O que é Subespaços afins; aplicações afins? — Matemática

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Definição 17.5 Matemática universitária — Graduação 2 · অধ্যায় 17 — Espaços afins

Um subespaço afim é um conjunto $\mathcal{F} = A + F = \{A + u : u \in F\}$ com $F$ um subespaço vetorial (sua direção); equivalentemente, um conjunto não vazio estável por baricentros. Os subespaços afins de $\R^n$ são exatamente os conjuntos solução de sistemas lineares $MX = B$ (primeiro ano: solução particular mais núcleo). Uma aplicação $f \colon \mathcal{E} \to \mathcal{E}'$ é afim quando preserva baricentros — equivalentemente, quando

f(A + u) = f(A) + \varphi(u)

para uma (única) aplicação linear $\varphi = \vec f$ , a parte linear. Aplicações afins de $\R^n$ : $X \mapsto MX + C$ . As composições são afins com partes lineares compostas; $f$ é bijetiva se e somente se $\vec f$ o é.

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Exemplo 17.9 (Classificar uma aplicação afim, do começo ao fim)

Seja $f(x, y) = (2x - 1,\ 3y - 4)$ em $\R^2$ . Sua parte linear é $\varphi = \operatorname{diag}(2, 3)$ , cujo espectro $\{2, 3\}$ evita $1$ : pelo critério de ponto fixo demonstrado adiante (Proposição 17.17), $f$ tem exatamente um ponto fixo, achado resolvendo

x = 2x - 1, \qquad y = 3y - 4 \qquad\Longrightarrow\qquad \Omega = (1, 2).

Recentrando em $\Omega$ (ponha $x = 1 + u$ , $y = 2 + v$ ):

f(1 + u,\ 2 + v) = (1 + 2u,\ 2 + 3v) :

no referencial em $\Omega$ , $f$ é sua parte linear, uma dilatação anisotrópica que estica por $2$ na horizontal e por $3$ na vertical a partir do centro $(1, 2)$ . A lição geral: uma aplicação afim é “aplicação linear mais dado de posição”, e o dado de posição colapsa numa única origem bem escolhida sempre que $1$ não é autovalor. Reciprocamente, transladar mal a origem cria os termos constantes: a geometria afim é a arte de escolher onde pôr $0$ .

Exemplo 17.2 (Um espaço afim sem origem natural)

O plano solução $\mathcal E = \{(x, y, z) \in \R^3 : x + y + z = 1\}$ não é um subespaço vetorial ( $0 \notin \mathcal E$ ), mas é um espaço afim dirigido por $E = \{x + y + z = 0\}$ : para $A, B \in \mathcal E$ a diferença $\vect{AB} = B - A$ cai em $E$ (as somas se cancelam), Chasles é herdado de $\R^3$ , e $B \mapsto \vect{AB}$ é bijetiva sobre $E$ . Nenhum ponto de $\mathcal E$ é distinguido — qualquer escolha de “origem” $O \in \mathcal E$ funciona igualmente bem, e todas as identificações $M \mapsto \vect{OM}$ diferem por translações. Essa é a situação típica: os conjuntos solução de problemas lineares não homogêneos (sistemas lineares, equações diferenciais lineares no Capítulo 16) são afins, nunca lineares, e o lema “solução particular mais núcleo” é exatamente o enunciado $\mathcal F = A + F$ da definição seguinte.

Exemplo 17.18 (Isometrias do plano, completadas)

Uma isometria afim do plano euclidiano tem parte linear em $O(2)$ : uma rotação $R_\theta$ ou uma reflexão (volume do primeiro ano de graduação). Se $\theta \neq 0$ : $1 \notin \operatorname{Sp} R_\theta$ , de modo que a aplicação é uma rotação em torno de um centro único (Proposição 17.17). Se a parte linear é uma reflexão: ou uma reflexão num eixo (há pontos fixos) ou uma reflexão deslizante (reflexão composta com uma translação ao longo do eixo, sem ponto fixo). Com as translações, essa é a classificação completa das isometrias do plano.

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