Operações com conjuntos কী?

Exemplo 1.17 (Familiarizando-se com o conjunto das partes)

Para $E = \{a, b\}$:

quatro elementos — e note a disciplina de níveis: $a \in E$, mas $\{a\} \in \mathcal P(E)$; as proposições $a \in \mathcal P(E)$ e $\{a\} \subseteq \mathcal P(E)$ são ambas falsas tal como escritas (a segunda exigiria que $a$ fosse um subconjunto de $E$). Iterando a partir do nada: $\mathcal P(\emptyset) = \{\emptyset\}$ tem um elemento, $\mathcal P(\mathcal P(\emptyset)) = \{\emptyset, \{\emptyset\}\}$ tem dois, o seguinte tem quatro — conjuntos de conjuntos são conjuntos como quaisquer outros, e o Capítulo 2 confirmará o padrão de duplicação: $\abs{\mathcal P(E)} = 2^{\abs E}$. Manter os níveis ($x$, $\{x\}$, $\{\{x\}\}$) bem separados é metade da batalha em exercícios como o Exercícios 1.11 e 1.12.

Exemplo 1.27 (O ponto (2) não pode ser reforçado)

Na Proposição 1.26 (2), não se pode reforçar as conclusões: $g \circ f$ bijetiva não obriga $f$ a ser sobrejetiva nem $g$ a ser injetiva. Tome $E = G = \{1\}$, $F = \{1, 2\}$, com $f(1) = 1$ e $g(1) = g(2) = 1$: então $g \circ f = \mathrm{id}_E$ é bijetiva e, no entanto, $f$ não atinge o elemento $2$ e $g$ colapsa os dois elementos. A moral é uma regra precisa de escrituração: a informação da composta flui para a aplicação interna no caso da injetividade e para a aplicação externa no caso da sobrejetividade, nunca no sentido contrário. (O Exercício 1.9 constrói o mesmo fenômeno com conjuntos infinitos, onde ele é o motor por trás das inversas unilaterais.)

Exemplo 1.32

Em $\Z$, a congruência módulo $n$ ($x \equiv y \pmod n$ quando $n$ divide $x - y$) é uma relação de equivalência; suas classes são os $n$ conjuntos de inteiros com um dado resto na divisão por $n$. Este exemplo torna-se o anel $\Z/n\Z$ no Capítulo 7.