Matemática universitária — Graduação 1 · Bachelor Year 1

23Espaços Euclidianos

Acrescentar um produto interno a um espaço vetorial real compra as noções geométricas — comprimentos, ângulos, ortogonalidade, distâncias — e um teorema que domina o capítulo: todo subespaço admite uma projeção ortogonal, calculável por Gram–Schmidt, que realiza a menor distância. As isometrias do plano fecham o capítulo e a geometria do ano.

Ao longo do capítulo, $E$ é um espaço vetorial real.

23.1 Produtos internos

Definição 23.1

Um produto interno em $E$ é uma aplicação $\langle\cdot,\cdot\rangle \colon E \times E \to \R$ bilinear, simétrica e definida positiva ( $\langle x, x\rangle > 0$ para $x \neq 0$ ). Um espaço de dimensão finita assim munido é um espaço euclidiano. A norma de $x$ é $\norm{x} = \sqrt{\langle x, x\rangle}$ , e $d(x, y) = \norm{x - y}$ .

Exemplo 23.2

Em $\R^n$ : o produto canônico $\langle x, y\rangle = \sum x_i y_i$ . Em $C(\intcc{a}{b})$ : $\langle f, g \rangle = \int_a^b fg$ (a definição positiva é o Teorema 15.7 (4)). Em $\R_n[X]$ : $\langle P, Q\rangle = \int_0^1 PQ$ , ou $\sum_{i} P(x_i)Q(x_i)$ sobre $n+1$ pontos distintos.

Exemplo 23.3 (O ângulo entre dois polinômios)

Uma vez escolhido um produto interno, quaisquer dois vetores não nulos têm um ângulo, via $\cos\theta = \frac{\langle x, y\rangle}{\norm x\,\norm y}$ (um cosseno legítimo, por Cauchy–Schwarz). Para $X$ e $X^2$ em $\int_0^1$ :

\langle X, X^2\rangle = \frac14, \qquad \norm X = \frac1{\sqrt3}, \qquad \norm{X^2} = \frac1{\sqrt5}, \qquad \cos\theta = \frac{1/4}{1/\sqrt{15}} = \frac{\sqrt{15}}{4} \approx 0.968 :

um ângulo de cerca de $14.5$ graus — em $\intcc{0}{1}$ , os gráficos de $x$ e $x^2$ são “quase paralelos” no sentido da média quadrática, e é por isso que remover essa direção comum (Gram–Schmidt, abaixo) deixa apenas a pequena correção $X^2 - X + \frac16$ .

Teorema 23.4 (Cauchy–Schwarz; propriedades da norma)

Para todos $x, y \in E$ :

\abs{\langle x, y\rangle} \leq \norm x\, \norm y ,

com igualdade se e somente se $x, y$ são proporcionais. Por consequência, $\norm\cdot$ satisfaz a desigualdade triangular $\norm{x + y} \leq \norm x + \norm y$ (e $\norm{\lambda x} = \abs\lambda \norm x$ , $\norm x = 0 \iff x = 0$ ). Além disso:

\norm{x+y}^2 = \norm x^2 + 2\langle x, y\rangle + \norm y^2, \qquad \langle x, y \rangle = \tfrac14\bigl(\norm{x+y}^2 - \norm{x-y}^2\bigr) .

Demonstração. Se $y = 0$ , tudo é trivial. Caso contrário, a quadrática $t \mapsto \norm{x + ty}^2 = \norm x^2 + 2t\langle x, y\rangle + t^2 \norm y^2$ é $\geq 0$ para todo $t$ : o seu discriminante é $\leq 0$ , o que é Cauchy–Schwarz; a igualdade significa uma raiz dupla $t_0$ , isto é, $x + t_0 y = 0$ (pela definição positiva): proporcionalidade. Desigualdade triangular: desenvolva,

\norm{x + y}^2 = \norm x^2 + 2\langle x, y\rangle + \norm y^2 \leq \norm x^2 + 2\norm x\,\norm y + \norm y^2 = \bigl(\norm x + \norm y\bigr)^2 ,

sendo o passo do meio Cauchy–Schwarz; a igualdade força $\langle x, y\rangle = \norm x\norm y$ , o caso de igualdade positivo, isto é, proporcionalidade com razão não negativa — geometricamente, o triângulo só degenera quando os dois vetores apontam no mesmo sentido. As duas últimas identidades são desenvolvimentos diretos (a segunda, a identidade de polarização, recupera o produto a partir da norma). ∎

23.2 Ortogonalidade

Definição 23.5

$x \perp y$ quando $\langle x, y \rangle = 0$ . Uma família é ortogonal quando os seus vetores são dois a dois ortogonais, e ortonormal quando, além disso, cada um tem norma $1$ . O complemento ortogonal de um subespaço $F$ é

F^{\perp} = \{x \in E : \forall y \in F,\ \langle x, y\rangle = 0\},

um subespaço de $E$ .

Proposição 23.6

(Pitágoras) Se $x \perp y$ , então $\norm{x+y}^2 = \norm x^2 + \norm y^2$ . Uma família ortogonal de vetores não nulos é livre. Numa base ortonormal $(e_1, \dots, e_n)$ , as coordenadas e os produtos são

x = \sum_{i} \langle x, e_i\rangle\, e_i, \qquad \langle x, y \rangle = \sum_i \langle x, e_i\rangle \langle y, e_i\rangle, \qquad \norm x^2 = \sum_i \langle x, e_i\rangle^2 .

Demonstração. Pitágoras: desenvolva. Liberdade: tome $\langle\,\cdot\,, x_j\rangle$ de uma combinação nula: $\lambda_j \norm{x_j}^2 = 0$ . Coordenadas: escreva $x = \sum \lambda_i e_i$ e tome o produto com $e_j$ : $\lambda_j = \langle x, e_j\rangle$ ; as duas fórmulas seguem por bilinearidade. ∎

Exemplo 23.7 (Coordenadas ortonormais, com uma verificação de Parseval)

Desenvolva $x = (1, 2, 3)$ na base ortonormal do Exercício 23.3,

e_1 = \tfrac{1}{\sqrt2}(1,1,0), \quad e_2 = \tfrac{1}{\sqrt6}(1,-1,2), \quad e_3 = \tfrac{1}{\sqrt3}(-1,1,1).

Nenhum sistema a resolver — três produtos internos:

\langle x, e_1\rangle = \frac{3}{\sqrt2}, \qquad \langle x, e_2\rangle = \frac{1 - 2 + 6}{\sqrt6} = \frac{5}{\sqrt6}, \qquad \langle x, e_3\rangle = \frac{-1 + 2 + 3}{\sqrt3} = \frac{4}{\sqrt3}.

Certificação pela fórmula da norma da proposição:

\frac{9}{2} + \frac{25}{6} + \frac{16}{3} = \frac{27 + 25 + 32}{6} = 14 = \norm{x}^2 = 1 + 4 + 9 .

Esta verificação por soma dos quadrados das coordenadas (uma identidade de Parseval finita) custa segundos e pega erros de sinal e de normalização com quase certeza — torne-a um hábito sempre que calcular um desenvolvimento ortonormal; a sua versão em dimensão infinita, para os coeficientes de Fourier do Exemplo 23.14, é um teorema do volume do terceiro ano de graduação.

Teorema 23.8 (Gram–Schmidt)

Todo espaço euclidiano tem bases ortonormais. Explicitamente, a partir de qualquer base $(v_1, \dots, v_n)$ , a receita

w_k = v_k - \sum_{i=1}^{k-1} \langle v_k, e_i\rangle\, e_i , \qquad e_k = \frac{w_k}{\norm{w_k}}

produz uma base ortonormal $(e_1, \dots, e_n)$ com $\operatorname{Vect}(e_1, \dots, e_k) = \operatorname{Vect}(v_1, \dots, v_k)$ para todo $k$ .

Demonstração. Indução sobre $k$ . Supondo $(e_1, \dots, e_{k-1})$ ortonormal e gerando $\operatorname{Vect}(v_1, \dots, v_{k-1})$ : o vetor $w_k$ é ortogonal a cada $e_j$ ( $j < k$ ) por construção ( $\langle w_k, e_j \rangle = \langle v_k, e_j\rangle - \langle v_k, e_j\rangle$ ), e $w_k \neq 0$ pois $v_k \notin \operatorname{Vect}(v_1, \dots, v_{k-1})$ . Normalizar preserva a ortogonalidade; o enunciado sobre o espaço gerado vale porque $e_k$ é combinação de $v_k$ e dos $e_i$ anteriores, de modo invertível. ∎

Exemplo 23.9 (Gram–Schmidt sobre polinômios, por extenso)

Ortonormalize $(1, X, X^2)$ em $\R_2[X]$ com $\langle P, Q\rangle = \int_0^1 PQ$ . Passo 1: $\norm{1}^2 = 1$ , logo $e_1 = 1$ . Passo 2: $w_2 = X - \langle X, 1\rangle\,1 = X - \frac12$ , e $\norm{w_2}^2 = \int_0^1\bigl(x - \frac12\bigr)^2 \dd x = \frac1{12}$ : $e_2 = \sqrt{12}\,\bigl(X - \frac12\bigr)$ . Passo 3: $\langle X^2, e_1\rangle = \frac13$ e

\langle X^2, e_2\rangle = \sqrt{12}\int_0^1 x^2\Bigl(x - \frac12\Bigr)\dd x = \frac{\sqrt{12}}{12}, \qquad\text{logo}\qquad w_3 = X^2 - \frac13 - \Bigl(X - \frac12\Bigr) = X^2 - X + \frac16 .

A sua norma foi calculada no Exercício 23.9: $\norm{w_3}^2 = \frac1{180}$ , donde $e_3 = \sqrt{180}\,\bigl(X^2 - X + \frac16\bigr)$ . Os polinômios $1$ , $X - \frac12$ , $X^2 - X + \frac16$ são, a menos de escala, os primeiros polinômios de Legendre do intervalo $\intcc{0}{1}$ ; a construção prossegue um grau de cada vez, cada novo polinômio ortogonal a todos os seus antecessores. Note como o algoritmo reaproveita o trabalho anterior: a projeção subtraída no passo 3 é exatamente a melhor aproximação afim de $X^2$ encontrada no Exemplo 23.12 — Gram–Schmidt é projeção ortogonal iterada.

Teorema 23.10 (Projeção ortogonal)

Seja $F$ um subespaço do espaço euclidiano $E$ . Então

E = F \oplus F^{\perp},

e a projeção associada $p_F$ sobre $F$ (a projeção ortogonal) é dada, em qualquer base ortonormal $(e_1, \dots, e_k)$ de $F$ , por $p_F(x) = \sum_i \langle x, e_i\rangle e_i$ . Ela realiza a distância a $F$ : para todo $y \in F$ ,

\norm{x - p_F(x)} \leq \norm{x - y},

com igualdade apenas para $y = p_F(x)$ ; escreve-se $d(x, F) = \norm{x - p_F(x)}$ .

Demonstração. Tome uma base ortonormal $(e_i)_{i \leq k}$ de $F$ (o Teorema 23.8 dentro de $F$ ) e ponha $\pi(x) = \sum \langle x, e_i\rangle e_i \in F$ . Então $x - \pi(x) \perp e_j$ para cada $j$ (o mesmo cancelamento de antes), logo $x - \pi(x) \in F^\perp$ : $E = F + F^\perp$ . E $F \cap F^\perp = \{0\}$ : tal vetor satisfaz $\langle x, x\rangle = 0$ . Logo a soma é direta e $\pi = p_F$ .

Distância: para $y \in F$ , decomponha $x - y = (x - p_F(x)) + (p_F(x) - y)$ , pedaços ortogonais ( $F^\perp$ e $F$ ); Pitágoras:

\norm{x - y}^2 = \norm{x - p_F(x)}^2 + \norm{p_F(x) - y}^2 \geq \norm{x - p_F(x)}^2,

igualdade se e somente se $y = p_F(x)$ . ∎

Exemplo 23.11 (As projeções nunca alongam)

Aplicando Pitágoras à decomposição $x = p_F(x) + (x - p_F(x))$ :

\norm{p_F(x)}^2 = \norm x^2 - \norm{x - p_F(x)}^2 \leq \norm x^2 ,

com igualdade se e somente se $x \in F$ . Numa base ortonormal $(e_1, \dots, e_k)$ de $F$ isto lê-se $\sum_{i \leq k}\langle x, e_i\rangle^2 \leq \norm x^2$ (uma desigualdade de Bessel): por mais direções ortonormais que se meçam, as coordenadas ao quadrado nunca ultrapassam o comprimento ao quadrado — compare com a igualdade exata do Exemplo 23.7 quando a família é uma base completa. Esta desigualdade de uma linha é o que torna somáveis os coeficientes de Fourier no volume do terceiro ano de graduação; aqui ela já explica por que acrescentar mais funções de base a um ajuste de mínimos quadrados só pode diminuir o resíduo.

Exemplo 23.12 (Melhor aproximação quadrática)

Em $C(\intcc{0}{1})$ com $\langle f, g\rangle = \int_0^1 fg$ , o polinômio de grau $\leq 1$ mais próximo de $f(x) = x^2$ na distância associada (em média quadrática) é $p_F(f)$ , com $F = \R_1[X]$ . Gram–Schmidt sobre $(1, X)$ : $e_1 = 1$ , $w_2 = X - \frac12$ , $\norm{w_2}^2 = \int_0^1 (x - \frac12)^2 = \frac{1}{12}$ , $e_2 = \sqrt{12}\,(X - \tfrac12)$ . Então

p_F(f) = \langle f, e_1\rangle e_1 + \langle f, e_2\rangle e_2 = \frac13 + 12\Bigl(\int_0^1 x^2\bigl(x - \tfrac12\bigr)\dd x\Bigr)\bigl(X - \tfrac12\bigr) = X - \frac{1}{6},

usando $\int_0^1 x^2(x - \frac12)\dd x = \frac14 - \frac16 = \frac{1}{12}$ . A ideia dos “mínimos quadrados” numa linha de álgebra linear.

Método 23.13 (Três vias para uma distância $d(x, F)$ )

Base ortonormal de $F$ : então $p_F(x) = \sum_i \langle x, e_i\rangle e_i$ e, por Pitágoras,

$d(x, F)^2 = \norm{x}^2 - \norm{p_F(x)}^2 = \norm x^2 - \sum_i \langle x, e_i\rangle^2 ,$

muitas vezes mais barato do que calcular o próprio $x - p_F(x)$ .
Equações normais: com qualquer família geradora de $F$ , resolva $\langle x - p, v_j\rangle = 0$ para os coeficientes de $p$ (o Exercício 23.5) — sem nenhuma ortonormalização.
Pelo complemento: se $F^\perp$ é menor do que $F$ (por exemplo, $F$ um hiperplano e $F^\perp$ uma reta $\operatorname{Vect}(n)$ ), projete sobre $F^\perp$ em vez disso:

$d(x, F) = \norm{p_{F^\perp}(x)} = \frac{\abs{\langle x, n\rangle}}{\norm n} ,$

que é a fórmula clássica da distância a um plano (o Exercício 25.8 a usa).

A via 3 é um caso particular de um reflexo geral: projete sempre sobre aquele dentre $F$ e $F^\perp$ que tiver a menor dimensão.

Exemplo 23.14 (Ortogonalidade trigonométrica: uma prévia de Fourier)

Em $C(\intcc{0}{2\pi})$ com $\langle f, g\rangle = \frac1\pi\int_0^{2\pi} fg$ , a família

\Bigl(\frac{1}{\sqrt2},\ \cos x,\ \sin x,\ \cos 2x,\ \sin 2x,\ \dots\Bigr)

é ortonormal: por exemplo $\langle \cos px, \cos qx\rangle = \frac1\pi\int_0^{2\pi}\cos px\cos qx\,\dd x = 0$ para $p \neq q$ (linearize o produto em $\frac12[\cos(p{-}q)x + \cos(p{+}q)x]$ e integre sobre períodos completos), enquanto $\frac1\pi\int_0^{2\pi}\cos^2 px\,\dd x = 1$ . A projeção ortogonal sobre o espaço gerado pelas primeiras $2N + 1$ destas funções tem portanto coordenadas $\langle f, e_i\rangle$ — integrais contra cossenos e senos. Estes são os coeficientes de Fourier de $f$ , e a projeção é a sua melhor aproximação trigonométrica em média quadrática; o volume do terceiro ano de graduação estuda a sua convergência. A ortogonalidade faz todo o trabalho: as fórmulas dos coeficientes são o Teorema 23.10, palavra por palavra.

23.3 Isometrias do plano

Definição 23.15

Um endomorfismo $u$ de um espaço euclidiano é uma isometria (ou aplicação ortogonal) quando preserva a norma: $\norm{u(x)} = \norm x$ para todo $x$ — equivalentemente (por polarização), quando preserva o produto interno; equivalentemente, quando a sua matriz $A$ numa base ortonormal satisfaz $A^{\mathsf T} A = I$ . As isometrias formam um grupo, o grupo ortogonal $O(E)$ .

Exemplo 23.16 (Reconhecer uma isometria de relance)

Será $A = \dfrac15\begin{pmatrix} 3 & -4\\ 4 & 3\end{pmatrix}$ ortogonal? Colunas: normas $\frac15\sqrt{9 + 16} = 1$ e $\frac15\sqrt{16 + 9} = 1$ ; produto $\frac1{25}(3\cdot(-4) + 4\cdot3) = 0$ . Sim — e $\det A = \frac{9 + 16}{25} = 1$ , logo ela é a rotação $R_\theta$ com $\cos\theta = \frac35$ , $\sin\theta = \frac45$ (a “rotação $3$ - $4$ - $5$ ”, cujo ângulo não é fração notável alguma de $\pi$ ). Em contraste, $B = \frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1\end{pmatrix}$ tem aparência de determinante unitário mas primeira coluna de norma diferente de $1$ ( $\frac1{\sqrt2}$ ): não é ortogonal — determinante $\pm1$ sozinho não certifica nada, as colunas têm de ser verificadas.

Teorema 23.17 (Isometrias do plano)

Numa base ortonormal de um plano euclidiano, as matrizes das isometrias são exatamente

R_\theta = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \quad (\text{rotação de ângulo } \theta,\ \det = 1),

S_\theta = \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta\\ \sin\theta & -\cos\theta \end{pmatrix} \quad (\det = -1),

sendo a última a reflexão na reta que faz ângulo $\frac\theta2$ com o primeiro vetor da base.

Demonstração. Seja $A = \begin{pmatrix} a & c\\ b & d\end{pmatrix}$ com $A^{\mathsf T}A = I$ : as colunas são unitárias e ortogonais. A primeira coluna é $(\cos\theta, \sin\theta)$ para algum $\theta$ ; a segunda, unitária e ortogonal a ela, é $\pm(-\sin\theta, \cos\theta)$ . O sinal $+$ dá $R_\theta$ ; o sinal $-$ dá $S_\theta$ . Verifica-se que $S_\theta^2 = I$ e que o vetor $(\cos\frac\theta2, \sin\frac\theta2)$ é fixo enquanto o seu ortogonal é invertido: uma reflexão. (E $R_\alpha R_\beta = R_{\alpha+\beta}$ : o grupo das rotações é o grupo dos ângulos — compare com o Teorema 3.7.) ∎

Duas reflexões fazem uma rotação: refletir M = (2, 0.5) no eixo x e depois na reta y = x leva a (-0.5, 2) — a imagem de M pela rotação de ângulo π2 em torno da origem, o dobro do ângulo π4 entre os eixos. O problema de fim de semana transforma esta figura na lei de composição de todas as isometrias do plano. — Duas reflexões fazem uma rotação: refletir $M = (2, 0.5)$ no eixo $x$ e depois na reta $y = x$ leva a $(-0.5, 2)$ — a imagem de $M$ pela rotação de ângulo $\frac\pi2$ em torno da origem, o *dobro* do ângulo $\frac\pi4$ entre os eixos. O problema de fim de semana transforma esta figura na lei de composição de todas as isometrias do plano.

Observação 23.18 (Armadilhas comuns)

A fórmula da projeção precisa de uma base ortonormal: para uma família $(v_i)$ apenas geradora de $F$ , a soma $\sum_i\langle x, v_i\rangle v_i$ não é $p_F(x)$ (teste $F = \R^2$ , $v_1 = e_1$ , $v_2 = e_1 + e_2$ ); com uma família não ortonormal, resolva antes as equações normais (o Método 23.13 (2)). As famílias ortogonais têm de evitar o $0$ para serem livres: o vetor nulo é ortogonal a tudo, inclusive a si mesmo — a liberdade na Proposição 23.6 exige vetores não nulos. $F^\perp$ depende do produto interno: em $\R_1[X]$ , o complemento de $\operatorname{Vect}(X)$ para $\int_0^1 PQ$ não são as constantes, mas $\operatorname{Vect}(1 - \frac32 X)$ — calcule $\int_0^1 x(1 - \frac32 x) = \frac12 - \frac12 = 0$ ; “perpendicular” não faz sentido enquanto o produto não for nomeado. Não desenvolva $\norm{x + y}$ linearmente: a identidade correta é $\norm{x+y}^2 = \norm x^2 + 2\langle x, y\rangle + \norm y^2$ ; o termo cruzado só se anula sob ortogonalidade (Pitágoras), e a desigualdade triangular é uma desigualdade. Levar vetores unitários em vetores unitários não basta: $u(x, y) = (x + y,\ 0)$ leva os dois vetores da base canônica no vetor unitário $(1, 0)$ , e no entanto $\norm{u(1,1)} = 2 \neq \sqrt2$ : nenhuma isometria. A definição exige $\norm{u(x)} = \norm x$ para todo $x$ ; em termos matriciais $A^{\mathsf T}A = I$ , isto é, colunas unitárias e dois a dois ortogonais — as duas condições, verificadas juntas.

Observação 23.19 (Para onde vai o produto interno)

A projeção ortogonal é o teorema mais aplicado do capítulo: ela sustenta os mínimos quadrados (o problema de fim de semana do Capítulo 25 constrói retas de regressão sobre ela), os coeficientes de Fourier (o Exemplo 23.14) e as equações normais do Exercício 23.5, que a análise numérica resolve em grande escala. A classificação $R_\theta / S_\theta$ é completada abaixo: o problema de fim de semana classifica todas as transformações do plano que preservam distâncias, lineares ou não, e os seus grupos finitos — a matemática das rosetas e dos polígonos regulares. No volume do segundo ano de graduação o produto interno encontra a teoria dos autovalores (matrizes simétricas, formas quadráticas); no terceiro ano, a geometria euclidiana em dimensão infinita torna-se a teoria dos espaços de Hilbert.

Observação 23.20 (Perspectivas dentro do Livro 3)

Duas pontes saem deste capítulo. Para trás, rumo à álgebra linear: a matriz de Gram do Exercício 23.11 empacota produtos internos na maquinaria de determinantes do Capítulo 22, e a projeção ortogonal é o projetor especial do Capítulo 20 cujo núcleo é $F^\perp$ — toda a sua álgebra ( $p^2 = p$ , $s = 2p - \mathrm{id}$ ) aplica-se palavra por palavra, agora com o bônus de que $\norm{x - p(x)}$ é uma distância. Para a frente, rumo à análise: o Capítulo 24 mede comprimentos de arco com a norma deste capítulo e não classifica nada sem as suas isometrias; o Capítulo 25 lê o gradiente através de Cauchy–Schwarz (a subida mais íngreme) e fecha o volume com os mínimos quadrados, que são o Teorema 23.10 aplicado a um vetor de dados em $\R^n$ . O produto interno é o ponto em que a álgebra e a análise do livro finalmente se encontram.

23.4 Exercícios

Exercício 23.1 ★

Em $\R^3$ canônico: calcule $\langle u, v\rangle$ , $\norm u$ , $\norm v$ e o ângulo entre $u = (1, 2, 2)$ e $v = (2, -2, 1)$ . Verifique Cauchy–Schwarz numericamente.

Solução

Solução de Exercício 23.1.

$\langle u, v\rangle = 2 - 4 + 2 = 0$ ; $\norm u = \norm v = 3$ . Os vetores são ortogonais: o ângulo é $\frac\pi2$ . Cauchy–Schwarz: $\abs 0 \leq 9$ , com folga.

Exercício 23.2 ★

Demonstre a identidade do paralelogramo $\norm{x+y}^2 + \norm{x-y}^2 = 2\norm x^2 + 2\norm y^2$ em qualquer espaço euclidiano, e use-a para mostrar que a norma do supremo em $\R^2$ , $\norm{(x,y)}_\infty = \max(\abs x, \abs y)$ , não provém de um produto interno.

Solução

Solução de Exercício 23.2.

Desenvolva as duas normas ao quadrado com a identidade do Teorema 23.4 e some: os termos cruzados se cancelam.

Norma do supremo: tome $x = (1, 0)$ , $y = (0, 1)$ . Então $\norm{x + y}_\infty = \norm{x - y}_\infty = 1$ e a identidade exigiria $1 + 1 = 2(1) + 2(1) = 4$ : falso. Uma norma que viola a identidade do paralelogramo não provém de nenhum produto interno.

Exercício 23.3 ★

Aplique Gram–Schmidt a $\bigl((1,1,0), (1,0,1), (0,1,1)\bigr)$ no $\R^3$ canônico.

Solução

Solução de Exercício 23.3.

$e_1 = \frac{1}{\sqrt 2}(1,1,0)$ .

$w_2 = (1,0,1) - \langle (1,0,1), e_1\rangle e_1 = (1,0,1) - \frac{1}{2}(1,1,0) = \bigl(\tfrac12, -\tfrac12, 1\bigr)$ ; $\norm{w_2} = \sqrt{\tfrac32}$ , logo $e_2 = \frac{1}{\sqrt 6}(1, -1, 2)$ .

$w_3 = (0,1,1) - \langle\cdot, e_1\rangle e_1 - \langle\cdot, e_2\rangle e_2 = (0,1,1) - \frac12 (1,1,0) - \frac16(1,-1,2) = \bigl(-\tfrac23, \tfrac23, \tfrac23\bigr)$ ; normalizando, $e_3 = \frac{1}{\sqrt 3}(-1, 1, 1)$ .

(Verificação: os produtos dois a dois se anulam; cada um tem norma $1$ .)

Exercício 23.4 ★

Em $\R^3$ , seja $F = \operatorname{Vect}\bigl((1,1,1)\bigr)$ . Determine $F^\perp$ (equação e base), a matriz de $p_F$ na base canônica, e $d\bigl((1, 2, 3), F\bigr)$ .

Solução

Solução de Exercício 23.4.

$F^\perp = \{(x,y,z) : x + y + z = 0\}$ , base $\bigl((1,-1,0), (1,0,-1)\bigr)$ . Com $e = \frac{1}{\sqrt3}(1,1,1)$ : $p_F(x) = \langle x, e\rangle e = \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}\,(1,1,1)$ , logo

\operatorname{Mat}(p_F) = \frac13 \begin{pmatrix} 1&1&1\\ 1&1&1\\ 1&1&1\end{pmatrix}.

Para $x = (1,2,3)$ : $p_F(x) = (2,2,2)$ e $d(x, F) = \norm{(1,2,3) - (2,2,2)} = \norm{(-1,0,1)} = \sqrt 2$ .

Exercício 23.5 ★★

(Equações normais) Sejam $F = \operatorname{Vect}\bigl((1,0,1),(0,1,1)\bigr) \subseteq \R^3$ e $x = (1, 1, 4)$ . Calcule $p_F(x)$ resolvendo $\langle x - p, v \rangle = 0$ para os dois geradores ( $p = \alpha(1,0,1) + \beta(0,1,1)$ ), e depois $d(x, F)$ . Por que Gram–Schmidt é desnecessário aqui?

Solução

Solução de Exercício 23.5.

Seja $p = \alpha(1,0,1) + \beta(0,1,1) = (\alpha, \beta, \alpha + \beta)$ . Ortogonalidade de $x - p$ aos geradores:

\langle x - p, (1,0,1)\rangle = (1 - \alpha) + (4 - \alpha - \beta) = 0, \qquad \langle x - p, (0,1,1)\rangle = (1 - \beta) + (4 - \alpha - \beta) = 0,

isto é, $2\alpha + \beta = 5$ e $\alpha + 2\beta = 5$ : $\alpha = \beta = \frac53$ . Logo $p_F(x) = \bigl(\frac53, \frac53, \frac{10}{3}\bigr)$ e

d(x, F) = \norm{x - p} = \norm{\bigl(-\tfrac23, -\tfrac23, \tfrac23\bigr)} = \frac{2}{\sqrt 3} .

Gram–Schmidt é desnecessário porque a propriedade que define a projeção — $x - p \perp F$ — é ela própria um sistema linear (“equações normais”) sobre os coeficientes em qualquer família geradora.

Exercício 23.6 ★★

Para $f$ contínua em $\intcc{0}{1}$ , demonstre

\Bigl(\int_0^1 f\Bigr)^{\!2} \leq \int_0^1 f^2 ,

com o caso de igualdade, como instância de Cauchy–Schwarz em $C(\intcc{0}{1})$ . Demonstre em seguida $\bigl(\sum_{i=1}^n a_i\bigr)^2 \leq n \sum a_i^2$ para reais $a_i$ .

Solução

Solução de Exercício 23.6.

Cauchy–Schwarz com $g = 1$ :

\Bigl(\int_0^1 f \cdot 1\Bigr)^2 \leq \int_0^1 f^2 \cdot \int_0^1 1^2 = \int_0^1 f^2 ,

igualdade se e somente se $f$ é proporcional a $1$ , isto é, constante. Versão discreta: em $\R^n$ com $x = (a_1, \dots, a_n)$ , $y = (1, \dots, 1)$ : $\bigl(\sum a_i\bigr)^2 \leq \norm x^2\, \norm y^2 = n \sum a_i^2$ , com igualdade se e somente se todos os $a_i$ são iguais.

Exercício 23.7 ★★

Demonstre que, para todo subespaço $F$ de um espaço euclidiano: $(F^{\perp})^{\perp} = F$ e $\dim F^{\perp} = \dim E - \dim F$ .

Solução

Solução de Exercício 23.7.

Pelo Teorema 23.10, $E = F \oplus F^\perp$ , logo as dimensões se somam: $\dim F^\perp = \dim E - \dim F$ . A inclusão $F \subseteq (F^\perp)^\perp$ é imediata (os vetores de $F$ são ortogonais a tudo em $F^\perp$ ). Dimensões: $\dim(F^\perp)^\perp = \dim E - \dim F^\perp = \dim F$ ; uma inclusão com dimensões (finitas) iguais é uma igualdade (o Teorema 19.14).

Exercício 23.8 ★★

Identifique as isometrias do plano de matrizes

A = \frac{1}{\sqrt 2}\begin{pmatrix} 1 & -1\\ 1 & 1\end{pmatrix}, \qquad B = \frac{1}{5}\begin{pmatrix} 3 & 4\\ 4 & -3\end{pmatrix}

(tipo, ângulo ou eixo). Calcule $A^8$ e $B^2$ sem multiplicar matrizes.

Solução

Solução de Exercício 23.8.

$A$ : colunas unitárias, determinante $+1$ : uma rotação, com $\cos\theta = \frac{1}{\sqrt2}$ , $\sin\theta = \frac{1}{\sqrt2}$ : $\theta = \frac\pi4$ . Logo $A^8 = R_{8\pi/4} = R_{2\pi} = I$ .

$B$ : determinante $\frac{1}{25}(-9 - 16) = -1$ : uma reflexão $S_\theta$ com $\cos\theta = \frac35$ , $\sin\theta = \frac45$ ; o seu eixo faz o ângulo $\frac\theta2$ com o eixo $x$ , isto é, a reta dirigida por $\bigl(\cos\frac\theta2, \sin\frac\theta2\bigr)$ — concretamente, o eixo é $\operatorname{Vect}\bigl((2, 1)\bigr)$ , pois $B(2,1)^{\mathsf T} = \frac15(6+4, 8-3)^{\mathsf T} = (2,1)^{\mathsf T}$ . Sendo uma reflexão, $B^2 = I$ .

Exercício 23.9 ★★★

(Mínimo como projeção) Calcule

\min_{(a, b) \in \R^2} \int_0^1 \bigl(x^2 - a - bx\bigr)^2 \dd x ,

usando o Exemplo 23.12: o mínimo é $\norm{f - p_F(f)}^2$ para $f = X^2$ , $F = \R_1[X]$ .

Solução

Solução de Exercício 23.9.

A quantidade é $\norm{f - (a + bX)}^2$ em $C(\intcc{0}{1})$ com o produto interno integral: mínima exatamente na projeção ortogonal $a + bX = p_F(f) = X - \frac16$ (o Exemplo 23.12). O mínimo é

\norm{f - p_F(f)}^2 = \int_0^1 \Bigl(x^2 - x + \frac16\Bigr)^{\!2} \dd x .

Desenvolva: $\int_0^1 (x^2 - x + \frac16)^2 = \int_0^1 \bigl(x^4 - 2x^3 + \frac{4}{3}x^2 - \frac13 x + \frac{1}{36}\bigr)\dd x = \frac15 - \frac12 + \frac49 - \frac16 + \frac{1}{36} = \frac{1}{180}$ . Logo o mínimo vale $\dfrac{1}{180}$ .

Exercício 23.10 ★★★

Seja $u$ uma isometria de um espaço euclidiano $E$ . Demonstre que $\ker(u - \mathrm{id}) \perp \operatorname{im}(u - \mathrm{id})$ , e deduza $E = \ker(u - \mathrm{id}) \oplus \operatorname{im}(u - \mathrm{id})$ . (Calcule $\langle x - u(x), y\rangle$ para $u(y) = y$ , usando a preservação do produto.)

Solução

Solução de Exercício 23.10.

Seja $y \in \ker(u - \mathrm{id})$ (isto é, $u(y) = y$ ) e $x \in E$ . Então, usando a preservação do produto interno ( $\langle u(a), u(b)\rangle = \langle a, b\rangle$ ):

\langle x - u(x),\, y\rangle = \langle x, y\rangle - \langle u(x), y\rangle = \langle x, y\rangle - \langle u(x), u(y)\rangle = \langle x, y\rangle - \langle x, y\rangle = 0 :

todo vetor de $\operatorname{im}(u - \mathrm{id})$ é ortogonal a todo vetor fixo.

Portanto $\operatorname{im}(u - \mathrm{id}) \subseteq \ker(u - \mathrm{id})^{\perp}$ , e pelo teorema do núcleo e da imagem, mais o Exercício 23.7, ambos têm dimensão $\dim E - \dim\ker(u - \mathrm{id})$ : eles são iguais. Então $E = \ker(u - \mathrm{id}) \oplus \ker(u - \mathrm{id})^\perp = \ker(u - \mathrm{id}) \oplus \operatorname{im}(u - \mathrm{id})$ .

Exercício 23.11 ★★

(Matriz de Gram) Para vetores $v_1, \dots, v_k$ de um espaço euclidiano, seja $G = \bigl(\langle v_i, v_j\rangle\bigr)_{1 \leq i, j \leq k}$ a sua matriz de Gram.

Demonstre que $(v_1, \dots, v_k)$ é livre se e somente se $G$ é invertível. (Se $Gc = 0$ , calcule $\norm{\sum_i c_i v_i}^2$ .)
Calcule a matriz de Gram de $(1, X, X^2)$ em $\R_2[X]$ com $\langle P, Q\rangle = \int_0^1 PQ$ , reconheça a matriz de Hilbert $H_3$ do problema de fim de semana do Capítulo 22, e conclua a liberdade a partir de $\det H_3 = \frac1{2160} \neq 0$ .

Solução

Solução de Exercício 23.11.

Suponha $Gc = 0$ para uma coluna $c = (c_1, \dots, c_k)^{\mathsf T}$ . Então

$\Bigl\lVert\sum_i c_i v_i\Bigr\rVert^2 = \sum_{i,j} c_i c_j \langle v_i, v_j\rangle = c^{\mathsf T} G\, c = 0,$

logo $\sum_i c_i v_i = 0$ . Se a família é livre, isto força $c = 0$ : $G$ é invertível. Reciprocamente, uma relação não trivial $\sum_j c_j v_j = 0$ dá, tomando o produto com cada $v_i$ , a relação não trivial $Gc = 0$ : $G$ singular. Liberdade $\iff \det G \neq 0$ .
$\langle X^{i-1}, X^{j-1}\rangle = \int_0^1 x^{i+j-2}\dd x = \frac{1}{i+j-1}$ : a matriz de Gram de $(1, X, X^2)$ é exatamente a matriz de Hilbert $H_3$ , cujo determinante $\frac1{2160}$ foi calculado no problema de fim de semana do Capítulo 22: não nulo, logo os monômios são livres — como se esperava, mas agora certificado por um número.

Exercício 23.12 ★★★

Seja $u$ um endomorfismo de um espaço euclidiano $E$ cuja matriz $A$ numa base ortonormal é ao mesmo tempo ortogonal ( $A^{\mathsf T}A = I$ ) e simétrica ( $A^{\mathsf T} = A$ ).

Mostre que $A^2 = I$ , e deduza (via o Teorema 20.15) que $E = \ker(u - \mathrm{id}) \oplus \ker(u + \mathrm{id})$ .
Mostre que os dois subespaços são ortogonais, de modo que $u$ é a simetria ortogonal em relação a $F = \ker(u - \mathrm{id})$ : a reflexão através de $F$ . (Para $u(x) = x$ e $u(y) = -y$ , calcule $\langle x, y\rangle$ de duas maneiras.)
Classifique o caso plano: quais matrizes do Teorema 23.17 são simétricas, e quais são as aplicações correspondentes?

Solução

Solução de Exercício 23.12.

$A^2 = A A = A^{\mathsf T} A = I$ , logo $u^2 = \mathrm{id}$ : $u$ é uma simetria, e o Teorema 20.15 (2) dá $E = \ker(u - \mathrm{id}) \oplus \ker(u + \mathrm{id})$ .
Sejam $u(x) = x$ e $u(y) = -y$ . Como $u$ preserva o produto interno,

$\langle x, y\rangle = \langle u(x), u(y)\rangle = \langle x, -y\rangle = -\langle x, y\rangle ,$

logo $\langle x, y\rangle = 0$ : os dois autoespaços são ortogonais, $\ker(u + \mathrm{id}) = F^\perp$ para $F = \ker(u - \mathrm{id})$ , e $u$ é a simetria ortogonal em relação a $F$ .
$R_\theta$ é simétrica se e somente se $-\sin\theta = \sin\theta$ , isto é, $\theta \in \{0, \pi\}$ : as aplicações $\pm\mathrm{id}$ (identidade e simetria central). Toda $S_\theta$ é simétrica: as reflexões em retas. Estas são exatamente as simetrias ortogonais do plano, com $F$ igual ao plano inteiro, a $\{0\}$ , ou ao eixo da reflexão.

23.5 Problema: isometrias do plano e o teorema de Leonardo

Problema 23.1

Uma isometria do plano é qualquer aplicação $f \colon \R^2 \to \R^2$ que preserva distâncias: $\norm{f(x) - f(y)} = \norm{x - y}$ para todos $x, y$ — sem nenhuma hipótese de linearidade. Este problema demonstra que tais aplicações são exatamente as translações, as rotações, as reflexões e as reflexões deslizantes (a classificação das isometrias do plano), calcula as suas composições e determina todos os seus grupos finitos: o teorema de Leonardo, a matemática por trás dos padrões em roseta. A partir da Parte II identificamos $\R^2$ com $\C$ (o Capítulo 3): o produto interno canônico é $\langle z, w\rangle = \operatorname{Re}(z\conj w)$ e a norma é o módulo.

Parte I — Toda isometria é afim.

Verifique que as translações $t_a(x) = x + a$ , as isometrias lineares e todas as suas composições são isometrias, e que as isometrias formam um grupo sob composição.
Seja $f$ uma isometria com $f(0) = 0$ . Mostre que $f$ preserva normas e, em seguida — por polarização, o Teorema 23.4 —, que $\langle f(x), f(y)\rangle = \langle x, y\rangle$ para todos $x, y$ .
Ainda com $f(0) = 0$ : desenvolva $\norm{f(x + y) - f(x) - f(y)}^2$ e $\norm{f(\lambda x) - \lambda f(x)}^2$ usando a questão 2, e conclua que $f$ é linear: $f \in O(\R^2)$ .
Deduza que toda isometria $f$ se escreve de modo único como $f = t_a \circ g$ com $a = f(0)$ e $g$ uma isometria linear (a parte linear de $f$ ).
Chame $f$ de direta se $\det g = 1$ , e de indireta se $\det g = -1$ . Mostre que a parte linear de uma composição é a composição das partes lineares, e enuncie a regra de sinais resultante (direta/indireta compõem-se como $+1/-1$ ).

Parte II — Os quatro tipos. Pelo Teorema 23.17, as isometrias lineares de $\C$ são $z \mapsto az$ e $z \mapsto a\conj z$ com $\abs a = 1$ ; logo toda isometria do plano é

f(z) = a z + b \quad (\text{direta}) \qquad\text{ou}\qquad f(z) = a\conj z + b \quad (\text{indireta}), \qquad \abs a = 1 .

Verifique o dicionário: $R_\theta$ é $z \mapsto \eu^{\iu\theta}z$ e $S_\theta$ é $z \mapsto \eu^{\iu\theta}\conj z$ (confira ambos em $1$ e em $\iu$ ).
(Caso direto) Seja $f(z) = az + b$ , $\abs a = 1$ . Mostre: se $a = 1$ , $f$ é uma translação; se $a \neq 1$ , $f$ tem o único ponto fixo $z_0 = b/(1 - a)$ e $f(z) - z_0 = a(z - z_0)$ : uma rotação de centro $z_0$ e ângulo $\arg a$ .
(Caso indireto) Seja $f(z) = a\conj z + b$ , e $v = a\conj b + b$ . Mostre que $f \circ f = t_v$ e $f \circ t_v = t_v \circ f$ . Se $v = 0$ : mostre que o ponto médio de $z$ e $f(z)$ é um ponto fixo, e que $f$ é uma reflexão numa reta. Se $v \neq 0$ : mostre que $r = t_{-v/2}\circ f$ é uma reflexão cujo eixo é paralelo a $v$ , de modo que $f = t_{v/2} \circ r$ é uma reflexão deslizante. Conclua: toda isometria do plano é uma translação, uma rotação, uma reflexão ou uma reflexão deslizante (a classificação das isometrias do plano).
(Composições) Mostre: a composição de rotações de ângulos $\alpha$ e $\beta$ é uma rotação de ângulo $\alpha + \beta$ (uma translação se $\alpha + \beta \in 2\pi\Z$ ); a composição de duas reflexões é uma rotação de ângulo igual ao dobro do ângulo entre os eixos (uma translação se os eixos são paralelos).
Deduza que toda isometria do plano é composição de no máximo três reflexões.

Parte III — Três identificações.

Classifique completamente $f(z) = \iu\conj z + 1 + \iu$ : tipo, eixo, vetor de deslizamento.
Seja $f$ a rotação de ângulo $\frac\pi2$ em torno de $0$ e $g$ a rotação de ângulo $\frac\pi2$ em torno de $1$ . Calcule $g \circ f$ na forma $z \mapsto az + b$ e identifique-a (tipo, centro, ângulo).
Sejam $r_1(z) = \conj z$ (reflexão no eixo real) e $r_2(z) = \iu\conj z$ (reflexão na reta $y = x$ ). Calcule $r_2 \circ r_1$ e confira a questão 9 neste exemplo.

Parte IV — Grupos finitos: o teorema de Leonardo. Seja $G$ um grupo finito de isometrias do plano.

Mostre que as isometrias preservam baricentros: se $\lambda_1 + \dots + \lambda_m = 1$ e $f = t_a \circ g$ ( $g$ linear), então $f\bigl(\sum_i \lambda_i x_i\bigr) = \sum_i \lambda_i f(x_i)$ .
Ponha $c = \frac{1}{\abs G}\sum_{g \in G} g(x_0)$ para um $x_0$ escolhido qualquer. Mostre que todo $h \in G$ fixa $c$ : um grupo finito de isometrias tem um ponto fixo comum.
Deduza que, depois de conjugar por $t_{-c}$ , pode-se supor $G \subseteq O(\R^2)$ . Seja $G^{+} = \{g \in G : \det g = 1\}$ ; mostre que ou $G = G^{+}$ , ou $G^{+}$ tem exatamente índice $2$ em $G$ (exiba uma bijeção $G^+ \to G \setminus G^+$ ).
Mostre que um grupo finito de rotações em torno de $c$ é cíclico: entre os seus elementos escolha a rotação $R_{\theta_0}$ de menor ângulo $\theta_0 \in \intoo{0}{2\pi}$ , e use a divisão euclidiana de ângulos para demonstrar que ela gera o grupo; conclua $\theta_0 = \frac{2\pi}n$ e $G^{+} = \{R_{\theta_0}^{\,k}\} \cong C_n$ .
Suponha $G \neq G^{+}$ e escolha uma reflexão $s \in G$ . Mostre que $G = G^{+} \cup sG^{+}$ , que $s r s = r^{-1}$ para toda rotação $r \in G^{+}$ , e que todos os $n$ elementos de $sG^{+}$ são reflexões: $G$ é o grupo diedral $D_n$ , de ordem $2n$ .
Conclua (teorema de Leonardo): todo grupo finito de isometrias do plano é cíclico $C_n$ ou diedral $D_n$ .

Parte V — Dividendos, e síntese.

Mostre diretamente que um grupo finito de isometrias não pode conter nenhuma translação nem nenhuma reflexão deslizante além da identidade (considere as potências de tal elemento).
Seja $P_n$ o $n$ -ágono regular cujos vértices são as raízes $n$ -ésimas da unidade ( $n \geq 3$ ). Mostre que o seu grupo de simetrias é exatamente $D_n$ : as $n$ rotações $z \mapsto \omega^k z$ e as $n$ reflexões $z \mapsto \omega^k \conj z$ , $\omega = \eu^{2\iu\pi/n}$ , e nenhuma outra.
Exiba figuras planas cujos grupos de simetria sejam, respectivamente, $C_1$ , $D_1$ , $D_2$ e $C_3$ .
Liste os oito elementos do grupo de simetrias do quadrado de vértices $\pm1, \pm\iu$ como aplicações $z \mapsto \omega^k z$ ou $z \mapsto \omega^k\conj z$ , e dê o eixo de cada uma das quatro reflexões.
Sejam $f, g$ rotações do mesmo ângulo $\theta \notin 2\pi\Z$ em torno de centros distintos $c_1 \neq c_2$ . Calcule $f\circ g - g\circ f$ ponto a ponto e mostre que $f\circ g \neq g\circ f$ ; mostre além disso que $(f \circ g)\circ(g\circ f)^{-1}$ é uma translação não trivial, de modo que todo grupo que contenha $f$ e $g$ é infinito — uma segunda explicação para o centro único no teorema de Leonardo.
Síntese, em quatro frases: quais dois resultados estruturais reduzem isometrias arbitrárias à álgebra linear (questões 3–4) e grupos finitos arbitrários a subgrupos de $O(2)$ (questão 15); qual é a lista completa das isometrias do plano e quais invariantes (direta/indireta, pontos fixos) separam os quatro tipos; por que as regras de composição da questão 9 fazem das reflexões os geradores de tudo; e o que o teorema de Leonardo acrescenta na escala finita. Nomeie os dois teoremas demonstrados nas Partes II e IV.

Solução

Solução de Problema 23.1.

1. $\norm{t_a(x) - t_a(y)} = \norm{x - y}$ ; uma isometria linear preserva normas, logo distâncias ( $\norm{g(x) - g(y)} = \norm{g(x - y)} = \norm{x-y}$ ); e uma composição de aplicações que preservam distâncias preserva distâncias. Toda isometria é injetiva (pontos distintos ficam a distância positiva) e, pela classificação abaixo, bijetiva; a identidade e as inversas são isometrias: um grupo.

2. $\norm{f(x)} = \norm{f(x) - f(0)} = \norm{x - 0} = \norm x$ . Polarização:

\langle f(x), f(y)\rangle = \frac{\norm{f(x)}^2 + \norm{f(y)}^2 - \norm{f(x) - f(y)}^2}{2} = \frac{\norm x^2 + \norm y^2 - \norm{x - y}^2}{2} = \langle x, y\rangle .

3. Desenvolvendo com a questão 2 (cada produto de $f$ é igual ao produto dos argumentos):

\begin{align*} \norm{f(x+y) - f(x) - f(y)}^2 &= \norm{x+y}^2 + \norm x^2 + \norm y^2\\ &\quad - 2\langle x+y, x\rangle - 2\langle x+y, y\rangle + 2\langle x, y\rangle = 0 , \end{align*}

como mostra uma verificação direta; do mesmo modo $\norm{f(\lambda x) - \lambda f(x)}^2 = \norm{\lambda x}^2 - 2\lambda\langle \lambda x, x\rangle + \lambda^2\norm x^2 = 0$ . Logo $f(x + y) = f(x) + f(y)$ e $f(\lambda x) = \lambda f(x)$ : $f$ é linear e preserva normas: $f \in O(\R^2)$ .

4. Ponha $a = f(0)$ e $g = t_{-a}\circ f$ : uma isometria que fixa $0$ , logo uma isometria linear (questão 3), e $f = t_a \circ g$ . Unicidade: $t_a \circ g = t_{a'}\circ g'$ avaliado em $0$ dá $a = a'$ , e então $g = g'$ .

5. $(t_a\circ g)\circ(t_{a'}\circ g') = t_{a + g(a')}\circ(g\circ g')$ , pois $g\,t_{a'} = t_{g(a')}\,g$ para $g$ linear. Logo a parte linear de uma composição é $g \circ g'$ , e $\det(gg') = \det g \det g'$ : direta $\circ$ direta $=$ indireta $\circ$ indireta $=$ direta, e direta $\circ$ indireta $=$ indireta — a regra de sinais de $\pm1$ .

6. $z \mapsto \eu^{\iu\theta}z$ leva $1$ em $(\cos\theta, \sin\theta)$ e $\iu$ em $\iu\eu^{\iu\theta} = (-\sin\theta, \cos\theta)$ : as colunas de $R_\theta$ . E $z \mapsto \eu^{\iu\theta}\conj z$ leva $1$ em $(\cos\theta, \sin\theta)$ e $\iu$ em $-\iu\eu^{\iu\theta} = (\sin\theta, -\cos\theta)$ : as colunas de $S_\theta$ .

7. $a = 1$ : $f = t_b$ . $a \neq 1$ : a equação de ponto fixo $az_0 + b = z_0$ tem a solução única $z_0 = b/(1 - a)$ , e então

f(z) - z_0 = az + b - (az_0 + b) = a(z - z_0):

no referencial centrado em $z_0$ , $f$ é a multiplicação por $a = \eu^{\iu\arg a}$ : a rotação de centro $z_0$ e ângulo $\arg a$ .

8. $f(f(z)) = a\conj{(a\conj z + b)} + b = a\conj a\,z + a\conj b + b = z + v$ : $f^2 = t_v$ . Comutação: $f(z + v) = a\conj z + a\conj v + b$ e $a\conj v = a\conj{(a\conj b + b)} = b + a\conj b = v$ , logo $f\circ t_v = t_v\circ f$ .

Caso $v = 0$ : $f^2 = \mathrm{id}$ . Para qualquer $z$ , o ponto médio $m = \frac{z + f(z)}2$ satisfaz (sendo as isometrias afins, Parte I) $f(m) = \frac{f(z) + f^2(z)}{2} = m$ : existem pontos fixos. Conjugando pela translação até um ponto fixo, $f$ torna-se uma isometria linear indireta, isto é, algum $S_\theta$ (o Teorema 23.17): uma reflexão numa reta.

Caso $v \neq 0$ : $r = t_{-v/2}\circ f$ é indireta e

r^2 = t_{-v/2}\,f\,t_{-v/2}\,f = t_{-v/2}\,t_{-v/2}\,f^2 = t_{-v}\,t_v = \mathrm{id}

(usando a comutação), logo $r$ é uma reflexão, e $f = t_{v/2}\circ r$ . O seu eixo é paralelo a $v$ : $r$ comuta com $t_v$ (tanto $f$ quanto $t_{v/2}$ comutam), logo $t_v$ leva o eixo (a reta fixa de $r$ ) nele mesmo, o que força $v$ a dirigi-lo. Portanto $f$ é uma reflexão deslizante com vetor de deslizamento $v/2$ . Toda isometria está agora classificada: translação ou rotação (direta), reflexão ou reflexão deslizante (indireta).

9. Rotações $f(z) = az + b$ , $g(z) = a'z + b'$ com $a = \eu^{\iu\alpha}$ , $a' = \eu^{\iu\beta}$ : $g\circ f(z) = a'az + (a'b + b')$ tem coeficiente linear $\eu^{\iu(\alpha+\beta)}$ : uma rotação de ângulo $\alpha + \beta$ pela questão 7, ou uma translação quando $\eu^{\iu(\alpha+\beta)} = 1$ . Reflexões $r_i(z) = a_i\conj z + b_i$ com $a_i = \eu^{\iu\theta_i}$ (eixo no ângulo $\theta_i/2$ ):

r_2\circ r_1(z) = a_2\conj{a_1}\,z + (a_2\conj{b_1} + b_2),

direta com ângulo $\theta_2 - \theta_1 = 2\bigl(\tfrac{\theta_2}2 - \tfrac{\theta_1}2\bigr)$ : o dobro do ângulo entre os eixos; eixos paralelos ( $\theta_1 = \theta_2$ ) dão uma translação.

10. Uma rotação de centro $c$ e ângulo $\theta$ é o produto de duas reflexões em retas por $c$ que fazem ângulo $\theta/2$ (questão 9, lida ao contrário); uma translação $t_v$ é o produto de duas reflexões em retas paralelas ortogonais a $v$ à distância $\norm v/2$ ; uma reflexão é uma reflexão; uma reflexão deslizante é uma reflexão composta com uma translação, logo três. Máximo: três.

11. $a = \iu$ , $b = 1 + \iu$ : $v = a\conj b + b = \iu(1 - \iu) + 1 + \iu = (1 + \iu) + (1 + \iu) = 2 + 2\iu \neq 0$ : uma reflexão deslizante com vetor de deslizamento $v/2 = 1 + \iu$ . A reflexão $r = t_{-(1+\iu)}\circ f$ é $r(z) = \iu\conj z$ , cujo eixo é a reta no ângulo $\frac12\arg\iu = \frac\pi4$ : a reta $y = x$ . Logo $f$ é a reflexão deslizante de eixo $y = x$ e vetor $(1, 1)$ .

12. $f(z) = \iu z$ e $g(z) = 1 + \iu(z - 1) = \iu z + 1 - \iu$ , logo

g\circ f(z) = \iu(\iu z) + 1 - \iu = -z + 1 - \iu :

coeficiente linear $-1 = \eu^{\iu\pi}$ , uma rotação de ângulo $\pi$ (uma meia-volta), de centro $z_0 = \frac{1 - \iu}{1 - (-1)} = \frac{1 - \iu}{2}$ .

13. $r_2\circ r_1(z) = \iu\,\conj{\conj z} = \iu z$ : a rotação de ângulo $\frac\pi2$ em torno de $0$ . Os eixos (o eixo real, ângulo $0$ ; a reta $y = x$ , ângulo $\frac\pi4$ ) encontram-se num ângulo $\frac\pi4$ , e o dobro disso é $\frac\pi2$ : questão 9 confirmada.

14. Com $f = t_a\circ g$ , $g$ linear, e $\sum_i \lambda_i = 1$ :

f\Bigl(\sum_i \lambda_i x_i\Bigr) = a + \sum_i \lambda_i\,g(x_i) = \sum_i \lambda_i\bigl(a + g(x_i)\bigr) = \sum_i \lambda_i f(x_i) .

15. Para $h \in G$ , usando a questão 14 (os coeficientes $\frac1{\abs G}$ somam $1$ ):

h(c) = \frac{1}{\abs G}\sum_{g \in G} h\bigl(g(x_0)\bigr) = \frac{1}{\abs G}\sum_{g' \in G} g'(x_0) = c ,

pois $g \mapsto hg$ é uma bijeção de $G$ sobre si mesmo.

16. Os conjugados $t_{-c}\,g\,t_{c}$ ( $g \in G$ ) formam um grupo de isometrias que fixam $0$ , logo de isometrias lineares (questão 3): um subgrupo finito de $O(\R^2)$ . Se algum $s \in G$ é indireto, a aplicação $g \mapsto sg$ leva $G^+$ injetivamente em $G\setminus G^+$ e $h \mapsto s^{-1}h$ é a sua inversa (regra de sinais da questão 5): $\abs G = 2\,\abs{G^+}$ ; caso contrário $G = G^+$ .

17. Se $G^{+} = \{\mathrm{id}\}$ , ele é $C_1$ . Caso contrário, escreva os seus elementos como $R_\theta$ , $\theta \in \intco{0}{2\pi}$ , e seja $\theta_0$ o menor ângulo positivo que ocorre. Para $R_\theta \in G^{+}$ , a divisão euclidiana $\theta = k\theta_0 + \rho$ com $0 \leq \rho < \theta_0$ dá $R_\rho = R_\theta R_{\theta_0}^{-k} \in G^{+}$ , logo $\rho = 0$ por minimalidade: $G^{+} = \langle R_{\theta_0}\rangle$ . Dividir $2\pi$ por $\theta_0$ do mesmo modo mostra que $2\pi = n\theta_0$ : $G^{+} \cong C_n$ , gerado pela rotação de ângulo $\frac{2\pi}n$ .

18. $G = G^{+} \cup sG^{+}$ pela contagem da questão 16. Com $s(z) = a\conj z$ e $r(z) = \omega z$ (formas lineares, depois da questão 16; $\abs a = \abs\omega = 1$ ):

s r s(z) = a\,\conj{\omega\,a\conj z} = a\conj\omega\conj a\,z = \conj\omega\,z = r^{-1}(z) .

Cada elemento $sr^k$ de $sG^{+}$ é indireto e satisfaz $(sr^k)^2 = (sr^ks)\,r^k = r^{-k}r^k = \mathrm{id}$ : uma isometria indireta involutiva que fixa $c$ , isto é, uma reflexão. Logo $G$ consiste em $n$ rotações e $n$ reflexões, com as relações $r^n = s^2 = \mathrm{id}$ , $srs = r^{-1}$ : o grupo diedral $D_n$ .

19. Reunindo: um grupo finito de isometrias do plano fixa um ponto $c$ (questão 15), reduz-se a um subgrupo finito de $O(2)$ (questão 16), e é $C_n$ se contém apenas rotações (questão 17), e $D_n$ caso contrário (questão 18): o teorema de Leonardo.

20. Uma translação $t_v \neq \mathrm{id}$ tem potências $t_{kv}$ , todas distintas ( $kv$ dois a dois distintos para $v \neq 0$ ): ordem infinita. Uma reflexão deslizante $f$ tem $f^2 = t_v$ com $v \neq 0$ : de novo ordem infinita. Nenhuma das duas cabe num grupo finito — coerentemente com as questões 15–19, que produziram apenas rotações e reflexões.

21. As $2n$ aplicações preservam o conjunto dos vértices: $\omega^k \omega^j = \omega^{k+j}$ e $\omega^k\conj{\omega^j} = \omega^{k-j}$ ; sendo isometrias, elas preservam o polígono (segmentos vão em segmentos). Reciprocamente, uma simetria preserva o baricentro $0$ dos vértices (questão 14), logo é linear, e permuta os vértices (que são os pontos do polígono a distância máxima de $0$ ). Uma isometria linear que leva o vértice $1$ em $\omega^k$ é $z \mapsto \omega^k z$ se direta, e $z \mapsto \omega^k\conj z$ se indireta (a sua matriz é determinada por uma coluna e pelo sinal): no máximo $2n$ simetrias, logo exatamente o $D_n$ acima.

22. $C_1$ : um triângulo escaleno (nenhuma simetria não trivial). $D_1$ : um triângulo isósceles não equilátero (uma reflexão). $D_2$ : um retângulo não quadrado (identidade, meia-volta em torno do centro, as duas reflexões nos eixos). $C_3$ : um trisquel — três braços dobrados congruentes fixados a intervalos de $120$ graus; a dobra mata toda reflexão mas deixa as rotações de ordem $3$ .

23. Com $\omega = \iu$ : as rotações $z \mapsto z$ , $\iu z$ , $-z$ , $-\iu z$ (ângulos $0, \frac\pi2, \pi, \frac{3\pi}2$ ), e as reflexões

z \mapsto \conj z \ (\text{eixo } y = 0), \quad \iu\conj z \ (y = x), \quad -\conj z \ (x = 0), \quad -\iu\conj z \ (y = -x):

as duas diagonais e as duas medianas do quadrado — o grupo diedral $D_4$ , de ordem $8$ .

24. Escreva $a = \eu^{\iu\theta} \neq 1$ : $f(z) = az + c_1(1 - a)$ e $g(z) = az + c_2(1 - a)$ . Então

f\circ g(z) - g\circ f(z) = (1-a)\bigl(ac_2 + c_1 - ac_1 - c_2\bigr) = -(1 - a)^2(c_2 - c_1) \neq 0 ,

logo $f g \neq g f$ . As duas composições têm coeficiente linear $a^2$ , logo $(fg)\circ(gf)^{-1}$ tem coeficiente linear $1$ : é a translação por $fg(z) - gf(z)$ , a constante não nula acima. Um grupo que contenha $f$ e $g$ contém essa translação e todas as suas potências: ele é infinito. Dois centros de rotação são um a mais do que um grupo finito suporta — o coração geométrico do teorema de Leonardo.

25. (i) As questões 3–4 mostram que toda aplicação que preserva distâncias é afim com parte linear ortogonal, e a questão 15 prende todo grupo finito a um ponto fixo: os dois resultados convertem geometria métrica em álgebra linear na origem. (ii) A lista completa é translação, rotação, reflexão e reflexão deslizante; o determinante da parte linear separa as diretas das indiretas, e a existência de pontos fixos separa os dois tipos dentro de cada paridade. (iii) Pela questão 9, duas reflexões compõem-se em qualquer rotação ou translação, logo as reflexões geram o grupo inteiro — no máximo três bastam para qualquer isometria. (iv) Na escala finita só duas famílias sobrevivem, os grupos cíclicos e os diedrais, e é por isso que os ornamentos em roseta vêm em exatamente dois tipos (com ou sem eixos de espelho). A Parte II demonstrou a classificação das isometrias do plano; a Parte IV demonstrou o teorema de Leonardo.