equicontinuidade কী?

Exemplo 7.12

A bola unitária fechada de $\mathcal C(\intcc01)$ não é compacta ($f_n(x) = x^n$ não tem subsequência uniformemente convergente: o limite pontual é descontínuo) e, com efeito, $(x^n)$ não é equicontínua em $1$. Em contraste, $\{f : \norm f_\infty \leq 1,\ \operatorname{Lip}(f) \leq 1\}$ é compacto: limitado, equicontínuo por serem todas $1$-lipschitzianas, e fechado. Ascoli explica por que a compacidade falha em dimensão infinita (Riesz, segundo ano) e o que acrescentar para restaurá-la: um módulo de continuidade uniforme.