全部书籍

专业

应用 关于 Coach 登录 开始阅读

书籍暂未推出简体中文版——当前显示 Português 版。

Matemática · 术语表

什么是 Raízes da unidade？

Definição 28.14 Matemática do ensino médio · 第 28 章 — Números complexos

Para n≥1n \geq 1, as raízes nn-ésimas da unidade são as soluções de zn=1z^n = 1.

As raízes quintas da unidade, = 2 π/5: os vértices de um pentágono regular inscrito no círculo de raio 1 ().
As raízes quintas da unidade, ω=e2iπ/5\omega = \eu^{2\iu\pi/5}: os vértices de um pentágono regular inscrito no círculo de raio 11 (Exercício 28.10).
在原文中阅读 →
Definição 3.17 Matemática universitária — Graduação 1 · 第 3 章 — Números Complexos

As raízes nn-ésimas da unidade são as soluções de zn=1z^n = 1:

Un={ ωk:k=0,…,n−1 },ω=e2iπ/n.\mathbb{U}_n = \bigl\{\, \omega^k : k = 0, \dots, n-1 \,\bigr\}, \qquad \omega = \eu^{2\iu\pi/n}.

Elas formam um grupo com a multiplicação (Capítulo 7) e ocupam os vértices de um nn-ágono regular inscrito no círculo unitário.

As raízes quintas da unidade, = 2 π/5: um pentágono regular no círculo unitário.
As raízes quintas da unidade, ω=e2iπ/5\omega = \eu^{2\iu\pi/5}: um pentágono regular no círculo unitário.

示例

Exemplo 3.20 (Raízes quadradas na forma algébrica)

Para resolver z2=3+4iz^2 = 3 + 4\iu sem trigonometria, ponha z=x+iyz = x + \iu y:

x2−y2=3,2xy=4,x2+y2=∣3+4i∣=5.x^2 - y^2 = 3, \qquad 2xy = 4, \qquad x^2 + y^2 = \abs{3 + 4\iu} = 5 .

Somando a primeira e a última: x2=4x^2 = 4, logo x=±2x = \pm 2, e então y=2/x=±1y = 2/x = \pm 1 com o mesmo pareamento de sinais (xy=2>0xy = 2 > 0): z=±(2+i)z = \pm(2 + \iu). Combinado com a fórmula usual, isso resolve toda equação do segundo grau com coeficientes complexos (Exercício 3.7).

Exemplo 3.16 (Um lado direito não real)

Resolva z4=−8+8i3z^4 = -8 + 8\iu\sqrt3. Forma exponencial do lado direito: módulo 64+192=16\sqrt{64 + 192} = 16, argumento θ\theta com cos⁡θ=−12\cos\theta = -\frac12, sin⁡θ=32\sin\theta = \frac{\sqrt3}2, isto é, θ=2π3\theta = \frac{2\pi}3. As quatro raízes são

zk=2 ei(π6+kπ2),k=0,1,2,3:z0=3+i,z1=iz0=−1+i3,z_k = 2\,\eu^{\iu(\frac\pi6 + \frac{k\pi}2)}, \quad k = 0, 1, 2, 3 : \qquad z_0 = \sqrt3 + \iu,\quad z_1 = \iu z_0 = -1 + \iu\sqrt3,
z2=−z0=−3−i,z3=−iz0=1−i3.z_2 = -z_0 = -\sqrt3 - \iu,\qquad z_3 = -\iu z_0 = 1 - \iu\sqrt3 .

(Verificação: z02=2+2i3z_0^2 = 2 + 2\iu\sqrt3, logo z04=(2+2i3)2=4−12+8i3=−8+8i3z_0^4 = (2 + 2\iu\sqrt3)^2 = 4 - 12 + 8\iu\sqrt3 = -8 + 8\iu\sqrt3.) Uma vez encontrada uma raiz, as outras três saem de graça: são as suas rotações sucessivas de π2\frac\pi2, isto é, os seus produtos pelas raízes quartas da unidade — a estrutura geral por trás do Teorema 3.14, que vale explorar antes de recalcular cada raiz do zero. Desta vez não há simetria conjugada: o lado direito não é real.

在原文中阅读 →