coeficientes de Fourier কী?

Exemplo 14.3 (Melhor aproximação, medida)

Quão bem os polinômios trigonométricos de grau baixo aproximam a dente de serra $f(t) = t$ (em $\intoo{-\pi}{\pi}$) na média quadrática? Pela Proposição 14.2, a melhor aproximação de grau $N$ é $S_N(f)$, com erro quadrático

Aqui $\norm f_2^2 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi t^2\dd t = \frac{\pi^2}{3}$ e, de $b_n = \frac{2(-1)^{n+1}}{n}$ (Exemplo 14.12): $\abs{c_n}^2 + \abs{c_{-n}}^2 = \frac{b_n^2}{2} = \frac{2}{n^2}$. Logo

para $N = 1, 2, 3, 4$ — decrescente, mas devagar: a cauda $\sum_{n>N}\frac2{n^2} \sim \frac2N$ é governada pelo decaimento lento $\frac1n$ dos coeficientes, que é ele próprio a assinatura do salto (o Exercício 14.6 lido ao contrário). Lição final: Parseval transforma a qualidade da aproximação numa cauda de série numérica — e prevê, antes de qualquer figura, que saltos fazem as séries de Fourier convergirem a contragosto.