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Matemática · 术语表

什么是 equicontinuidade？

Definição 7.10 Matemática universitária — Graduação 3 · 第 7 章 — Espaços completos: Baire, Ascoli, Stone–Weierstrass

Uma família F⊆C(K)\mathcal F \subseteq \mathcal C(K) é equicontínua se, para todo ε>0\varepsilon > 0, existe δ>0\delta > 0 tal que

d(x,y)<δ  ⟹  ∥f(x)−f(y)∥<εpara toda f∈Fd(x, y) < \delta \implies \norm{f(x) - f(y)} < \varepsilon \quad\text{para \emph{toda} } f \in \mathcal F

(um único δ\delta para toda a família — por exemplo, qualquer família com uma constante de Lipschitz comum, ou um módulo de Hölder comum), e é pontualmente limitada se sup⁡f∥f(x)∥<∞\sup_{f}\norm{f(x)} < \infty para cada xx.

示例

Exemplo 7.12

A bola unitária fechada de C([0, 1])\mathcal C(\intcc01) não é compacta (fn(x)=xnf_n(x) = x^n não tem subsequência uniformemente convergente: o limite pontual é descontínuo) e, com efeito, (xn)(x^n) não é equicontínua em 11. Em contraste, {f:∥f∥∞≤1, Lip⁡(f)≤1}\{f : \norm f_\infty \leq 1,\ \operatorname{Lip}(f) \leq 1\} é compacto: limitado, equicontínuo por serem todas 11-lipschitzianas, e fechado. Ascoli explica por que a compacidade falha em dimensão infinita (Riesz, segundo ano) e o que acrescentar para restaurá-la: um módulo de continuidade uniforme.

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