endomorfismo hermitiano কী?

Exemplo 13.7 (Uma matriz anti-hermitiana, diagonalizada)

$A = \begin{pmatrix} 0 & -2\\ 2 & 0\end{pmatrix}$ satisfaz $A^\dagger = A^{\mathsf T} = -A$: anti-hermitiana (e também real antissimétrica — sobre $\R$ ela não tem autovalor algum). Polinômio característico $X^2 + 4$: autovalores $\pm2\iu$, puramente imaginários, como o Exercício 13.9 prevê em geral. Autovetores: $(A - 2\iu I)v = 0$ dá $v_1 = \frac{1}{\sqrt2}(1, \iu)$, e $v_2 = \frac{1}{\sqrt2}(1, -\iu)$ para $-2\iu$; eles são ortogonais:

Assim $A = U\operatorname{diag}(2\iu, -2\iu)\,U^\dagger$ com $U = (v_1\ v_2)$ unitária. Lição final: $H = -\iu A = \begin{pmatrix} 0 & 2\iu\\ -2\iu & 0\end{pmatrix}$ é hermitiana com o espectro real $\{\pm2\}$ e os mesmos autovetores — a bijeção $u \mapsto \iu u$ entre endomorfismos hermitianos e anti-hermitianos (Exercício 13.9), vista matriz a matriz; sobre $\R$ a mesma $A$ é uma rotação com escala sem autovetor algum, e só a passagem a $\C$ revela sua forma normal.

Exemplo 13.9

$A = \begin{pmatrix} 0 & -\iu\\ \iu & 0\end{pmatrix}$ é hermitiana ($A^\dagger = A$): autovalores a partir de $\chi_A = X^2 - 1$: $\pm 1$ (reais, como prometido), com autovetores ortonormais $\frac{1}{\sqrt2}(1, \iu)^{\mathsf T}$ e $\frac{1}{\sqrt2}(1, -\iu)^{\mathsf T}$. (Os físicos conhecem $A$ como matriz de Pauli; a realidade dos espectros hermitianos é o motivo pelo qual os observáveis quânticos são modelados por operadores hermitianos.)

Exemplo 13.10 (Uma matriz hermitiana positiva definida, trabalhada)

$A = \begin{pmatrix} 2 & 1-\iu\\ 1+\iu & 3\end{pmatrix}$: hermitiana, pois a diagonal é real e as entradas fora da diagonal são conjugadas. Polinômio característico:

espectro $\{1, 4\}$, real e positivo — $A$ é positiva definida. Autovetores: para $\lambda = 4$, o sistema $(A - 4I)v = 0$ dá $v_4 = (1 - \iu,\ 2)$ (confira a segunda linha: $(1+\iu)(1-\iu) - 2 = 0$); para $\lambda = 1$, $v_1 = (1 - \iu,\ -1)$. Ortogonalidade, com o conjugado na primeira casa:

Normalizando ($\norm{v_4}^2 = 2 + 4 = 6$, $\norm{v_1}^2 = 2 + 1 = 3$) obtém-se a unitária $U = \bigl(\frac{v_4}{\sqrt6}\ \frac{v_1}{\sqrt3}\bigr)$ com $A = U\operatorname{diag}(4,1)U^\dagger$. Lição final: a leitura de Rayleigh é imediata — na esfera unitária de $\C^2$, $\langle x, Ax\rangle$ percorre $\intcc{1}{4}$, atingido nos dois autovetores; esse é o germe em $n = 2$ da teoria de Courant–Fischer construída no problema de fim de semana. Confira por amostragem que a forma é real fora dos autovetores também: em $x = (1, \iu)$,

como o mecanismo de demonstração da Proposição 13.6 (simetria conjugada contra $A^\dagger = A$) garante para todo $x$.