什么是 curva parametrizada？

Exemplo 24.3 (Ramos assintóticos, trabalhados)

$x(t) = t$, $y(t) = t + \dfrac1t$ em $\intoo{0}{+\infty}$. Quando $t \to 0^{+}$: $x \to 0$ enquanto $y \to +\infty$ — a curva sobe ao longo da assíntota vertical $x = 0$ (limite finito para uma coordenada, infinito para a outra). Quando $t \to +\infty$: as duas coordenadas explodem, logo teste uma reta: a diferença

exibe a assíntota oblíqua $y = x$, aproximada por cima. No meio disso, $y' = 1 - \frac1{t^2}$ anula-se em $t = 1$: o ponto $(1, 2)$ é o ponto mais baixo do ramo, e $x' = 1 > 0$ em toda parte, logo a curva avança sempre para a direita. Um arco, duas assíntotas, um mínimo: um quadro completo a partir de três cálculos — com a receita geral visível por baixo: quando $x, y \to \infty$ juntos, examine $y/x$ à procura de um coeficiente angular candidato (aqui $\to 1$), e depois $y - (\text{inclinação})\,x$ para a ordenada na origem e para o lado da aproximação.

Exemplo 24.4 (A astroide)

$x(t) = \cos^3 t$, $y(t) = \sin^3 t$. Simetrias: $M(t + 2\pi) = M(t)$ (estude um período); $M(-t)$ é o reflexo de $M(t)$ no eixo $x$; $M(\pi - t)$, no eixo $y$; $M(\frac\pi2 - t)$, na diagonal $y = x$: basta estudar $t \in \intcc{0}{\frac\pi4}$ e desdobrar.

Velocidade: $f'(t) = 3\sin t\cos t\,(-\cos t, \sin t)$. Em $\intoo{0}{\frac\pi2}$ todos os pontos são regulares, com tangente dirigida por $(-\cos t, \sin t)$; em $t = 0$ (o ponto $(1,0)$) a velocidade se anula: uma cúspide, em que a curva inverte o sentido ao longo da direção tangente $(-1, 0)\cdot(\pm)$ — por simetria, as quatro cúspides ficam em $(\pm1, 0), (0, \pm1)$.

Exemplo 24.5 (Um oito, estudado por completo)

$x(t) = \sin t$, $y(t) = \sin 2t$ (uma curva de Lissajous). Simetrias: $M(t + \pi) = (-x(t), y(t))$ (reflexão no eixo $y$), $M(-t) = (-x(t), -y(t))$ (simetria central), $M(\pi - t) = (x(t), -y(t))$ (reflexão no eixo $x$): basta estudar $t \in \intcc{0}{\frac\pi2}$ e desdobrar. Variações: $x' = \cos t \geq 0$ em toda parte, ao passo que $y' = 2\cos 2t$ é positiva antes de $t = \frac\pi4$ e negativa depois: o arco sobe para a direita até o cume $\bigl(\frac{\sqrt2}2,\ 1\bigr)$ em $t = \frac\pi4$ (tangente horizontal), e depois desce para a direita até $(1, 0)$ em $t = \frac\pi2$, onde $x' = 0 \neq y'$: tangente vertical. Ponto duplo: $M(0) = M(\pi) = (0,0)$, com duas velocidades diferentes

dois ramos regulares cruzando-se na origem sob ângulos distintos — um ponto duplo, não um ponto singular: cada passagem é perfeitamente suave, e as duas passagens apenas partilham a sua localização. A curva inteira é o oito abaixo.