O que é topology? — Matemática

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Definição 25.1 Matemática universitária — Graduação 1 · অধ্যায় 25 — Funções de Duas Variáveis

Em $\R^2$ , use a norma euclidiana $\norm{(x,y)} = \sqrt{x^2 + y^2}$ (o Capítulo 23). As bolas abertas, as vizinhanças e os subconjuntos abertos de $\R^2$ definem-se exatamente como no Capítulo 12, com bolas no lugar de intervalos. Uma função $f \colon U \to \R$ ( $U \subseteq \R^2$ aberto) é contínua em $a \in U$ quando

\forall\varepsilon > 0,\ \exists\delta > 0, \quad \norm{X - a} \leq \delta \implies \abs{f(X) - f(a)} \leq \varepsilon,

com a mesma caracterização sequencial que em uma variável. Somas, produtos, quocientes e composições com funções contínuas de uma variável preservam a continuidade; as aplicações coordenadas são contínuas, logo os polinômios em $(x,y)$ também o são.

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Exemplo 25.2 (A majoração polar, o modo limpo de demonstrar um limite)

Mostre que $f(x, y) = \dfrac{x^2y^2}{x^2 + y^2}$ (com $f(0,0) = 0$ ) é contínua na origem. Em coordenadas polares $x = \rho\cos\theta$ , $y = \rho\sin\theta$ :

\abs{f} = \frac{\rho^4\cos^2\theta\sin^2\theta}{\rho^2} = \rho^2\,(\cos\theta\sin\theta)^2 \leq \frac{\rho^2}{4} \xrightarrow[\rho \to 0]{} 0 ,

uma cota independente de $\theta$ : qualquer que seja a direção de aproximação, os valores são espremidos até $0$ . Essa uniformidade em $\theta$ é todo o ponto — uma cota como $\abs g = \abs{\cos\theta\sin\theta}$ (sem nenhum $\rho$ restante) nada demonstra, e de fato esse $g$ é a armadilha radial descontínua do exemplo seguinte.

Exemplo 25.3 (A armadilha radial)

Seja $f(x, y) = \dfrac{xy}{x^2 + y^2}$ para $(x,y) \neq (0,0)$ , $f(0, 0) = 0$ . Ao longo de cada eixo, $f = 0 \to 0$ ; mas ao longo da diagonal $y = x$ , $f(x, x) = \frac12 \not\to 0$ . Nenhum limite na origem: aproximar-se por todas as retas, e até encontrar o mesmo limite ao longo de cada uma, não basta (aqui os limites ao longo das retas discordam; exemplos piores concordam ao longo de todas as retas e ainda assim falham ao longo de uma parábola, o Exercício 25.3). A continuidade em cada variável separadamente não implica a continuidade.

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Definição 6.1 Matemática universitária — Graduação 3 · অধ্যায় 6 — Topologia geral

Uma topologia sobre um conjunto $X$ é uma família $\mathcal T$ de subconjuntos de $X$ — chamados conjuntos abertos — tal que: $\varnothing, X \in \mathcal T$ ; toda reunião de abertos é aberta; toda interseção finita de abertos é aberta. O par $(X, \mathcal T)$ é um espaço topológico. Os complementares dos abertos são os fechados. Uma vizinhança de $x$ é um conjunto que contém um aberto que contém $x$ .

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Exemplo 6.2

(a) Um espaço métrico, com “aberto” no sentido do segundo ano (reuniões de bolas abertas): a topologia métrica; métricas diferentes podem dar a mesma topologia (métricas equivalentes). Um espaço cuja topologia provém de alguma métrica é metrizável. (b) A topologia discreta (todos os subconjuntos) e a topologia grosseira $\{\varnothing, X\}$ . (c) A topologia cofinita sobre um conjunto infinito: aberto $=$ vazio ou cofinito. Não é metrizável, como veremos (Exercício 6.3). (d) Em $\R$ , a topologia usual; em $\bar\R = \R \cup \{\pm\infty\}$ , a topologia da ordem gerada pelas semirretas — o que faz de “ $x_n \to +\infty$ ” um caso de convergência comum.

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