3(3) is met de coördinaten verwisseld. Een of andere permutatie werkt altijd omdat de raaklijn, eendimensionaal als ze is, niet tegelijk verticaal en horizontaal kan zijn — maar ze kan wel elk van beide zijn, zodat geen vaste keuze van “afhankelijke” coördinaat in elk punt dienst doet.

Oefening 20.11 ★★

(De orthogonale groep als deelvariëteit, kwantitatief) (a) Toon aan dat $O_n = \{M : M^{\mathsf T}M = I\}$ compact is: begrensd (elke kolom is een eenheidsvector, dus $\norm M \leq \sqrt n$ voor de euclidische matrixnorm) en gesloten. (b) Toon aan dat haar raakruimte in $I$ de ruimte van de antisymmetrische matrices is, van dimensie $\frac{n(n-1)}2$ , en in een algemene $A \in O_n$ : $T_AO_n = \{AK : K^{\mathsf T} = -K\}$ . (c) Leid af dat $t \mapsto A\exp(tK)$ voor elke antisymmetrische $K$ een kromme in $O_n$ door $A$ is met snelheid $AK$ (ga $\exp(tK) \in O_n$ na met $\exp(X)^{\mathsf T} = \exp(X^{\mathsf T})$ en $\exp(-X)\exp(X) = I$ ): elke raakvector wordt door een expliciete kromme verwezenlijkt, zonder dat er een impliciete-functiestelling nodig is.

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.11.

(a) De definiërende afbeelding $F(M) = M^{\mathsf T}M - I$ is continu: $O_n = F^{-1}(0)$ is gesloten; de kolommen van een orthogonale matrix zijn eenheidsvectoren, dus is de euclidische (frobenius)norm precies $\sqrt n$ : begrensd. Compact volgens Heine–Borel in $M_n(\R) \cong \R^{n^2}$ .

(b) $O_n$ is de niveauverzameling $F = 0$ uit het hoofdstuk: $DF(A)H = A^{\mathsf T}H + H^{\mathsf T}A$ , in elke $A \in O_n$ surjectief op de symmetrische matrices (neem bij symmetrische $S$ $H = \frac12AS$ ), dus is $O_n$ een deelvariëteit van dimensie $n^2 - \frac{n(n+1)}2 = \frac{n(n-1)}2$ met

T_AO_n = \ker DF(A) = \{H : A^{\mathsf T}H \text{ antisymmetrisch}\} = \{AK : K^{\mathsf T} = -K\} ;

in $A = I$ zijn dat de antisymmetrische matrices.

(c) $\exp(tK)^{\mathsf T}\exp(tK) = \exp(tK^{\mathsf T}) \exp(tK) = \exp(-tK)\exp(tK) = I$ (de twee matrices $\pm tK$ commuteren, dus is het product van de exponentiëlen de exponentiële van de som): dus $\exp(tK) \in O_n$ , en $\gamma(t) = A\exp(tK)$ is een kromme in $O_n$ met $\gamma(0) = A$ en $\gamma'(0) = AK$ . Terwijl $K$ de antisymmetrische matrices doorloopt, veegt $AK$ $T_AO_n$ uit: de exponentiële verwezenlijkt de hele raakruimte met expliciete krommen — de sluiproute van de liegroepen die Probleem 20.1 voor $SO(3)$ uitbuit.

Oefening 20.12 ★★

(Kritieke punten van de afstand) Zij $M \subseteq \R^n$ een deelvariëteit en $p \notin M$ . Toon aan dat als $x_0 \in M$ de afstand tot $p$ minimaliseert (zo’n punt bestaat als $M$ gesloten en niet leeg is — waarom?), dan

p - x_0 \;\perp\; T_{x_0}M

(differentieer $t \mapsto \norm{\gamma(t) - p}^2$ langs krommen in $M$ ). Leid af: het dichtstbijzijnde punt op een sfeer ligt op de straal door het middelpunt; en gebruik de voorwaarde om de afstand van $p = (2, 0)$ tot de parabool $y = x^2$ te berekenen (herleid tot een derdegraadsvergelijking en los die numeriek op tot drie cijfers).

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.12.

Bestaan: snijd $M$ met een grote gesloten bal rond $p$ om een niet-lege compacte verzameling te krijgen; de continue afstand bereikt daar haar minimum, en punten buiten de bal liggen verder. Voorwaarde van eerste orde: voor een kromme $\gamma$ in $M$ met $\gamma(0) = x_0$ is de functie $h(t) = \norm{\gamma(t) - p}^2$ differentieerbaar met een minimum in $0$ :

0 = h'(0) = 2\,\langle\gamma'(0),\ x_0 - p\rangle,

en $\gamma'(0)$ veegt $T_{x_0}M$ uit: dus $p - x_0 \perp T_{x_0}M$ . Sfeer $S(c, r)$ : de raakruimte in $x_0$ is $(x_0 - c)^\perp$ , dus $p - x_0 \parallel x_0 - c$ : $x_0$ ligt op de rechte door $c$ en $p$ , op afstand $r$ van $c$ — het punt op de straal, zoals de meetkunde eist. Parabool: in $x_0 = (x, x^2)$ wordt de raaklijn opgespannen door $(1, 2x)$ ; de orthogonaliteit op $p - x_0 = (2 - x, -x^2)$ luidt

(2 - x) - 2x^3 = 0, \qquad\text{dat wil zeggen}\qquad 2x^3 + x - 2 = 0,

met één reële wortel ( $x \mapsto 2x^3 + x$ is strikt stijgend) $x \approx 0.835$ ; dan is $x_0 \approx (0.835, 0.698)$ en $d(p, M) = \sqrt{(2 - 0.835)^2 + 0.698^2} \approx 1.358$ .

20.5 Probleem: $SO(3)$ en de quaternionen

Probleem 20.1

Weekendopgave — rotaties, de groep $S^3$ en de dubbele overdekking

De quaternionen $\mathbb H = \{t + x\mathrm i + y\mathrm j + z\mathrm k\}$ — de algebra waarvan de eenhedengroep de $Q_8$ van Probleem 1.1 bevat — parametriseren de driedimensionale rotaties dubbel: de afbeelding “vervoegen met een eenheidsquaternion” is een surjectief morfisme $S^3 \to SO(3)$ met kern $\{\pm1\}$ . We bouwen alles op. Ter herinnering en als definitie: de vermenigvuldiging is $\R$ -bilineair met $\mathrm i^2 = \mathrm j^2 = \mathrm k^2 = \mathrm{ijk} = -1$ ; de toegevoegde van $q = t + x\mathrm i + y\mathrm j + z\mathrm k$ is $\bar q = t - x\mathrm i - y\mathrm j - z\mathrm k$ ; en $N(q) = q\bar q = t^2 + x^2 + y^2 + z^2$ .

Deel I — De algebra $\mathbb H$ en de groep $S^3$ .

Ga na dat $\mathbb H$ een associatieve $\R$ -algebra is met centrum $\R$ , dat $\overline{pq} = \bar q\,\bar p$ , en dat $N(pq) = N(p)N(q)$ (één nette weg: stel $q$ voor als de complexe $2\times2$ -matrix $\bigl(\begin{smallmatrix}\alpha & \beta\\ -\bar\beta & \bar\alpha\end{smallmatrix}\bigr)$ met $q = \alpha + \beta\mathrm j$ , en gebruik $\det$ ).
Leid af dat elke $q \neq 0$ inverteerbaar is ( $q^{-1} = \bar q/N(q)$ ): $\mathbb H$ is een (niet-commutatief) lichaam, en $S^3 = \{N(q) = 1\}$ is een groep — en een compacte $3$ -deelvariëteit van $\R^4$ (Voorbeeld 20.4).

Deel II — Het rotatiemorfisme. Identificeer $\R^3$ met de pure quaternionen $P = \{x\mathrm i + y\mathrm j + z\mathrm k\}$ , en definieer voor $q \in S^3$ $\rho_q(v) = q\,v\,\bar q$ .

Toon aan dat $\rho_q$ $P$ in $P$ afbeeldt (de pure quaternionen zijn die met $\bar v = -v$ ), dat ze $\R$ -lineair is en de norm behoudt, en dat $\rho \colon q \mapsto \rho_q$ een groepsmorfisme $S^3 \to O(3)$ is.
Bereken de kern: $\rho_q = \mathrm{id}$ dan en slechts dan als $q$ met $\mathrm i, \mathrm j, \mathrm k$ commuteert, dat wil zeggen $q \in \R\cap S^3 = \{\pm1\}$ .
Schrijf $q = \cos\frac\theta2 + \sin\frac\theta2\,u$ met $u \in P$ en $N(u) = 1$ (waarom kan dat voor $q \in S^3$ altijd?). Toon aan dat $\rho_q$ $u$ vastlaat en op het vlak $u^\perp\cap P$ werkt als de rotatie over hoek $\theta$ (bereken $\rho_q(w)$ voor $w \perp u$ met $uw = -wu$ voor orthogonale pure eenheden — bewijs die identiteit met de vermenigvuldigingstabel, of uit $uw + wu = -2\langle u, w\rangle$ ).
Besluit: $\operatorname{im}\rho \subseteq SO(3)$ (elke $\rho_q$ is een rotatie met de berekende as en hoek — determinant $+1$ wegens de continuïteit van $q \mapsto \det\rho_q$ op het samenhangende $S^3$ , of rechtstreeks), en $\rho$ is surjectief op $SO(3)$ : elke rotatie van $\R^3$ heeft een as (bewijs: een reële orthogonale $3\times3$ -matrix met $\det = 1$ heeft eigenwaarde $1$ — beschouw de karakteristieke veelterm) en is dus een $\rho_q$ . Samengevat:

$SO(3) \;\cong\; S^3/\{\pm 1\} .$

Deel III — $SO(3)$ als deelvariëteit; Rodrigues.

Toon aan dat $SO(3)$ een compacte $3$ -dimensionale deelvariëteit van $M_3(\R)$ is met $T_ISO(3) =$ de antisymmetrische matrices (Oefening 20.5; de determinantvoorwaarde selecteert een vereniging van componenten).
Bewijs voor de antisymmetrische matrix $A_u$ die bij $u \in \R^3$ hoort ( $A_uv = u\wedge v$ , het uitwendig product) de formule van Rodrigues:

$\eu^{\theta A_u} = I + \sin\theta\,A_u + (1 - \cos\theta)\,A_u^2 \qquad (\norm u = 1)$

(uit $A_u^3 = -A_u$ : splits de exponentiële reeks langs de machten van $A_u$ ), en identificeer haar als de rotatie met as $u$ over hoek $\theta$ . Leid af dat $\exp$ de antisymmetrische matrices op $SO(3)$ afbeeldt.
Verbind de twee parametriseringen: toon aan dat $t \mapsto \rho_{q(t)}$ met $q(t) = \cos\frac t2 + \sin\frac t2\,u$ een eenparametergroep van rotaties is waarvan de afgeleide in $t = 0$ gelijk is aan $A_u$ — de quaternionische en de matrixexponentiële vertellen hetzelfde verhaal, respectievelijk op halve en op volle snelheid.

Deel IV — De dubbele overdekking, gevoeld.

Toon aan dat de weg $q(t) = \cos\frac t2 + \sin\frac t2\,\mathrm k$ , $t \in \intcc0{2\pi}$ , een lus in $SO(3)$ is (haar beeld $\rho_{q(t)}$ keert terug naar de identiteit) waarvan de quaternionische lift geen lus is: $q(2\pi) = -q(0)$ . Doorgaan tot $t = 4\pi$ sluit de lift. Leg in een korte alinea uit wat dat zegt: een rotatie over $2\pi$ is niet continu ongedaan te maken en een over $4\pi$ wel (de riemtruc), omdat de lussen van $SO(3)$ in haar dubbele overdekking $S^3$ worden opgespoord.
Leid ook het praktische dividend af: het samenstellen van rotaties = het vermenigvuldigen van quaternionen ( $4$ vermenigvuldigingen aan gegevens in plaats van $9$ , geen afdrijven van de orthogonaliteit) — ga dat na op de samenstelling van twee kwartslagen om $\mathrm i$ en $\mathrm j$ : bereken de as en de hoek van het product.

Deel V — De expliciete matrix: Euler–Rodrigues. Schrijf $q = a + b\mathrm i + c\mathrm j + d\mathrm k \in S^3$ , zodat $a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 1$ .

Bereken $\rho_q(\mathrm i)$ volledig met de vermenigvuldigingstabel; verkrijg vervolgens $\rho_q(\mathrm j)$ en $\rho_q(\mathrm k)$ met de cyclische substitutie $\mathrm i \to \mathrm j \to \mathrm k \to \mathrm i$ , $(b, c, d) \to (c, d, b)$ (verantwoord dat: het cyclisch verwisselen van $\mathrm i, \mathrm j, \mathrm k$ breidt uit tot een automorfisme van $\mathbb H$ , omdat de definiërende betrekkingen cyclisch symmetrisch zijn). Besluit dat de matrix van $\rho_q$ in de basis $(\mathrm i, \mathrm j, \mathrm k)$ de matrix van Euler–Rodrigues is:

$R_q = \begin{pmatrix} a^2 + b^2 - c^2 - d^2 & 2(bc - ad) & 2(bd + ac)\\ 2(bc + ad) & a^2 - b^2 + c^2 - d^2 & 2(cd - ab)\\ 2(bd - ac) & 2(cd + ab) & a^2 - b^2 - c^2 + d^2 \end{pmatrix}.$
(Een rotatie achterstevoren lezen) Toon aan dat

$\operatorname{tr}R_q = 4a^2 - 1 = 1 + 2\cos\theta, \qquad \tfrac12\bigl(R_q - R_q^{\mathsf T}\bigr) = \sin\theta\,A_u,$

in de notatie van de vragen 5 en 8. Leid een algoritme af dat $\pm q$ uit een rotatiematrix $R$ terugwint: de hoek uit het spoor; de as uit het antisymmetrische deel als $0 < \theta < \pi$ ; en bewijs en gebruik voor $\theta = \pi$ de identiteit $R + I = 2\,uu^{\mathsf T}$ .
Evalueer $R_q$ voor het product $q = \frac12(1 + \mathrm i + \mathrm j + \mathrm k)$ uit vraag 11: er verschijnt een permutatiematrix. Identificeer de rotatie en verzoen dat met de as en de hoek uit vraag 11.

Deel VI — Binnen $S^3$ : $SU(2)$ , conjugatieklassen, exponentiëlen.

Toon aan dat de matrixvoorstelling van vraag 1 (noem haar $\Phi$ ) beperkt tot een groepsisomorfisme van $S^3$ op de speciale unitaire groep

$SU(2) = \bigl\{U \in M_2(\C) : U^*U = I,\ \det U = 1\bigr\}$

(voor de surjectiviteit: schrijf de vergelijkingen $U^{-1} = U^*$ en $\det U = 1$ uit voor een algemene complexe $2\times2$ -matrix).
Toon aan dat het reële deel een conjugatie-invariant is op $S^3$ — $\operatorname{Re}(pq\bar p) = \operatorname{Re}q$ voor alle $p \in S^3$ — en omgekeerd dat twee eenheidsquaternionen met hetzelfde reële deel in $S^3$ geconjugeerd zijn (herleid tot het verplaatsen van de ene pure eenheidsas naar de andere, wat Deel II levert). Beschrijf de conjugatieklassen van $S^3$ meetkundig; vertaal naar $SU(2)$ (niveauverzamelingen van het spoor); en projecteer met $\rho$ : twee rotaties zijn geconjugeerd in $SO(3)$ dan en slechts dan als ze dezelfde hoek $\theta \in \intcc0\pi$ hebben.
Definieer $\exp$ op $\mathbb H$ met de exponentiële reeks; ga de absolute convergentie na met $\abs{pq} = \abs p\,\abs q$ voor $\abs q = \sqrt{N(q)}$ . Toon voor een pure eenheid $u$ en $\theta \in \R$ aan dat

$\exp(\theta u) = \cos\theta + \sin\theta\,u ,$

leid af dat $\exp$ het hypervlak $P$ op $S^3$ afbeeldt, en ga na dat $\rho_{\exp(su)} = \eu^{2sA_u}$ : opnieuw het halvehoekverschijnsel van vraag 9.
Bewijs voor pure quaternionen $v, w$ de productregel $vw = -\langle v, w\rangle + v\wedge w$ , en daaruit de commutatoridentiteit $vw - wv = 2\,v\wedge w$ ; bewijs ook $[A_v, A_w] = A_{v\wedge w}$ voor de matrices van vraag 8. Besluit dat de afgeleide van $\rho$ in $1$ langs de krommen $t \mapsto \exp(tv)$ het lineaire isomorfisme $v \mapsto 2A_v$ is van $P$ op de antisymmetrische matrices, en dat ze de commutator van de quaternionen omzet in de commutator van de matrices.

Deel VII — Globale structuur.

(Geen continue sectie) Stel dat $s \colon SO(3) \to S^3$ continu is met $\rho \circ s = \operatorname{id}$ . Stel voor de lus $R(t) = \rho_{q(t)}$ van vraag 10 $\varepsilon(t) = s(R(t))\,q(t)^{-1}$ voor $t \in \intcc0{2\pi}$ . Toon aan dat $\varepsilon$ continu is met waarden in $\{\pm1\}$ , en leid een tegenspraak af: er is geen continue globale keuze van een eenheidsquaternion dat elke rotatie voorstelt.
(Het balmodel) Zij $\bar B \subseteq \R^3$ de gesloten bal met straal $\pi$ en $E(v) = \eu^{A_v}$ , met $E(0) = I$ . Toon aan dat $E$ $\bar B$ op $SO(3)$ afbeeldt, dat ze injectief is op de open bal, en dat ze op de randsfeer precies de antipoden identificeert: $E(\pi u) = E(-\pi u) = 2uu^{\mathsf T} - I$ , zonder andere samenvallingen. $SO(3)$ is dus de bal met de antipodale randpunten aan elkaar gelijmd — de projectieve ruimte $\mathbb{RP}^3$ — en een middellijn wordt de niet samentrekbare lus van vraag 10.
Toon aan dat $\rho_p\rho_q\rho_p^{-1} = \rho_{pq\bar p}$ ; dat de involuties van $SO(3)$ (de $R \neq I$ met $R^2 = I$ ) precies de halve slagen $\rho_w$ zijn met $w$ een puur eenheidsquaternion; en dat het centrum van $SO(3)$ triviaal is.
Toon aan dat elke rotatie een product van twee halve slagen is: kies voor $q = \cos\frac\theta2 + \sin\frac\theta2\,u$ een pure eenheid $w \perp u$ , ga na dat $w' = qw$ opnieuw een puur eenheidsquaternion is, en controleer $\rho_q = \rho_{w'}\rho_w$ . Waar liggen de twee assen, en welke hoek maken ze?
Besluit met de topologische samenvatting: $SO(3)$ is compact en wegsamenhangend (geef twee bewijzen: het continue beeld van $S^3$ onder $\rho$ ; het beeld van $\exp$ ), terwijl $O(3)$ precies twee samenhangscomponenten heeft, elk homeomorf met $SO(3)$ .
(Eén samenstelling, op drie manieren) Zij $R_1$ de rotatie over $\frac\pi2$ om de $z$ -as en $R_2$ de rotatie over $\frac\pi2$ om de $x$ -as. Bereken de as en de hoek van $R_2R_1$ : (i) door de twee $3\times3$ -matrices te vermenigvuldigen en het spoor en het antisymmetrische deel te gebruiken (Deel V); (ii) door de bijbehorende eenheidsquaternionen $q_2q_1$ te vermenigvuldigen. Controleer dat de twee antwoorden overeenstemmen: hoek $\frac{2\pi}3$ , as $\frac1{\sqrt3}(1, -1, 1)$ .
(De cayleytransformatie) Toon voor antisymmetrische $K$ aan dat $I + K$ inverteerbaar is en dat

$C(K) = (I - K)(I + K)^{-1} \in SO(n),$

waarbij $-1$ nooit een eigenwaarde van $C(K)$ is; toon aan dat $K \mapsto C(K)$ een bijectie is van de antisymmetrische matrices op $\{R \in SO(n) : -1 \notin \operatorname{Sp}R\}$ , met inverse $R \mapsto (I - R)(I + R)^{-1}$ . (Een rationale kaart van $SO(n)$ , metgezel van de transcendente $\exp$ uit Oefening 20.11.)

Oplossing

Oplossing van Probleem 20.1.

1. Beeld $q = t + x\mathrm i + y\mathrm j + z\mathrm k \mapsto \bigl(\begin{smallmatrix}\alpha & \beta\\ -\bar\beta & \bar\alpha\end{smallmatrix}\bigr)$ af met $\alpha = t + \iu x$ en $\beta = y + \iu z$ : je gaat na dat $1, \mathrm i, \mathrm j, \mathrm k$ naar $I$ , $\bigl(\begin{smallmatrix} \iu & 0\\ 0 & -\iu\end{smallmatrix}\bigr)$ , $\bigl(\begin{smallmatrix}0 & 1\\ -1 & 0\end{smallmatrix}\bigr)$ en $\bigl(\begin{smallmatrix}0 & \iu\\ \iu & 0\end{smallmatrix}\bigr)$ gaan, waarvan de producten de quaternionentabel weergeven: de afbeelding is een injectief algebramorfisme, dus erft $\mathbb H$ de associativiteit; $N(q) = \abs\alpha^2 + \abs\beta^2 = \det$ is multiplicatief, en de toevoeging stemt overeen met de getransponeerde adjunct, wat $\overline{pq} = \bar q\bar p$ geeft. Centrum: commuteren met $\mathrm i$ dwingt $y = z = 0$ af, met $\mathrm j$ dwingt $x = 0$ af: dus $\R$ .

2. $q\bar q = N(q)$ : voor $q \neq 0$ is $q^{-1} = \bar q/N(q)$ : een delingsalgebra. Op $S^3$ : $N(pq) = 1$ en $N(q^{-1}) = 1$ : een groep; en $S^3 \subseteq \R^4$ is de eenheidssfeer: een compacte $3$ -deelvariëteit.

3. $v$ is puur dan en slechts dan als $\bar v = -v$ ; dan is $\overline{qv\bar q} = q\bar v\bar q = -qv\bar q$ : dus behoudt $\rho_q$ $P$ . De lineariteit is duidelijk; en $N(qv\bar q) = N(q)N(v)N(q) = N(v)$ : een isometrie van $(P, N) \cong (\R^3, \norm\cdot^2)$ : dus $\rho_q \in O(3)$ . En $\rho_{pq}(v) = pqv\overline{pq} = p(qv\bar q)\bar p = \rho_p(\rho_q(v))$ : een morfisme.

4. $\rho_q = \mathrm{id}$ dan en slechts dan als $qv = vq$ voor alle pure $v$ , dan en slechts dan als $q$ met $\mathrm i, \mathrm j, \mathrm k$ commuteert, dat wil zeggen als $q$ centraal is (vraag 1): $q \in \R\cap S^3 = \{\pm1\}$ .

5. Schrijf $q = t + p$ ( $t \in \R$ , $p$ puur): $1 = N(q) = t^2 + N(p)$ , dus $t = \cos\frac\theta2$ en $p = \sin\frac\theta2\,u$ met $N(u) = 1$ voor een $\theta$ (is $p = 0$ , dan werkt $q = \pm1$ triviaal). Omdat $u^2 = -N(u) = -1$ , commuteren $q$ en $u$ , en is $\rho_q(u) = qu\bar q = uq\bar q = u$ : de as. Voor pure eenheden $w \perp u$ geeft de productregel $vw = -\langle v, w\rangle + v\wedge w$ (ontwikkel in coördinaten met de tabel) dat $uw = u\wedge w = -wu$ . Dan is

\rho_q(w) = \bigl(\cos\tfrac\theta2 + \sin\tfrac\theta2u\bigr)\,w\,\bigl(\cos\tfrac\theta2 - \sin\tfrac\theta2u\bigr) = \cos\theta\,w + \sin\theta\,(u\wedge w),

met $uwu = -u^2w = w$ en de formules voor de dubbele hoek: de rotatie over hoek $\theta$ in het georiënteerde vlak $(w, u\wedge w)$ .

6. Elke $\rho_q$ is een rotatie om $u$ over $\theta$ : in de orthonormale basis $(u, w, u\wedge w)$ heeft haar matrix determinant $+1$ : dus $\operatorname{im}\rho \subseteq SO(3)$ . Surjectiviteit: een matrix $R \in SO(3)$ heeft $1$ als eigenwaarde, want

\det(R - I) = \det R\,\det(I - R^{\mathsf T}) = \det(I - R) = (-1)^3\det(R - I),

dus $\det(R - I) = 0$ . Neem een eigenvector $u$ met norm $1$ ; $R$ behoudt $u^\perp$ en beperkt zich daar tot een rotatie over een hoek $\theta$ (vlak orthogonaal, determinant $1$ ): dus $R = \rho_q$ met $q = \cos\frac\theta2 + \sin\frac\theta2\,u$ . Met vraag 4 en de eerste isomorfiestelling (Stelling 1.3): $SO(3) \cong S^3/\{\pm1\}$ .

7. $O_3$ is een compacte $3$ -dimensionale deelvariëteit (Oefening 20.5); $\det$ is erop continu met waarden in $\{\pm1\}$ , dus is $SO(3) = O_3\cap\{\det = 1\}$ open en gesloten in $O_3$ : een vereniging van samenhangscomponenten, dus zelf een compacte $3$ -deelvariëteit, met dezelfde raakruimte in $I$ : de antisymmetrische matrices.

8. $A_u^2v = u\wedge(u\wedge v) = \langle u, v\rangle u - v$ (met $u$ van norm $1$ ), dus $A_u^3v = u\wedge(\langle u,v\rangle u - v) = -u\wedge v$ : $A_u^3 = -A_u$ . De exponentiële reeks splitsen naar de machten modulo de betrekking $A^3 = -A$ :

\eu^{\theta A_u} = I + \Bigl(\theta - \frac{\theta^3}{3!} + \cdots\Bigr)A_u + \Bigl(\frac{\theta^2}{2!} - \frac{\theta^4}{4!} + \cdots\Bigr)A_u^2 = I + \sin\theta\,A_u + (1 - \cos\theta)\,A_u^2 .

Op $u$ : $A_uu = 0$ : vastgelaten. Op $w \perp u$ : $\eu^{\theta A_u}w = w + \sin\theta\,u\wedge w + (1 - \cos\theta)(-w) = \cos\theta\,w + \sin\theta\,u\wedge w$ : de rotatie met as $u$ over hoek $\theta$ — Rodrigues. Elke rotatie heeft die vorm (vraag 6): $\exp$ is surjectief van de antisymmetrische matrices op $SO(3)$ .

9. Met $q(t) = \cos\frac t2 + \sin\frac t2\,u$ toont vraag 5 dat $\rho_{q(t)}$ de rotatie met as $u$ over hoek $t$ is, dat wil zeggen $\rho_{q(t)} = \eu^{tA_u}$ , waarvan de afgeleide in $t = 0$ gelijk is aan $A_u$ . Het quaternion loopt op de halve hoek — het analytische spoor van de dubbele overdekking.

10. $\rho_{q(t)}$ is de rotatie om $\mathrm k$ over hoek $t$ : in $t = 2\pi$ keert ze terug naar de identiteit — een lus in $SO(3)$ . Haar lift voldoet aan $q(2\pi) = \cos\pi = -1 = -q(0)$ : de gelifte weg is niet gesloten; pas in $t = 4\pi$ keert $q$ terug naar $1$ . Interpretatie: de lus van volledige rotaties is in $SO(3)$ niet samentrekbaar — haar lift eindigt op het andere blad van de overdekking — terwijl de dubbele lus dat wel is; een lichaam dat met riemen aan zijn omgeving vastzit (de riemtruc) keert na $4\pi$ terug naar een onverdraaide toestand, maar niet na $2\pi$ . Rotatiegroepen onthouden de pariteit van hele omwentelingen; en $S^3$ , dat enkelvoudig samenhangend is, is waar dat geheugen woont.

11. Kwartslagen: $q_{\mathrm i} = \cos\frac\pi4 + \sin\frac\pi4\,\mathrm i$ en $q_{\mathrm j} = \cos\frac\pi4 + \sin\frac\pi4\,\mathrm j$ . Product (met de $\mathrm j$ -slag eerst):

q_{\mathrm i}q_{\mathrm j} = \tfrac12(1 + \mathrm i)(1 + \mathrm j) = \tfrac12\bigl(1 + \mathrm i + \mathrm j + \mathrm k\bigr),

met norm $1$ en $\cos\frac\theta2 = \frac12$ : dus $\theta = \frac{2\pi}3$ , met as $u = \frac{\mathrm i + \mathrm j + \mathrm k}{\sqrt3}$ (het genormeerde pure deel). Twee opeenvolgende kwartslagen om orthogonale assen vormen een rotatie over $120^\circ$ om de hoofddiagonaal van de kubus — vier reële vermenigvuldigingen aan boekhouding, met de orthogonaliteit exact behouden: daarom stellen vluchtsoftware en grafische motoren rotaties met quaternionen samen.

12. Uit de tabel is $\mathrm{ji} = -\mathrm k$ en $\mathrm{ki} = \mathrm j$ , dus

q\,\mathrm i = a\mathrm i - b + c(\mathrm{ji}) + d(\mathrm{ki}) = -b + a\mathrm i + d\mathrm j - c\mathrm k .

Vermenigvuldigen met $\bar q = a - b\mathrm i - c\mathrm j - d\mathrm k$ met de regel voor scalair en vector $(t_1 + p_1)(t_2 + p_2) = t_1t_2 - \langle p_1, p_2\rangle + t_1p_2 + t_2p_1 + p_1\wedge p_2$ , met $p_1 = (a, d, -c)$ en $p_2 = (-b, -c, -d)$ : het scalaire deel is $-ab - (-ab) = 0$ (puur, zoals het hoort), en het vectordeel is

b(b, c, d) + a(a, d, -c) + (-c^2 - d^2,\ bc + ad,\ bd - ac) = \bigl(a^2 + b^2 - c^2 - d^2,\ 2(bc + ad),\ 2(bd - ac)\bigr):

de eerste kolom van $R_q$ . De cyclische afbeelding $\sigma(\mathrm i) = \mathrm j$ , $\sigma(\mathrm j) = \mathrm k$ , $\sigma(\mathrm k) = \mathrm i$ behoudt de betrekkingen $\mathrm i^2 = \mathrm j^2 = \mathrm k^2 = \mathrm{ijk} = -1$ (het woord $\mathrm{ijk}$ is cyclisch invariant op de betrekking $\mathrm{ijk} = \mathrm{jki}$ na, die in elke ring geldt: vervoeg $\mathrm{ijk} = -1$ met de inverteerbare $\mathrm i$ ), dus breidt $\sigma$ uit tot een $\R$ -algebra-automorfisme, en is $\sigma(\rho_q(v)) = \rho_{\sigma(q)}(\sigma(v))$ . Uitgewerkt is het beeld van $\mathrm j$ de formule voor de eerste kolom na de substitutie $(b, c, d) \to (c, d, b)$ met de basis herbenoemd $\mathrm i \to \mathrm j \to \mathrm k \to \mathrm i$ , wat precies de weergegeven tweede kolom is; nog een slag geeft de derde.

13. De diagonaal optellen geeft $\operatorname{tr}R_q = 3a^2 - (b^2 + c^2 + d^2) = 4a^2 - 1$ (eenheidsnorm), en met $a = \cos\frac\theta2$ : $4\cos^2\frac\theta2 - 1 = 1 + 2\cos\theta$ . Antisymmetrisch deel: de drie onafhankelijke elementen van $R_q - R_q^{\mathsf T}$ zijn $4ab, 4ac, 4ad$ (op de posities $(3,2), (1,3), (2,1)$ ), dus $\frac12(R_q - R_q^{\mathsf T}) = A_m$ met $m = 2a\,(b, c, d) = 2\cos\frac\theta2\sin\frac\theta2\,u = \sin\theta\,u$ . Algoritme: $\theta = \arccos \frac{\operatorname{tr}R - 1}{2} \in \intcc0\pi$ ; is $0 < \theta < \pi$ , lees dan $u$ af van $\frac{R - R^{\mathsf T}}{2\sin\theta}$ en stel $q = \pm(\cos\frac\theta2 + \sin\frac\theta2 u)$ ; is $\theta = 0$ , dan $q = \pm1$ . Voor $\theta = \pi$ : $a = 0$ , en Rodrigues (vraag 8) geeft $R = I + 2A_u^2 = I + 2(uu^{\mathsf T} - I) = 2uu^{\mathsf T} - I$ , dat wil zeggen $R + I = 2uu^{\mathsf T}$ ; elke kolom $\neq 0$ van $R + I$ is, genormeerd, $\pm u$ , en $q = \pm u$ .

14. Met $a = b = c = d = \frac12$ verdwijnen alle diagonaalelementen, en is $2(bc - ad) = 0$ , $2(bd + ac) = 1$ , $2(bc + ad) = 1$ , $2(cd - ab) = 0$ , $2(bd - ac) = 0$ , $2(cd + ab) = 1$ :

R_q = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix},

de cyclische permutatie $e_1 \to e_2 \to e_3 \to e_1$ . Haar spoor is $0 = 1 + 2\cos\theta$ , dus $\theta = \frac{2\pi}3$ , en ze laat $(1,1,1)$ vast: de rotatie over $120^\circ$ om de hoofddiagonaal — precies het antwoord van vraag 11, nu zichtbaar als de matrix die de coördinaatassen cyclisch verwisselt.

15. Op de basis ga je $\Phi(\bar q) = \Phi(q)^*$ na (de matrix van $\bar q$ heeft $\alpha' = \bar\alpha$ en $\beta' = -\beta$ , wat de toegevoegd getransponeerde is van $\bigl(\begin{smallmatrix}\alpha & \beta\\ -\bar\beta & \bar\alpha\end{smallmatrix}\bigr)$ ). Bijgevolg is $\Phi(q)^*\Phi(q) = \Phi(\bar qq) = N(q)I$ en $\det\Phi(q) = \abs\alpha^2 + \abs\beta^2 = N(q)$ : voor $q \in S^3$ is dus $\Phi(q) \in SU(2)$ , en $\Phi$ is een injectief morfisme (vraag 1). Surjectiviteit: zij $U = \bigl(\begin{smallmatrix}\alpha & \beta\\ \gamma & \delta\end{smallmatrix}\bigr)$ met $\det U = 1$ ; dan is $U^{-1} = \bigl(\begin{smallmatrix}\delta & -\beta\\ -\gamma & \alpha\end{smallmatrix}\bigr)$ , en $U^{-1} = U^* = \bigl(\begin{smallmatrix}\bar\alpha & \bar\gamma\\ \bar\beta & \bar\delta\end{smallmatrix}\bigr)$ dwingt $\delta = \bar\alpha$ en $\gamma = -\bar\beta$ af, en dan is $1 = \det U = \abs\alpha^2 + \abs\beta^2$ : dus $U = \Phi(q)$ voor het eenheidsquaternion $q$ met coördinaten $\alpha = a + \iu b$ en $\beta = c + \iu d$ . Dus $S^3 \cong SU(2)$ .

16. Reële scalairen zijn centraal en $N(p) = 1$ geeft $\overline{pq\bar p} = p\bar q\bar p$ , dus $pq\bar p + \overline{pq\bar p} = p(q + \bar q)\bar p = q + \bar q$ : het reële deel is invariant. Omgekeerd, zij $\operatorname{Re}q = \operatorname{Re}q' = a$ ; dan hebben de pure delen dezelfde norm $\sqrt{1 - a^2} = s$ . Is $s = 0$ , dan is $q = q' = \pm1$ . Is $s > 0$ , schrijf dan $q = a + su$ en $q' = a + su'$ met $u, u'$ pure eenheden; vraag 6 levert een rotatie die $u'$ naar $u$ brengt, dat wil zeggen een $p \in S^3$ met $\rho_p(u') = u$ , en dan is $pq'\bar p = a + s\rho_p(u') = q$ . De klassen van $S^3$ zijn dus $\{1\}$ , $\{-1\}$ , en voor elke $a \in \intoo{-1}1$ de $2$ -sfeer $\{a + su : u \text{ pure eenheid}\}$ met straal $s$ . Onder $\Phi$ is $\operatorname{tr}\Phi(q) = \alpha + \bar\alpha = 2\operatorname{Re}q$ : de klassen van $SU(2)$ zijn de niveauverzamelingen van het spoor. Projecteren: is $q' = pq\bar p$ , dan is $\rho_{q'} = \rho_p\rho_q\rho_p^{-1}$ ; omgekeerd dwingt $\rho_{q'} = \rho_p\rho_q\rho_p^{-1} = \rho_{pq\bar p}$ dat $q' = \pm pq\bar p$ (de kern), dus $\operatorname{Re}q' = \pm\operatorname{Re}q$ , dat wil zeggen $\cos\frac{\theta'}2 = \abs{\operatorname{Re}q'} = \abs{\operatorname{Re}q} = \cos\frac\theta2$ voor de hoeken in $\intcc0\pi$ : geconjugeerde rotaties hebben gelijke hoeken. Omgekeerd laten gelijke hoeken vertegenwoordigers met hetzelfde niet-negatieve reële deel toe, geconjugeerd volgens het bovenstaande: in $SO(3)$ is de conjugatieklasse van een rotatie precies haar hoek.

17. $N$ is multiplicatief, dus is $\abs\cdot$ een multiplicatieve norm op $\mathbb H \cong \R^4$ en is $\abs{q^k} = \abs q^k$ : de reeks $\sum q^k/k!$ convergeert absoluut in de eindigdimensionale (en dus volledige) ruimte, gedomineerd door $\sum\abs q^k/k! = \eu^{\abs q}$ . Voor een pure eenheid $u$ is $u^2 = -1$ , dus $(\theta u)^{2m} = (-1)^m\theta^{2m}$ en $(\theta u)^{2m+1} = (-1)^m\theta^{2m+1}u$ ; de reeks splitsen geeft

\exp(\theta u) = \sum_m\frac{(-1)^m\theta^{2m}}{(2m)!} + u\sum_m\frac{(-1)^m\theta^{2m+1}}{(2m+1)!} = \cos\theta + \sin\theta\,u .

Elke $q \in S^3$ is $\cos\alpha + \sin\alpha\,u$ met $\alpha \in \intcc0\pi$ (vraag 5): dus $q = \exp(\alpha u)$ en $\exp(P) = S^3$ . Ten slotte is $\exp(su) = \cos s + \sin s\,u = q(2s)$ in de notatie van vraag 9, en daar was $\rho_{q(t)} = \eu^{tA_u}$ : dus $\rho_{\exp(su)} = \eu^{2sA_u}$ .

18. $vw$ coördinaatsgewijs met de tabel ontwikkelen: de producten $\mathrm i\cdot\mathrm i = -1$ , … geven de scalair $-(v_1w_1 + v_2w_2 + v_3w_3)$ , en de gemengde producten ( $\mathrm{ij} = \mathrm k$ , $\mathrm{ji} = -\mathrm k$ , …) geven de vector $(v_2w_3 - v_3w_2,\ v_3w_1 - v_1w_3,\ v_1w_2 - v_2w_1)$ : dus $vw = -\langle v, w\rangle + v\wedge w$ . Het omgekeerde product aftrekken: $vw - wv = 2\,v\wedge w$ (de scalaire delen heffen elkaar op, de uitwendige producten tellen op). Voor de matrices, met $a\wedge(b\wedge c) = b\langle a, c\rangle - c\langle a, b\rangle$ :

[A_v, A_w]x = v\wedge(w\wedge x) - w\wedge(v\wedge x) = w\langle v, x\rangle - v\langle w, x\rangle = (v\wedge w)\wedge x = A_{v\wedge w}x .

Afgeleide: $\overline{\exp(tv)} = \exp(-tv)$ (de toevoeging is continu en keert het teken van pure quaternionen om), dus

\frac{\dd}{\dd t}\Bigr|_{t=0}\exp(tv)\,x\,\exp(-tv) = vx - xv = 2\,v\wedge x = 2A_vx :

de differentiaal is $v \mapsto 2A_v$ , een lineaire bijectie van $P$ op de antisymmetrische matrices, en $[2A_v, 2A_w] = 4A_{v\wedge w} = 2A_{2v\wedge w} = 2A_{[v,w]}$ toont dat ze de commutator van de quaternionen omzet in die van de matrices.

19. $\rho$ toepassen: $\rho(\varepsilon(t)) = \rho(s(R(t)))\,\rho(q(t))^{-1} = R(t)R(t)^{-1} = \operatorname{id}$ , dus $\varepsilon(t) \in \ker\rho = \{\pm1\}$ (vraag 4). Als product van de continue afbeeldingen $t \mapsto s(R(t))$ en $t \mapsto q(t)^{-1} = \bar{q(t)}$ is $\varepsilon$ continu op het samenhangende interval $\intcc0{2\pi}$ met waarden in het discrete paar $\{\pm1\}$ : ze is dus constant, zeg $\varepsilon(t) \equiv \varepsilon$ . Maar $R(0) = R(2\pi) = I$ , dus $s(R(0)) = s(R(2\pi))$ , terwijl $s(R(0)) = \varepsilon\,q(0) = \varepsilon$ en $s(R(2\pi)) = \varepsilon\,q(2\pi) = -\varepsilon$ : tegenspraak. Er bestaat geen continue sectie: de tekenambiguïteit $\pm q$ is globaal, geen gebrek van een bepaalde formule.

20. Surjectief: elke $R \in SO(3)$ is $\eu^{\theta A_u}$ voor een eenheid $u$ en een $\theta \in \intcc0{2\pi}$ (vragen 6 en 8); is $\theta > \pi$ , dan geeft Rodrigues $\eu^{\theta A_u} = \eu^{(2\pi - \theta)A_{-u}}$ (beide zijn $I + \sin\theta A_u + (1 - \cos\theta)A_u^2$ , en $A_{-u} = -A_u$ met $\sin(2\pi - \theta) = -\sin\theta$ en $\cos(2\pi - \theta) = \cos\theta$ ), dus $R = E(v)$ met $\norm v \leq \pi$ . Injectief binnenin: is $E(v) = E(v') \neq I$ met $\norm v, \norm{v'} < \pi$ , dan wint vraag 13 uit het spoor dezelfde hoek $\theta = \norm v = \norm{v'} \in \intoo0\pi$ terug en, omdat $\sin\theta \neq 0$ , uit het antisymmetrische deel dezelfde as: $v = v'$ ; en $E(v) = I$ dwingt op de open bal $\theta \in \{0\}$ af. Rand: $E(\pi u) = I + 2A_u^2 = 2uu^{\mathsf T} - I$ hangt van $u$ enkel af via $uu^{\mathsf T}$ , waaruit $E(\pi u) = E(-\pi u)$ ; omgekeerd geeft $2uu^{\mathsf T} - I = 2u'u'^{\mathsf T} - I$ toegepast op $u$ dat $u = \langle u', u\rangle u'$ , dus $u' = \pm u$ . Inwendig en rand botsen nooit (spoor $> -1$ tegenover $= -1$ ). Dus induceert $E$ een continue bijectie van de bal met de antipodale verlijming — compact — op $SO(3)$ : een homeomorfisme, en $SO(3) \cong \mathbb{RP}^3$ . Een middellijn van $\pi u$ naar $-\pi u$ heeft gelijmde uiteinden: het is een lus in $SO(3)$ , en haar beschrijving met $E$ komt overeen met de familie rotaties om $u$ uit vraag 10 die een volledige omwenteling doorloopt.

21. $\rho$ is een morfisme en $\rho_p^{-1} = \rho_{p^{-1}} = \rho_{\bar p}$ , dus $\rho_p\rho_q\rho_p^{-1} = \rho_{pq\bar p}$ ; volgens vraag 16 behoudt het vervoegen van een rotatie haar hoek en draait het haar as met $\rho_p$ . Involuties: $\rho_q^2 = \rho_{q^2} = \operatorname{id}$ dan en slechts dan als $q^2 = \pm1$ . Is $q^2 = 1$ , dan is $(q - 1)(q + 1) = q^2 - 1 = 0$ (centrale scalairen, dus die ontbinding is geldig) en $q = \pm1$ in het delingslichaam $\mathbb H$ , wat $\rho_q = I$ geeft: uitgesloten; $q^2 = -1$ met $q = a + su$ geeft $a^2 - s^2 + 2as\,u = -1$ , dus $a = 0$ en $s = 1$ : $q$ is een pure eenheid $w$ en $\rho_w$ is de halve slag om $w$ (hoek $\pi$ , vraag 5). Centrum: commuteert $\rho_q$ met elke $\rho_p$ , dan is $\rho_{pq\bar p} = \rho_q$ , dus $pq\bar p = \varepsilon(p)\,q$ met $\varepsilon(p) \in \{\pm1\}$ ; en $p \mapsto \varepsilon(p) = (pq\bar p)q^{-1}$ is continu op het samenhangende $S^3$ en gelijk aan $1$ in $p = 1$ , dus $\equiv 1$ : $q$ commuteert met heel $S^3$ , en dus met heel $\mathbb H$ (herschaal), zodat $q \in \R \cap S^3 = \{\pm1\}$ (vraag 1) en $\rho_q = I$ : het centrum is triviaal.

22. Omdat $u \perp w$ pure eenheden zijn, is $uw = u\wedge w$ puur (vraag 18), dus is

w' = qw = \cos\tfrac\theta2\,w + \sin\tfrac\theta2\,u\wedge w

puur, met norm $\abs q\abs w = 1$ . Dan is $w'w = qw\cdot w = qw^2 = -q$ , en

\rho_{w'}\rho_w = \rho_{w'w} = \rho_{-q} = \rho_q .

Beide assen $w$ en $w' = \cos\frac\theta2 w + \sin\frac\theta2(u\wedge w)$ liggen in het vlak $u^\perp$ dat loodrecht op de rotatieas staat, en $\langle w', w\rangle = \cos\frac\theta2$ : ze maken de halve hoek $\frac\theta2$ . Dat is de klassieke voortbrenging: twee halve slagen om assen die een hoek $\frac\theta2$ maken, stellen samen tot de rotatie over hoek $\theta$ om hun gemeenschappelijke loodlijn.

23. De compactheid is vraag 7. Wegsamenhang: $SO(3) = \rho(S^3)$ is het continue beeld van de wegsamenhangende sfeer; of ook: voor $R = \eu^{A}$ met $A$ antisymmetrisch (vraag 8) is $t \mapsto \eu^{tA}$ een weg in $SO(3)$ van $I$ naar $R$ (orthogonaal want $(\eu^{tA})^{\mathsf T} = \eu^{-tA}$ , met determinant $1$ wegens de continuïteit vanaf $t = 0$ ). Voor $O(3)$ : $\det$ is continu op $\{\pm1\}$ , dus is $O(3)$ niet samenhangend, $O(3) = SO(3) \sqcup D\,SO(3)$ voor een vaste $D$ met $\det D = -1$ (bijvoorbeeld $D = -I$ ), en linksvermenigvuldigen met $D$ is een homeomorfisme: precies twee componenten, elk een kopie van $SO(3)$ . De twee-op-één-afbeelding $\rho$ , zonder sectie volgens vraag 19, is dus een eerlijke dubbele overdekking van een samenhangende compacte groep door het enkelvoudig samenhangende $S^3$ — de meetkunde achter de riemtruc.

24. (i) Matrices:

R_1 = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad R_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1\\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad R_2R_1 = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & -1\\ 1 & 0 & 0\end{pmatrix}.

Uit spoor $0 = 1 + 2\cos\theta$ volgt $\cos\theta = -\frac12$ : $\theta = \frac{2\pi}3$ . Het antisymmetrische deel $\frac{R - R^{\mathsf T}}2$ codeert de as als $\sin\theta\,(v_3, -v_2, v_1)$ : hier is $\frac{R - R^{\mathsf T}}2 = \frac12\bigl(\begin{smallmatrix}0 & -1 & -1\\ 1 & 0 & -1\\ 1 & 1 & 0\end{smallmatrix}\bigr)$ , wat (met het woordenboek $A_v$ uit Deel V) $v\sin\theta = \frac12(1, -1, 1)$ leest; en met $\sin\frac{2\pi}3 = \frac{\sqrt3}2$ : $v = \frac1{\sqrt3}(1, -1, 1)$ . (ii) Quaternionen: $q_1 = \cos\frac\pi4 + \sin\frac\pi4\,k = \frac{\sqrt2}2(1 + k)$ , $q_2 = \frac{\sqrt2}2(1 + i)$ , en

q_2q_1 = \tfrac12(1 + i)(1 + k) = \tfrac12(1 + k + i + ik) = \tfrac12\bigl(1 + i - j + k\bigr)

(want $ik = -j$ ). Dus $\cos\frac\theta2 = \frac12$ : $\theta = \frac{2\pi}3$ , en het vectordeel $\frac12(i - j + k)$ heeft richting $\frac1{\sqrt3}(1, -1, 1)$ — hetzelfde antwoord, waarbij de quaternionenweg één regel vermenigvuldiging vergt in plaats van een matrixproduct: de praktische reden waarom vluchtsoftware standen in $S^3$ samenstelt.

25. $I + K$ inverteerbaar: uit $(I + K)v = 0$ volgt $0 = \langle v, v\rangle + \langle v, Kv\rangle = \norm v^2$ (de antisymmetrie doodt de tweede term): dus $v = 0$ . Orthogonaliteit van $C = C(K)$ : met $(I \pm K)^{\mathsf T} = I \mp K$ en het feit dat alle vier de matrices $I \pm K$ en $(I \pm K)^{-1}$ commuteren (veeltermuitdrukkingen in $K$ , plus limieten):

C^{\mathsf T}C = (I + K)^{-\mathsf T}(I - K)^{\mathsf T} (I - K)(I + K)^{-1} = (I - K)^{-1}(I + K)(I - K)(I + K)^{-1} = I .

Determinant: $\det(I - K) = \det\bigl((I - K)^{\mathsf T}\bigr) = \det(I + K)$ , dus $\det C = 1$ : $C \in SO(n)$ . Geen eigenwaarde $-1$ : $Cv = -v$ betekent $(I - K)w = -(I + K)w$ voor $w = (I + K)^{-1}v$ , dat wil zeggen $2w = 0$ : dus $v = 0$ . Omkering: uit $C(I + K) = I - K$ los je $K(I + C) = I - C$ op; omdat $-1 \notin \operatorname{Sp}C$ , is $I + C$ inverteerbaar en $K = (I - C)(I + C)^{-1}$ , dat antisymmetrisch is zodra $C$ orthogonaal is zonder eigenwaarde $-1$ (transponeer de uitdrukking en gebruik $C^{\mathsf T} = C^{-1}$ : $K^{\mathsf T} = (I - C^{-1})(I + C^{-1})^{-1} = (C - I)(C + I)^{-1} = -K$ ). De twee afbeeldingen zijn per constructie elkaars inverse: een globale rationale parametrisering van het dichte open stuk van $SO(n)$ dat de eigenwaarde $-1$ mijdt — geen reeksen, geen goniometrie, en in dimensie $3$ is het de vermomde substitutie met de halve hoek $K = \tan\frac\theta2\,A_v$ .

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

raakruimte

Bekijk alle 395 begrippen in de begrippenlijst

20.1 De inverse-functiestelling

20.2 Deelvariëteiten: vier definities

20.3 Raakruimten

20.4 Oefeningen

20.5 Probleem: SO(3)SO(3)SO(3) en de quaternionen

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

20.5 Probleem: $SO(3)$ en de quaternionen