Plano tangente কী?

Exemplo 19.6 (O plano tangente do helicoide)

Para o helicoide $\sigma(u, v) = (v\cos u,\ v\sin u,\ au)$, no ponto $\sigma(0, 1) = (1, 0, 0)$:

de modo que o plano tangente é $a\,y = z$. Ele contém toda a geratriz horizontal $\{(t, 0, 0)\}$ (direção $\sigma_v$): como no cone do Exercício 19.1, uma superfície regrada por retas tem cada geratriz contida no plano tangente ao longo dela. A outra direção tangente $\sigma_u$ é a velocidade da hélice $u \mapsto \sigma(u, 1)$: uma carta, duas curvas desenhadas, e o plano tangente inteiro é gerado — a Proposição 19.5 em ação.

Exemplo 19.8

Para a esfera $x^2 + y^2 + z^2 = R^2$: $\nabla f = 2(x, y, z)$, de modo que o plano tangente em $M_0$ é ortogonal ao raio $\vect{OM_0}$ — o fato clássico de que raio e plano tangente são perpendiculares, com equação $\langle M_0, M\rangle = R^2$.

Exemplo 19.9 (Plano tangente de um gráfico)

Para $z = f(x, y)$ em $(x_0, y_0)$: aplicando a Proposição 19.7 a $F(x,y,z) = f(x,y) - z$,

a parte afim do desenvolvimento de Taylor de primeira ordem — o plano tangente é o gráfico da diferencial, como deve ser.