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Matemática · 术语表

什么是 Pullback？

Definição 21.10 Matemática universitária — Graduação 3 · 第 21 章 — Formas diferenciais e o teorema de Stokes

Seja φ ⁣:U→V\varphi\colon U \to V suave (U⊆RmU \subseteq \R^m, V⊆RnV \subseteq \R^n abertos). O pullback φ∗ ⁣:Ωk(V)→Ωk(U)\varphi^*\colon \Omega^k(V) \to \Omega^k(U) é definido ponto a ponto pelo pullback linear ao longo da diferencial: (φ∗ω)x=(Dφ(x))∗ ωφ(x)(\varphi^*\omega)_x = (D\varphi(x))^*\,\omega_{\varphi(x)}. Concretamente, φ∗\varphi^* substitui: φ∗f=f∘φ\varphi^*f = f \circ \varphi em funções, φ∗( ⁣dyi)= ⁣dφi=∑j∂φi∂xj ⁣dxj\varphi^*(\dd y_i) = \dd\varphi_i = \sum_j\frac{\partial\varphi_i}{\partial x_j}\dd x_j, e φ∗(a  ⁣dyi1∧⋯∧ ⁣dyik)=(a∘φ)  ⁣dφi1∧⋯∧ ⁣dφik\varphi^*(a\,\dd y_{i_1}\wedge\dots\wedge \dd y_{i_k}) = (a\circ\varphi)\,\dd\varphi_{i_1}\wedge\dots\wedge \dd\varphi_{i_k}.

示例

Exemplo 21.12 (Coordenadas polares)

Para φ(r,θ)=(rcos⁡θ,rsin⁡θ)\varphi(r, \theta) = (r\cos\theta, r\sin\theta): φ∗ ⁣dx=cos⁡θ  ⁣dr−rsin⁡θ  ⁣dθ\varphi^*\dd x = \cos\theta\,\dd r - r\sin\theta\,\dd\theta, φ∗ ⁣dy=sin⁡θ  ⁣dr+rcos⁡θ  ⁣dθ\varphi^*\dd y = \sin\theta\,\dd r + r\cos\theta\,\dd\theta, de modo que

φ∗( ⁣dx∧ ⁣dy)=(cos⁡θ  ⁣dr−rsin⁡θ  ⁣dθ)∧(sin⁡θ  ⁣dr+rcos⁡θ  ⁣dθ)=r  ⁣dr∧ ⁣dθ,\varphi^*(\dd x \wedge \dd y) = (\cos\theta\,\dd r - r\sin\theta\,\dd\theta) \wedge (\sin\theta\,\dd r + r\cos\theta\,\dd\theta) = r\,\dd r \wedge \dd\theta,

o jacobiano do Exemplo 11.12 aparecendo por pura álgebra — sem teoria da medida. O Exercício 21.9 transforma essa observação em enunciado: para integrais orientadas, a fórmula de mudança de variáveis é a fórmula do pullback.

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